精品解析：四川省达州市宣汉县普光中学2025-2026学年九年级上学期第三次质量监测数学试题

四川省达州市宣汉县普光中学2025-2026学年九年级上学期第三次质量监测数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程配方后是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3. 小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数和找出两人抽到的卡片上写有相同的节气的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：将 “立春、雨水、春分、谷雨”分别用A，B，C，D表示， 根据题意画出树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的结果有4种，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为：． 故选：B． 4. 如图，已知，，，的长为（　　） A. 14 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键． 5. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 6. 反比例函数 的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在象限． 【详解】解： ， 反比例函数 的图象位于第一、三象限． 故选：A． 7. 2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据题意，每组有支队伍，每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛，组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，由此列式即可求解． 【详解】解：第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组， ∴每组有支队伍， ∴每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛， ∵组内的x个队相互之间都要安排一场比赛， ∴， 故选：B ． 8. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵镜子垂直于地面， ∴入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键． 9. 如图，正方形的边长为，点为对角线上动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先证四边形是矩形得，据此得要求的最小值，只需求出的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，然后中由勾股定理求出即可得到的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形为正方形，且边长为， ，，， ，， 四边形是矩形， ， 要求的最小值，只需求出的最小值即可， 点在上， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 当时，由于， 为等腰直角三角形，即：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， （舍去负值）， 即的最小值为1， 的最小值为1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当时，线段为最短． 10. 如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y＝的图象上，点E是AD边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为（　　） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先设出矩形两邻边的长，再利用相似三角形的判定与性质分别表示出OF和CD，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】设矩形的边长AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴B（，b）， ∴OC＝， ∵点E是AD边上靠近点A的三等分点， ∴DE＝b， ∵AD∥y轴， ∴△FOC∽△EDC， ∴，即， ∴OF＝， ∴S△CDF＝， 故选：D． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、反比例函数的图像与性质、三等分点的概念、相似三角形的判定与性质等内容，要求学生理解相关概念与性质，能正确利用相似三角形的性质求出对应的线段等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 从装有ａ个球的暗袋中随机的摸出一个球，已知袋中有５个红球，通过大量重复的实验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，可以估计a约为________． 【答案】20 【解析】 【分析】直接根据频率与频数的关系及题意可直接列式求解． 【详解】解：由题意可得： ； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查频率与频数，熟练掌握频率与频数的关系是解题的关键． 12. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，借助角平分线性质与全等三角形可得，根据可求出，设的坐标为，用表示、，根据勾股定理列方程求出，进而求出的坐标，将坐标代入反比例函数即可算出值． 【详解】解：如图，过点作， 由、坐标和勾股定理，可得，，，， 平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的坐标为， 点在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，结合线段关系和勾股定理列方程求的坐标是解题关键． 14. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG构造出一线三等角，此时可以得出，，设AB为x，则，解得，舍去负数的情况，则． 【详解】解：如图所示，分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG， ∴, ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设AB长为x，， ， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构建一线三等角模型． 15. 如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过______秒时，与相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）用适当的方法解方程：； （2）对于试题：“先化简，再求值：，其中”．小亮写出了如下解答过程： ① ② ，③ 当时，原式④ 小亮的解答在哪一步开始出现错误______；（填序号） 请你写出正确的解答过程． 【答案】（1），； （2）①； 原式， 当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简，属于简单题，正确计算是解题关键． （1）根据配方法求解即可． （2）根据分式的化简原理即可解题． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， ，； （2）略 17. 已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程  与  有公共根， 设公共根为 ，则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将  代入①得 ， ∵ ，所以  均为正数，其和  必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意，  关于  的两个方程没有公共根． 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】略 18. 如图，在菱形中，与相交于点，过点作，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，进而可得出结论． 【详解】略． 19. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． （2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1），条形统计图补充完整如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（）用乘以“优秀”的百分比可求出所对应扇形的圆心角，用一般的学生人数除以其百分比求出抽取的学生人数，进而求出“良好”的学生人数，即可将条形统计图补充完整； （）用乘以成绩良好的百分比即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，用列表法或树状图求概率，解题的关键是从统计图表中获取相关信息． 【小问1详解】 解：“优秀”所对应扇形的圆心角为， 故答案为：， ∵， ∴抽取的学生人数为人， ∴“良好”的学生人数为人； 【小问2详解】 解：∵， ∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两名同学恰好是甲、丁的结果有种， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 20. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 【答案】（1） （2）1万元 【解析】 【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该公司销售产品每次的增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该公司销售产品每次的增长率为． 【小问2详解】 设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答尽量减少库存， ． 答：每套产品需降价1万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）DG＝． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论； （2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得 AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝，即＝， ∴DG＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 22. 如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图（1）中，以为位似中心，相似比为，在网格内将放大得到，请画出． （2）在图（2）中，线段上作点，利用格点作图使得． （3）在图（3）中，利用格点在边上作一个点，使得． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2）如图，点即为所作． （3）如图，点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理，勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点，根据平行线分线段成比例定理可判断点满足条件； （3）把绕点逆时针旋转得到，平移使点与点重合，则点的对应点为点，则与的交点为点． 【小问1详解】 解：延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； 【小问2详解】 取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作． 【小问3详解】 把绕点逆时针旋转得到，平移使点与点重合，则点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合； （1）根据点在直线上，得出进而将点坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式，即可； （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，，得出点坐标为，根据，建立方程，求得点纵坐标为9或，进而代入反比例函数，求得纵坐标，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：因为点在直线上，所以，解得． 故点坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，， 解得或． 故点坐标为． 又，即， 所以， 故点纵坐标为9或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 根据函数图象可知，不等式的解集为：或． 24. 综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】（1）；（2），； （3）（4）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5），． 【解析】 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，倒数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）（4）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出，即的两根为，，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）（4）略 （5）∵关于x的方程的两根是，， ∴方程的“友好方程”，即的两根为，， 设 ∴，即可化为： ， ∴，， ∴或， 解得：，． 25. 【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图，由折叠得到， ， ． 又四边形ABCD是正方形， ， ， ， 又 正方形 ． ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据ASA证明； （2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可； （3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 由（1）得， ， 由折叠得，， ． 四边形是正方形， ， ， 又， ， ． ，， ，． ， ， （舍去）． （3）如图，连结HE， 由已知可设，，可令， ①当点H在D点左边时，如图， 同（2）可得，， ， 由折叠得， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． ， ， ， （舍去）． ②当点在点右边时，如图， 同理得，， 同理可得， 可得，， ， ， （舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宣汉县普光中学2025-2026学年九年级上学期第三次质量监测数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 2. 一元二次方程配方后是（ ） A. B. C. D. 3. 小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，的长为（　　） A. 14 B. 10 C. 8 D. 4 5. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 6. 反比例函数 的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 7. 2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，点为对角线上动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 10. 如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y＝的图象上，点E是AD边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为（　　） A. 2 B. C. D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 从装有ａ个球的暗袋中随机的摸出一个球，已知袋中有５个红球，通过大量重复的实验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，可以估计a约为________． 12. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为______． 14. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 15. 如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过______秒时，与相似． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）用适当的方法解方程：； （2）对于试题：“先化简，再求值：，其中”．小亮写出了如下解答过程： ① ② ，③ 当时，原式④ 小亮的解答在哪一步开始出现错误______；（填序号） 请你写出正确的解答过程． 17. 已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 18. 如图，在菱形中，与相交于点，过点作，使，连接．求证：四边形是矩形． 19. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． （2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 20. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 21. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 22. 如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图（1）中，以为位似中心，相似比为，在网格内将放大得到，请画出． （2）在图（2）中，线段上作点，利用格点作图使得． （3）在图（3）中，利用格点在边上作一个点，使得． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 24. 综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 25. 【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $