精品解析：宁夏银川市第九中学2026-2027学年度第一学期第二次月考高三年级数学试卷

银川九中2026—2027学年度第一学期第二次月考 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由于， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据指数函数的性质，因为，则， 所以. 3. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 4. 若，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 在单调递增，则在上恒成立， 即， 令，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 所以， 则在递增的充要条件是， 能推出，满足充分性； 不能推出，不满足必要性， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件． 5. 已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式可得，再由扇形面积表达式以及二次函数最值可得结果. 【详解】由扇形的周长为，设扇形半径为，弧长为， 可得，即， 又， 因此当半径时，扇形的面积最大为， 此时，， 故选：D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式，及同角的三角函数的基本关系即可求解． 【详解】由，， 两式相加得，即， 两式相减得，即， 所以． 7. 当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（ ） A. 元/套 B. 元/套 C. 元/套 D. 元/套 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定的值，然后求出该网校每日销售套题所获得的利润的解析式，利用导数求解最大值即可. 【详解】因为当时，，所以，解得. 每日的销售量， 所以该网校每日销售套题所获得的利润为 ， 从而，令，得. 在区间上，单调递增； 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 而， 因为，所以当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大. 故选：B. 8. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造辅助函数，通过导数判断其单调性，结合偶函数的对称性推出，进而结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】设，， 求导得. 又，则，因此，故在上单调递减. 因为为偶函数，故对任意成立. 令，得，因此. 故不等式等价于，即. 又在上单调递减，所以. 故不等式的解集为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（    ） A. 若，其否定为：，. B. 函数的图象恒过定点 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可判断A，令，可判断B，由可判断C，由，可判断D. 【详解】对于A，命题为存在量词命题，则命题的否定为：．A正确；  对于B，由，令得，即函数图象恒过定点，故B正确； 对于C，因为，所以值域为，故C错误； 对于D，因为，所以，所以函数的最小值是，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若角是第二象限角，则是第一象限角 B. C. 若，则是第一象限角 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，设，进而求出，得到是第一象限角或第三象限角；B选项，利用同角三角函数平方关系及判断；C选项，利用正弦和角公式得到，求出，得到答案；D选项，整体法利用诱导公式求出答案. 【详解】A选项，若角是第二象限角，则， 故， 当时，在第三象限， 当时，在第一象限， 则是第一象限角或第三象限角，A错误； B选项，， 因为，所以，故，B正确； C选项，由题意得，故， 故，解得， 则是第一象限，C正确； D选项，若， 则，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果. 【详解】原式， 故答案为：. 13. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为方程在上有两个不同的实数根，令，，利用导数分析其单调性，进而结合图象求解即可. 【详解】，， 令，得， 因为有两个零点，所以方程在上有两个不同的实数根， 令，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，当时，，当时，， 要使方程在上有两个不同的实数根， 则直线与的图象在上有两个不同的交点， 由图可知，，则的取值范围为. 14. 若甲盒中有3个白球，2个红球，乙盒中有x个白球（），3个红球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的概率不小于，则x的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式进行求解即可. 【详解】设从甲盒中取出白球、红球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件，则， 则，， 根据全概率公式得： ， 解得， 即满足题意的的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由三角函数的定义得，再由进行求解； (2)由诱导公式及二倍角公式进行化简，原式等于进行求解． 【小问1详解】 由得，计算出，， ． 分子分母同除以，， 代入并有理化分母，． 【小问2详解】 ． 16. 某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； （2）为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 期望为1 【解析】 【分析】（1）根据直方图计算四分位数位于内，再进行求解即可； （2）按照分层随机抽样，计算出年龄在，分别应抽取的人数，然后按照超几何分布计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，， 所以上四分位数位于内，设其为， 则，解， 所以估计年龄样本数据的上四分位数为． 【小问2详解】 被调查的居民年龄在，比例为，按照分层随机抽样， 应抽取人，应抽取人， 设随机抽取的名居民中年龄在的人数为，的可能取值为，，． ；；． 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 所以数学期望为． 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间，并求的极值； （2）若函数在区间上的最大值为，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式即可求得单调区间； （2）分类讨论研究函数单调性，当时，函数单调递增，此时无最大值；当时，在上单调递增，在上单调递减，利用最大值建立方程即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 则的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当时，，所以在定义域上单调递增，此时无最大值； ②当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，解得； 综上：. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， 设，，则， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 因为，， 而，则，故， 所以存在，使得，即，故 则时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分、两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为证明，利用导数分析的单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 由，， 得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若存在两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【小问1详解】 当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中2026—2027学年度第一学期第二次月考 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（ ） A. 元/套 B. 元/套 C. 元/套 D. 元/套 8. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（    ） A. 若，其否定为：，. B. 函数的图象恒过定点 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值是 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若角是第二象限角，则是第一象限角 B. C. 若，则是第一象限角 D. 若，则 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围为______． 14. 若甲盒中有3个白球，2个红球，乙盒中有x个白球（），3个红球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的概率不小于，则x的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； （2）为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间，并求的极值； （2）若函数在区间上的最大值为，求的值. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若存在两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $