精品解析：甘肃兰州市第五十一中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

兰州五十一中2026～2027学年第一学期期中试卷 高一 数学 第Ⅰ卷（58分） 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 6. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若奇函数和偶函数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“，则”为真命题 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 空集是任何集合的真子集 D. 命题“若，则且”为真命题 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为1 11. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 第Ⅱ卷（92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集是______． 13. 已知函数，则________． 14. 当时，函数单调递减，则实数的取值范围是________． 四．解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 16. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在区间上恒成立，求实数的范围． 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）二次函数有且仅有一个不动点，求a的值； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州五十一中2026～2027学年第一学期期中试卷 高一 数学 第Ⅰ卷（58分） 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，则. 2. 已知实数满足，，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值判断ABC，根据不等式性质判断D. 【详解】当时满足，，但是不成立，故A错误； 当时满足，但，故B错误； 当时满足，，但是，故C错误； 因为，所以，又，由不等式性质可得，故D正确. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】否定全称命题时，应将全称量词改为存在量词，并否定量词后的结论，变量的取值范围不变． 因为的否定为，所以原命题的否定为“，”． 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为4. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 6. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】p：，q：，由p是q的充分不必要条件， 得真包含于，则， 所以实数m的取值范围是. 7. 若奇函数和偶函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“，则”为真命题 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 空集是任何集合的真子集 D. 命题“若，则且”为真命题 【答案】AD 【解析】 【分析】对A选项直接验证可得；对B根据充分必要条件的定义判断可得；对C直接根据空集的性质判断可得，对D选项根据平方数具有非负性判断可得. 【详解】选项A ：当时，代入等式计算得：，命题成立，该命题为真命题，A正确； 选项B ：解方程，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 选项C ：空集是任何非空集合的真子集，不是它自身的真子集，C错误； 选项D ：对任意实数，平方数具有非负性：，， 若，则且，该命题为真命题，D正确. 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A直接利用基本不等式求解即可，选项B利用重要不等式求解即可，选项C利用基本不等式中的常数代换求解即可，选项D把双变量换成单变量的二次函数形式求解即可，注意二次函数的定义域. 【详解】对于A选项：所以， 当且仅当，即，时取得，与，相符，即的最大值为，故A错； 对于B选项：， 当且仅当，即，时取得，与，相符，故B对； 对于C选项：， 当且仅当即，时取得，与，相符，故C对； 对于D选项：，又因为，可得， 是开口向下的二次函数，在时取最大值，但与不符，因此，故D错. 11. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 第Ⅱ卷（92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【详解】不等式等价于且，解得或， 所以不等式的解集为或. 13. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，故， ，故. 14. 当时，函数单调递减，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，函数是斜率的一次函数，在上单调递减，满足条件； 当时，函数是二次函数，对称轴为， 当时，二次函数图象开口向下，单调递减区间为，当时不可能单调递减，舍去； 当时，二次函数图象开口向上，单调递减区间为，要使得时单调递减，则，解得，故； 综上所述， 四．解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：且，即，故， 所以. 【解析】 【详解】（1）， 故； （2）略 16. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若，由，解得， 则，所以或， 因为， 则. 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又，， 所以，解得， 综上，实数a的取值范围是． 17. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在区间上恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解函数解析式即可. （2）利用分离参数法结合二次函数性质求解参数范围即可. 【小问1详解】 令，则， 化简得，则． 【小问2详解】 由题意得：， 即对于任意的，有恒成立， 则， 当时，由二次函数性质得取得最小值，则． 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）二次函数有且仅有一个不动点，求a的值； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 【答案】（1）不动点为和1； （2），不动点为4 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据不动点概念，分类讨论方程的根，计算即可. （3）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 令，可得，可得， 解得，，所以二次函数的不动点为和1. 【小问2详解】 令， 可得， 因为，所以，，解得. 即时，不动点为4. 【小问3详解】 二次函数有两个不相等的不动点，，且，， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且，， 因为，，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $