第21章二次函数与反比例函数期中复习培优训练 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

九年级上二次函数与反比例函数期中复习培优训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：把代入中，得，， .故选：D 2.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（   ） x … … y … 10 4 0 0 … A．抛物线开口向下 B．函数最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【详解】解：由表格可知，和时，的值均为，∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，时，时，越靠近，值越小，∴抛物线开口向上，A错误；∵抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点在对称轴上，∴顶点纵坐标小于，函数最小值不是，B错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小. ∵时，所有均满足，∴当时，随的增大而减小，C正确；∵当时，随的增大而减小，∴当时，不是始终随的增大而增大，D错误．故选：C 3.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知关于的二次函数（m为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为（     ） A．0或3 B．0或 C．0或或3 D．或3 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数的最大值，∵，∴，即对称轴在范围内，∴在时，函数的最大值， ①当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，∵， ∴处函数值更小，即最小值，∵，∴，即，解得，符合； ②当时，到对称轴的距离，大于等于到对称轴的距离， ∴处函数值更小，即最小值，∵， ∴，即，解得或，∵，∴不符合题意，舍去，取； 综上所述，的值为或．故选：D 4.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【详解】解：由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上，当反比例函数图象位于第一、三象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； 当反比例函数图象位于第二、四象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点；∵， ∴的最大值为．故选：B 5.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点，∴， 即，∵，∴，，∴， ∵∴，∵， ∴，∴，，即，，又∵，∴，解得，∵，∴．故选：C 6.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴交于，两点，在的抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的对称轴为直线，∴，解得， ∴，∵抛物线开口向下，且，顶点横坐标在该区间内， ∴当时，取得最大值，当时，；当时，，∵，∴当时，取得最小值， ∵，∴，，∴的取值范围是．故选：A 7.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，当抛物线与四边形的边有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：当抛物线经过时，，解得：， 当抛物线经过时，，解得：， 当抛物线经过时，，解得：， 当抛物线经过时，，解得：，∵， ∴抛物线开口向上，y最小值为，∵在直线上，∴，即， ∵，∴．故选：D 8.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若无解，则；⑤若方程的解为，，则，．其中正确结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：∵函数开口方向向上，∴；∵对称轴在y轴右侧，∴，∴a、b异号，， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴，∴，故①正确；∵对称轴为，∴，∴；把代入解析式得，∴，∴， ∴，故②错误；∵抛物线与轴交点在和之间（不包括这两点）， ∴，∴，∴，∴，∴，故③错误； ∵是抛物线的对称轴，且开口向上，∴函数的最小值是，∵无解， ∴，故④正确；由对称性得抛物线与轴的另一交点为， ∴方程的解为，对于方程，令，则，∴，，∴解得，或，故⑤错误．综上，正确的结论是①④，共2个．故选：B 9.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设直线，代入点，可得，解得 ∴直线设，则∴∵∴，∴当时，取得最大值为，设，则，∴，同理可求当时，取得最大值为，∵，∴当且仅当时，取得最大值为．故选：B 10.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 【详解】解：、∵直线的图象经过点，∴，解得， ∴直线解析式为，联立，解得或，∴，故此选项错误； 、∵点的坐标为，∴由上得直线解析式为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点， ∴，由直线解析式为得，令，则；令，则，解得； ∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴， 设，则，∴，当时，的长有最大值，最大值为，∴的最大值是，故此选项错误； 、∵，∴直线解析式为，∵，∴设直线解析式为， 联立，∴，∵，两点的横坐标分别为，∴，故此选项错误；、由上得，∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， ∴函数总在处取得最大值，则，∴，故此选项正确．故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【详解】解：，∴顶点为，∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，，∴，关于抛物线的对称轴对称，∴，将点代入，则， 整理得，，解得，（舍），∴． 12.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 【详解】解：∵矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为， ∴，，．的中点的坐标为．∵反比例函数经过点， ∴，∴反比例函数解析式为．当时，，故点的坐标为． 设的横坐标为，则点的坐标为，垂足的坐标为（其中）．∵轴， ∴的长为，点到直线的距离为．由，得． 整理得，即，解得．∴点的横坐标为． 13.（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】解：①将代入，得，∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵，∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵，∴，∴， ∵，∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式，∴，整理得，∴，因此，∵，∴，即，故④正确．综上所述：①③④正确． 14.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数，将点向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度，恰好落在的图象上． （1）__________． （2）将该二次函数图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数的最大值与最小值的差为6，则__________． 【详解】解：（1）∵点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后点的坐标为，∵点在的图象上，∴代入得， 整理得，解得或，∵，∴舍去，得； （2）原二次函数配方得 ，图象开口向上，将图象向右平移个单位后，解析式为，对称轴为，对对称轴位置分三种情况讨论： ①当，即时，最大值为时的函数值，最小值为时的函数值， 差为，化简得，解得，不符合，舍去； ②当，即时，最大值为时的函数值，最小值为时的函数值， 差为，化简得，解得，不符合，舍去； ③当，即时，最小值为顶点的函数值，若，即，最大值在处，差为，得，解得（不符合范围舍去），符合；若，即，最大值在处，差为，得， 解得（负根舍去），符合；综上所述，或． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数， （1）该函数与轴有两个交点，求的范围； （2）该函数图像与轴相交于两点，，求． 【详解】（1） 解：∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得； （2）解：设点，，则方程的两根为，，由根与系数的关系得：，，∵，∴，∵， ∴ ，即，解得． 16.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线，，即，，把代入得∴二次函数表达式； （2）解：由题意知点平移后的坐标为．把代入，得，解得，，，即m的值为4． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． （1）______，______； （2）满足不等式的x的取值范围是______； （3）为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 【详解】（1）解：由条件可知，，， ，把及代入，则，解得， ∴． （2）解：令，代入中，则，解得，直线与轴交于点， 根据图象可知，当时，的取值范围为； （3）解：由条件可得，，， ，的面积不小于的面积，， 或． 18.（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ．抛物线开口向上，对称轴为直线， ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远，当时，取得最大值， ．答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且，对称轴，解得：． 的最小值为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点的“合作点”．例如：，当点满足时，则点是点的“合作点”． （1）已知点，点是点的“合作点”，则点的坐标为_____； （2）若点是抛物线上一动点，点，若点是点的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，把中关于的函数图象向上平移4个单位得到新函数图象，设新函数的图象与轴交于点，直线上总有点，使得点的“合作点”落在新函数的图象上，求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点，点是点的“合作点”，设， ∴，，∴点的坐标为； （2）解：∵点是抛物线上一动点，∴，∵点，且点是点的“合作点”， ∴，消去a，得，∴中关于的函数表达式为； （3）解：由函数平移的性质可得函数G的表达式为，当时，，则点C坐标为，设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T的坐标为， ∵点T落在新函数G的图象上，∴，变形得，即， 根据形式可得m是t的二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， ∴m的最小值为， ∴． 20.（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． （1）当投掷的距离为时，求的值； （2）当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； （3）当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，将点代入，得：，解得． （2）解：∵，∴抛物线的对称轴直线为，∵当时，铅球处于下落状态，∴抛物线的对称轴直线，且当时，，解得：． （3）解：，∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大，即当时，，当时，，根据题意可知：，解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小，此时即当时，，当时，，根据题意可知：，解得，（舍去） （3）当时，即，当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时，则当时，，即当时，，根据题意可知：， 解得(舍去)或．当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时，则当时，当时，， 根据题意可知：，解得(舍)或（舍）．综上：或． 六、解答题（本题满分12分） 21.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与直线交于，两点，无论取何值抛物线总经过定点． （1）当抛物线的顶点恰好是定点时，求的值； （2）记的面积为，点，的横坐标分别为和． ①用含的代数式表示； ②求的最小值． 【详解】（1）解：抛物线．无论取何值，当即时，，故抛物线总经过定点抛物线的顶点横坐标为． 当顶点恰好为时，，解得． （2）解：联立与：，整理得． 设其两根为、，由根与系数关系得，． ①．． ②点、都在直线上．过点作于．与垂直的直线解析式为，代入得，即，故所在直线为． 联立与，得，，即． ．又，而， 故．于是．代入、，得．配方得，所以，当时取等号．故的最小值为． 七、解答题（本题满分12分） 22.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）长鑫存储坐落于合肥，是国产DRAM存储芯片研发制造企业．在数学上我们定义：若点在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大4，则称点是点的“芯移点”．例如，抛物线上，点是点的“芯移点”． （1）点和点在抛物线上，点是点的“芯移点”，且点的纵坐标为18，求的值． （2）点在（1）中的抛物线上，且点是点的“芯移点”． ①若点的纵坐标相等，求点的横坐标． ②抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为12.25，求的值． 【详解】（1）解：∵点是点的“芯移点”，，点的纵坐标为18，∴， ∵点和点在抛物线上，∴，解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，由（1）得， ∵点，的纵坐标相等，∴，解得：， ∴，∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为直线：，顶点坐标为， 当时，，解得：，∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“芯移点”，点的横坐标为，当时，∴点的横坐标为：，，当，时，点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点，∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N，∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为12.25，∴点N到轴的距离为，此时点N的纵坐标为， ∴，解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，，点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴，∴即，∴， 解得：（不符合题意，舍去），综上可得：． 八、解答题（本题满分14分） 23.（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． （1）当，时，求抛物线G的对称轴； （2）若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， ，所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①，当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点，∴，∴； ②由①得：，，，∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，，解得：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴，∴ ∵，， ， ∵当时，随m的增大而减小，∴当时， 随m的增大而减小，∴当时，取得最大值，此时，当时，取得最小值， 此时，∴S的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上二次函数与反比例函数期中复习培优训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（   ） x … … y … 10 4 0 0 … A．抛物线开口向下 B．函数最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 3.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知关于的二次函数（m为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为（     ） A．0或3 B．0或 C．0或或3 D．或3 4.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 5.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 6.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴交于，两点，在的抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，当抛物线与四边形的边有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若无解，则；⑤若方程的解为，，则，．其中正确结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 10.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 12.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 13.（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 14.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数，将点向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度，恰好落在的图象上． （1）__________． （2）将该二次函数图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数的最大值与最小值的差为6，则__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数， （1）该函数与轴有两个交点，求的范围； （2）该函数图像与轴相交于两点，，求． 16.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． （1）______，______； （2）满足不等式的x的取值范围是______； （3）为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 18.（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点的“合作点”．例如：，当点满足时，则点是点的“合作点”． （1）已知点，点是点的“合作点”，则点的坐标为_____； （2）若点是抛物线上一动点，点，若点是点的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，把中关于的函数图象向上平移4个单位得到新函数图象，设新函数的图象与轴交于点，直线上总有点，使得点的“合作点”落在新函数的图象上，求出的取值范围． 20.（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． （1）当投掷的距离为时，求的值； （2）当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； （3）当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 六、解答题（本题满分12分） 21.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与直线交于，两点，无论取何值抛物线总经过定点． （1）当抛物线的顶点恰好是定点时，求的值； （2）记的面积为，点，的横坐标分别为和． ①用含的代数式表示； ②求的最小值． 七、解答题（本题满分12分） 22.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）长鑫存储坐落于合肥，是国产DRAM存储芯片研发制造企业．在数学上我们定义：若点在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大4，则称点是点的“芯移点”．例如，抛物线上，点是点的“芯移点”． （1）点和点在抛物线上，点是点的“芯移点”，且点的纵坐标为18，求的值． （2）点在（1）中的抛物线上，且点是点的“芯移点”． ①若点的纵坐标相等，求点的横坐标． ②抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为12.25，求的值． 八、解答题（本题满分14分） 23.（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． （1）当，时，求抛物线G的对称轴； （2）若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $