精品解析：黑龙江哈尔滨市第一一三中学校2026- 2027学年上学期九年级数学期中试卷

哈113中学2026—2027学年度上学期九年数学 期中学业水平反馈 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（    ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 5. 方程的解为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得． 检验：当时，，故是原方程的解． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 题中抛物线解析式为，对应， ∴ 其对称轴为直线． 7. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移； 根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：D． 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理，由  可得对应线段成比例 ，变形后代入已知数据计算即可． 【详解】∵， ． ． ， ． 9. 如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，即，由，得，由此可得，同理可证，从而证明，利用相似比求函数关系式即可求解． 【详解】解：∵， ，即， 又， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ， 故该函数图象是位于第一象限的反比例函数的一支．选项A符合题意． 10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为， ， ，③正确； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，①错误； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，②正确； 当时，， ， ， 即，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式求解即可． 【详解】解：根据题意得，若函数有意义， 可得，解得． 故答案为：． 12. 在中，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解． 【详解】解： ； 故答案为． 14. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 科技小组为了验证某电路的电压、电流、电阻三者之间的关系：，测得数据如下：那么，当电阻时，电流________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的运用，由表格数据求出反比例函数得解析式，再将代入即可求出答案即可． 【详解】解：把，代入得：， 解得， ∴， 当 代入得： ， 故答案为：． 16. 一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是弧长公式以及扇形的面积公式．先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：， ∴扇形的面积， 故答案为：． 17. 对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，先理解，再得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得；由作图过程可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵内接于，是的直径， ∴， 由题意可知：平分，即， ∵， ∴． 19. 在中，，，，点在以为圆心，为半径的圆上，连结，．若，则的长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】结合已知线段长度，先通过勾股定理逆定理判断的形状，再利用圆的对称性确定满足的点有两个位置，分别计算对应的长度 【详解】解：连结，的延长线交于，如图， ，，， ， 为直角三角形，， ， ， ， ， 而， 四边形为矩形， ， 在中，，， ， 的长为或． 故答案为：或． 20. 如图，在正方形纸片中，点是边上一点，连接交于点，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接交于点，连接．给出以下结论：①；②与的面积相等；③若，则；④；⑤若，则的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由折叠得到，证明，得到，即可判断①．设正方形边长为a，，则，，，在中，根据勾股定理构造方程，求出，即可判断③．通过导角说明，，结合证明，根据相似三角形的限制即可判断④．连接，根据即可判断⑤．过点C作交于点F，利用反证法假设，则，可推导出，与已知条件矛盾，即可判断②． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是由翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确． 设正方形边长为a，， 则有，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，故③正确． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④正确； 连接， ∵在正方形中，，， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴的最小值为，故⑤错误． 过点C作交于点F， 则与的高为， 假设，则， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴． ∵点P在上运动，的度数不是定值， ∴与已知条件矛盾， ∴与不一定相等， ∴与的面积不一定相等，故②错误． 三．解答题：（21—22题，每题7分，23—24题每题8分，25—27题每题10分） 21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【详解】当a=4cos30°+3tan45°时， 所以a=2+3 （1﹣）÷= = =. 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点均在格点上，为的中点，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出以为底边的等腰三角形（点在格点上），且满足的面积是； （2）在方格纸中，上找一点，连接，使（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出的值． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）在的垂直平分线上取格点，则，由格点构建直角三角形可得，，进而得，故即为所求； （2）作，作的垂直平分线，过点作交于点，连接，即为所求；由同角的余角相等得，在中根据正切定义求出，即可得． 【小问1详解】 解：由格点可知，， ∴垂直平分， ∴，即是以为底边的等腰三角形， 由格点可得，， ∴； 【小问2详解】 解：作，取格点，则，取格点，则，连接，过点作交于点，连接，即为所求， ∵，， ∴垂直平分，即， 又∵，， ∴于点， 在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 23. 哈尔滨市开展“百万青少年上冰雪”活动，为了提高学生冰雪安全意识，某中学组织部分学生进行测试（满分且为整数）并将所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图： 组学生测试成绩（单位：分）如下：、、、、、、． 组别 成绩/分 频数 组 组 组 组 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）组学生测试成绩的中位数是________，的值是________； （3）若该中学共有名学生，估计该中学测试成绩在范围的学生有多少名？ 【答案】（1）； （2）分，； （3）． 【解析】 【分析】由扇形统计图和频数分布表可知组的人数为人，所占百分比为，然后相除即可求解； 先由总人数减去人数即可求出的值，然后根据中位数的定义可求出中位数； 利用样本估计总体求解． 【小问1详解】 解：（名）， 答：这次调查中，一共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：由得一共抽取了名学生， ∴， ∵组学生测试成绩为、、、、、、，一共个， ∴组学生测试成绩的中位数是第个成绩，即分， 故答案为：分，； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该中学测试成绩在范围的学生有名． 24. 已知：正方形中，点在边上，点在边上（点、不与正方形的顶点重合），连接、，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，若，当线段长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）或或或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质容易证明，则，从而得到，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）连接，过点作的平行线，交于点，由勾股定理可计算出，容易证明四边形是平行四边形，则，由图可知，从而得到，最后写出其中的整数解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作的平行线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由勾股定理可得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即 ∵线段长为整数， ∴或或或． 25. 某商城在“双”期间举行促销活动，一种热销甲商品进货价为每个元，标价为每个元．市场调研表明：当甲商品每个标价为每个元时，平均每天能售出个，当售价每降低元时，平均每天就能多售出个． （1）在保证每个甲商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的金额为元，则每个应降价多少元？ （2）若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 【答案】（1） 每个甲商品应降价元． （2） 每个甲商品应降价元，此时最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设降价金额为未知数，根据销售额=售价×销售量列一元二次方程，结合售价不低于进价的条件筛选符合题意的解． （2）设总利润为因变量，根据总利润=单个利润×销售量列函数关系式，用配方法求最大值． 【小问1详解】 解：设每个甲商品降价元． ∵ 售价不低于进价， ∴ ， 即． 此时每天销售量为个，每个售价为元． 依题意得：  ．  ． 解得： ， ． ∵ ，不符合题意，舍去， ∴ ． 答：每个甲商品应降价元． 【小问2详解】 解：设每个甲商品降价元，每天销售利润为元． ∵ 售价不低于进价且降价非负， ∴ ． 单个商品利润为元，每天销售量为个． 依题意得：    ． ∵ ，且满足， ∴ 当时，取得最大值，最大值为． 答：每个甲商品应降价元，此时最大利润为元． 26. 已知内接于，为的弦，． （1）如图，求证：为的直径； （2）如图，，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，点在上，连接、、、，，，的面积为，求的半径长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵与是同弧所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径 （2）证明：如图，延长至点，使，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）的半径为． 【解析】 【分析】（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，代换得，即可得，由的圆周角所对的弦是直径即可得证； （2）利用已证，结合圆内接四边形对角互补与构造全等三角形，证得； （3）由（1）（2）得，；过作的垂线，用勾股定理结合，推出；再由与角度关系，推出，由求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知为的直径，故； 由（2）知，而与同弧， ∴，，为等腰直角三角形， ∴． 过点作于点．（如图） 设，则，． 在直角、直角、直角中，由勾股定理： ， ， ． 由得， 即， 整理得． 代入：． 将 代入得， ∴． 又由（2）知， ∴，为等腰三角形． 设． ∴， 在中，． 过作，交直线于． 在直角中，， ∴为等腰直角三角形，，且， ∴． 在直角中，，， ∵， ∴． 因在直线上，， ∴， 而， ∴． ∴． 过作于点．在直角中，，斜边， 故． ∴． 化简得． 由已知，得，，故（半径取正值）． 27. 已知抛物线经过点，，为抛物线与轴的交点． （1）如图，求、的值； （2）如图，横坐标为的点在第二象限的抛物线上，连接、，记的面积为，求与的函数关系式. （3）如图，在（2）的条件下，点是轴正半轴上一动点，连接并延长交过点与轴垂直的直线于点，连接、，，点在第一象限，连接，交于点，连接，，，，求的值． 【答案】（1）的值为，的值为 （2）与的函数关系式为（） （3）的值为 【解析】 【分析】（1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式，得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、； （2）四边形的面积既可以看成与的面积之和，也可以看成与的面积之和，两式作差即得的面积； （3）由与推出，得、、、四点共圆，从而；再由定出的方向，用的长表示，最后用的长求出点的横坐标，联立直线与抛物线的解析式求． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴ 解得，． ∴的值为，的值为． 【小问2详解】 解：如图，连， 由（1）知抛物线的解析式为． ∵点是抛物线与轴的交点， ∴． ∵点的横坐标为，且它在第二象限的抛物线上， ∴，其中，． ∵四边形的对角线把它分成与，对角线把它分成与， ∴． ∵，，点到轴的距离为， ∴，，， ∴． ∴与的函数关系式为（）． 【小问3详解】 解：设，，其中，，则，，． ∵轴，轴， ∴． ∴． ∵在中，，而， ∴． ∵点、都在射线上， ∴． ∴． ∴点、、、四点在同一个圆上． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∵点与点之间的水平距离为，竖直距离为， ∴． ∵在中，， ∵在中，， ∴． ∴． ∵， ∵，， ∴． ∴． ∵由图形知在的内部， ∴． 作轴于（如图）． ∵，， ∴． ∵，，， ∴，． 设，则． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，把点的坐标代入，得． ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，把点的坐标代入，得． ∵点是直线与直线的交点， ∴， ∴，即． ∴，从而，， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，，直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴． ∴， ∴， ∴或． ∵点在第二象限， ∴． ∴． ∴． ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈113中学2026—2027学年度上学期九年数学 期中学业水平反馈 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（    ） A. B. C. D. 2026 2. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 5. 方程的解为（ ）． A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 12. 在中，，，，则的值为______． 13. 计算：___________． 14. 分解因式：_____． 15. 科技小组为了验证某电路的电压、电流、电阻三者之间的关系：，测得数据如下：那么，当电阻时，电流________． 16. 一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为__________． 17. 对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为___________． 18. 如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 19. 在中，，，，点在以为圆心，为半径的圆上，连结，．若，则的长为________． 20. 如图，在正方形纸片中，点是边上一点，连接交于点，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接交于点，连接．给出以下结论：①；②与的面积相等；③若，则；④；⑤若，则的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有________． 三．解答题：（21—22题，每题7分，23—24题每题8分，25—27题每题10分） 21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点均在格点上，为的中点，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出以为底边的等腰三角形（点在格点上），且满足的面积是； （2）在方格纸中，上找一点，连接，使（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出的值． 23. 哈尔滨市开展“百万青少年上冰雪”活动，为了提高学生冰雪安全意识，某中学组织部分学生进行测试（满分且为整数）并将所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图： 组学生测试成绩（单位：分）如下：、、、、、、． 组别 成绩/分 频数 组 组 组 组 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）组学生测试成绩的中位数是________，的值是________； （3）若该中学共有名学生，估计该中学测试成绩在范围的学生有多少名？ 24. 已知：正方形中，点在边上，点在边上（点、不与正方形的顶点重合），连接、，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，若，当线段长为整数时，直接写出线段的长． 25. 某商城在“双”期间举行促销活动，一种热销甲商品进货价为每个元，标价为每个元．市场调研表明：当甲商品每个标价为每个元时，平均每天能售出个，当售价每降低元时，平均每天就能多售出个． （1）在保证每个甲商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的金额为元，则每个应降价多少元？ （2）若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 26. 已知内接于，为的弦，． （1）如图，求证：为的直径； （2）如图，，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，点在上，连接、、、，，，的面积为，求的半径长． 27. 已知抛物线经过点，，为抛物线与轴的交点． （1）如图，求、的值； （2）如图，横坐标为的点在第二象限的抛物线上，连接、，记的面积为，求与的函数关系式. （3）如图，在（2）的条件下，点是轴正半轴上一动点，连接并延长交过点与轴垂直的直线于点，连接、，，点在第一象限，连接，交于点，连接，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $