精品解析：四川达州市宣汉县峰城中学2026-2027学年九年级上学期第一阶段检测数学试题

四川省宣汉县峰城中学2026-2027学年九年级上学期第一阶段检测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为 0，即， 解得 ． 2. 如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； B、添加， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定是菱形，故本选项符合题意； 3. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴； 无法得到，； 故只有选项D正确. 4. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解. 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 5. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9． 6. 如图，边长为1的正方形中，点是对角线上的一点，且，点在上，于，于，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，把分成和两个小三角形，利用边长、写出两个小三角形面积，得到面积等于；再求出，算出边上的高，用底乘高求出面积，等量代换计算出的结果是． 【详解】解：连接，过点作于．     正方形边长为，，，所以． 正方形对角线． 三角形的面积可以拆成与面积相加． ， 因为，代入得： 在等腰直角中，是斜边上的高， ． ． 联立两个面积算式： 两边同时乘，得到 ． 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，则菱形的面积为（ ） A. 96 B. 97 C. 98 D. 99 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点M，连接，由菱形的性质得出，即可说明是的中位线，，再根据中位线的性质得出，然后根据平行线的性质得出，进而求出，由角的关系以及三角形的定义和性质进一步得出，接下来根据等角对等边得，可求出，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质求出面积即可． 【详解】解：如图所示，取的中点M，连接， ∵四边形是边长为10的菱形， ∴， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴菱形的面积． 8. 如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交，于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 根据平行四边形的性质证明，，可得，，设，则，可得，设，则，，可得，令点到的距离为，由可得答案． 【详解】解：四边形和都是平行四边形， ，， ，， ，， ，设，则， ，， ， 设，则，， ∵， ∴， 令点到的距离为， ， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则________，方程的另一个根为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入方程可求出，再利用根与系数的关系求出另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， 解得， 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积为， ∴， 解得． 10. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 11. 一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24，求出其相似比，再设较大三角形的周长为L，由相似三角形周长的比等于相似比即可得出L的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24， ∴其相似比， 设较大三角形的周长为L， ∴， 解得． 即较大三角形的周长为60． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根可得判别式大于等于0，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且． 13. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法，即可求解； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 15. 如图，在中，点在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立； （2）根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 16. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 则平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（１）结合菱形的对边平行和对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，再结合有一个直角的平行四边形是矩形即可得证； （２）利用菱形的对角线相互垂直和勾股定理，可得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵且， ∴在中，． 17. 据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． （1）若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意列出一元二次方程，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，根据题意得， ， 化简得， 解得，（不合题意，舍去）； 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意，得，， 解得，，， 要尽量减少库存， ， 答：若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低20元． 18. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； 【小问2详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； 【小问3详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，若，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，根据矩形的性质可知，根据线段垂直平分线的定义可知，利用勾股定理即可求出线段的长． 【详解】解：垂直平分线段， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）． 【答案】= 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∴， ∴ 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可． 21. 对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，，若，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据表示两数中较小数的定义，分与的三种大小关系讨论，令对应较小的数等于1，即可求解． 【详解】解：①当时，则，得， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴； ②当时，则，得， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴； ③当时，则，得， 此时两数的值均为，则，不符合题意，舍去； 综上所述，或． 22. 如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为______． 【答案】 10 【解析】 【分析】连接，作于点G，利用正方形和等腰三角形的性质证明，进而得出为等腰直角三角形，设，利用勾股定理建立方程，求出解即可． 【详解】解：连接，作于点G， ∵四边形为正方形，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 23. 关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 【答案】1，2 【解析】 【分析】根据题意得出，整理得，设方程的两个根为s，t，根据根与系数的关系可得出，，表示出两个不动值的差的平方，根据整数，a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 设方程的两个根为s，t， 则，， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在正方形中，为上的任意一点，于点． （1）如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，连接，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：， 理由如下：四边形是正方形， ，， ， 由条件可知． ， ． ， ， ． ． ； （2）24 【解析】 【分析】（1）结合正方形性质证明，得到，进而即可推出，与之间的数量关系； （2）作于点，根据直角三角形性质推出，再利用勾股定理求出，结合（1）中结论推出，，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点， 在中，，， ， ． 由（1）得，， ． 25. 阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： （1）方程的解为_______________________； 间接应用： （2）已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： （3）已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）2或 （3）15 【解析】 【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）分两种情况：当时，当实数m，n是方程的两个不相等的实数根时，分别进行求解即可； （3）令，，则，，根据，得出即，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 【小问2详解】 解：实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根时， ， ， 的值为2或； 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 26. 在中，，点和点分别在边和边上． （1）如图1，将沿翻折至，求证：； （2）将沿翻折至，且点是中点； ①如图2，若，直线与的延长线交于点，求的比值； ②直线与直线交于点，若线段和线段这两条线段中，有一条线段是另一条线段的两倍时，求的比值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形和翻折的性质证明 ；进而得出 ，再结合和即可得证． （2）①利用含的直角三角形性质，设，用含的代数式表示出等线段；在和中分别利用勾股定理列方程求出和；最后利用平行线分线段成比例，求出的比值； ②先根据点的不同位置进行分类讨论，设，，，利用勾股定理求出和的表达式，再通过相似三角形建立比例关系，解方程求出参数值，进而得出的比值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，过作，交的延长线于，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设， 点是中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ∵，， 同理可得，， 由翻折可知，， ， 在中， ，即， 解得， ， ， ，， ， ， ， 在中， ，即， 解得， ， ， ，即， ， ， 化简得， ． ②如图，当点在的延长线上，时， 过作，交的延长线于，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交的延长线于，过作，交延长线于， 设， 点是中点， ， 由翻折性质得：，． 设线段， 在中，由勾股定理：， 则 ，， 在 中，由勾股定理： 代入得， 解得 ．则 ， ． 设，则． 在 中，由勾股定理：， ， ，即是的中位线， ， ，，，． 在 中，由勾股定理：， 代入得，解得． 则 ， ． ，， ， ，即． ，，， 在中，由勾股定理：， 代入得， 展开化简得， ， ， ，， ，， 两式消去 ，得， ， ，代入得， 解得． ，， ，， ，即， ， ， ． 如图，当点在的延长线上，时， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设，，， 同理可得，，，， 在 中，由勾股定理： 代入得， 解得 ．则， ． 同理可得，． ，， ， ，即． ，，， 在中，由勾股定理：， 代入得， 展开化简得， ， 同理可得， ， ， 代入得， 解得． ，， 同理，即， ， ． 如图，当点在的延长线上，时， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设，，， 同理可得，，，， ， 同理可得，， ， ，代入得， 解得． ，， 同理，即， ， ， ． 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宣汉县峰城中学2026-2027学年九年级上学期第一阶段检测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为1的正方形中，点是对角线上的一点，且，点在上，于，于，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，则菱形的面积为（ ） A. 96 B. 97 C. 98 D. 99 8. 如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交，于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则________，方程的另一个根为________． 10. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 11. 一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 13. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 如图，在中，点在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 17. 据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． （1）若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 18. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，若，则线段的长为________． 20. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）． 21. 对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，，若，则________． 22. 如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为______． 23. 关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在正方形中，为上的任意一点，于点． （1）如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，连接，若，，求的面积． 25. 阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： （1）方程的解为_______________________； 间接应用： （2）已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： （3）已知实数m，n满足：，且，求的值． 26. 在中，，点和点分别在边和边上． （1）如图1，将沿翻折至，求证：； （2）将沿翻折至，且点是中点； ①如图2，若，直线与的延长线交于点，求的比值； ②直线与直线交于点，若线段和线段这两条线段中，有一条线段是另一条线段的两倍时，求的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $