精品解析：江苏徐州市铜山区三校 2026-2027学年九年级上学期数学10月学情调研试题

26-27学年度第一学期10月学情调研 九年级数学试题 （调研时间：90 分钟 ，分数∶ 140 分 ） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 2. 若点在反比例函数的图象上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 3. 已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∵是的弦， ∴， ∴弦的长不可能为． 故选：D． 4. 是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：C． 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 6. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 7. 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 10. 已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 13. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 14. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据杠杆原理，阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，代入已知数据整理即可得到所求函数表达式． 【详解】解：由杠杆平衡条件可得， 则， 根据等式性质变形得． 15. 如图，是的直径，于点D，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵于点D， ∴， 又∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得矩形面积为矩形的面积减去矩形的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形的面积为，矩形的面积为 ∴矩形的面积为， 故答案为：． 17. 如图所示，外接圆的圆心坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可． 【详解】解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心， ∵ P点坐标是P（5，2）， ∴ 外接圆的圆心坐标是（5，2）． 故答案为（5，2）． 【点睛】本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质． 18. 如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理与圆的性质，解题核心是利用中位线定理将与建立数量关系，再结合“圆中最长的弦是直径”确定的最大值，从而求出的最大值． 根据三角形中位线定理可得，所以当最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ， 又是的弦， 的半径为， 直径为：， 因为圆中直径是最长的弦， 的最大值为， 当时， ， ， ， 即的最大值为． 故答案为： ． 三、解答题（本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解：移项，得， 开平方，得， 即， ∴， ； 【小问2详解】 解：移项，得， 配方，得， ， 开平方，得， 即， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ， ， ∴，； 【小问4详解】 解：移项，得， 左边因式分解，得， 即， 因此或， 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1），方程另一个根为 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于k的一元一次不等式，求出，然后根据一元二次方程的定义得到，进而可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴k的取值范围为且． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 22. 高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】该公司参加旅游的员工人数为45人 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该公司参加旅游的员工人数为人，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设该公司参加旅游的员工人数为人， ∵， ∴， 依题意得： 解得：，； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：该公司参加旅游的员工人数为45人． 23. 已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：． 【答案】 证明：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， ∵在△OAC和△OBD中： ， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． 【解析】 【分析】根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，同圆半径相等．正确理解三角形的判定定理是关键． 24. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【小问1详解】 解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 25. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题，要运用含x的代数式表示矩形的长与宽，再由面积关系列方程．设矩形温室的宽为，则长为.，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解． 【详解】解：设矩形温室的宽为，则长为， 根据题意，得， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 答：当矩形温室的长为时，蔬菜种植区域的面积是． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． 【小问3详解】 解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 27. 若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． （1）方程的“关联值”为_________； （2）若关于的一元二次方程的“关联值”为，求的值； （3）求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】（1） （2）或； （3）证明：∵， ∴， ∴或， 解得 ． ∵n为整数， ∴原方程的两根都是整数． ∵根据“关联值”定义，两根均为整数时方程存在关联值， ∴该方程一定有“关联值”． 【解析】 【分析】（1）先解方程求出原方程的两个实数根，再根据“关联值”的定义求解即可； （2）根据“关联值”的定义建立关于m的方程，解方程求出m的值，进而求出原方程的两个实数根，看原方程的两个实数根是否为整数即可得到答案； （3）求出方程的两个根，再根据定义判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴方程的两根均为整数， ∴方程的“关联值”为； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 综上所述，或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年度第一学期10月学情调研 九年级数学试题 （调研时间：90 分钟 ，分数∶ 140 分 ） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 2. 若点在反比例函数的图象上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ） A. B. C. D. 4. 是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 1 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 6. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 10. 已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 12. 已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为______． 13. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为_______． 14. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是____________________ ． 15. 如图，是的直径，于点D，，则_____． 16. 如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 17. 如图所示，外接圆的圆心坐标是________. 18. 如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 三、解答题（本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 22. 高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 23. 已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：． 24. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 25. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 27. 若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． （1）方程的“关联值”为_________； （2）若关于的一元二次方程的“关联值”为，求的值； （3）求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $