精品解析：甘肃省庆阳市第四中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

庆阳四中 2026—2027 学年度第一学期期中试题 高一　数学 命题人：李钢锋　　审题人：肖俊利 一、单项选择题（8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 2. 设x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中与函数相等的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数 在 上具有单调性，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 已知对于任意的恒成立，则 A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为4 二、多项选择题（3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 下列命题中为真命题的是（　　） A. B. C. 若 ，则 D. 若 ，，则 ， 11. 已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 三、填空题（3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数，，则______ 13. 已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______． 14. 设函数是定义域为上的奇函数，当时，，求时的解析式为______. 四、解答题（5 小题，共 77 分） 15. 若集合 ，，．求： （1）； （2）． 16. 求解下列问题： （1）若函数 满足 ，求函数 的解析式和值域； （2）已知函数 是一次函数，且满足 ，求函数 的解析式，并求出函数 在区间 上的最值． 17. 已知函数的图象经过，． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 18. 求解下列问题： （1）已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值； （2）已知 ，求 的最小值； （3）已知正数 ， 满足 ，求 的最小值． 19. 已知关于 的函数 的两个零点为 和 ． （1）求实数 ， 的值； （2）当 时，求关于 的不等式 的解集； （3）若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆阳四中 2026—2027 学年度第一学期期中试题 高一　数学 命题人：李钢锋　　审题人：肖俊利 一、单项选择题（8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】故选D 2. 设x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项. 【详解】若可以得出，但得不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 4. 下列函数中与函数相等的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简各函数的解析式，根据函数的定义域、值域逐项判断可得答案.. 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数，定义域为，故B正确； 对于C，函数的值域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误. 故选：B. 5. 不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由判别式小于0可得解. 【解答】，且二次项系数 ， 所以 对一切实数 都成立，解集为 . 6. 已知函数 在 上具有单调性，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 的对称轴为 ，要在 上单调，对称轴不能在区间内部． 【解答】，对称轴 ，开口向上， 因为函数  在  上具有单调性， 所以 ，解得，即实数  的取值范围是． 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由的解集为知，且、是方程的两根， 所以，，即，． 则不等式即为， 代入得，因为，所以，解得， 则不等式的解集为. 8. 已知对于任意的恒成立，则 A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 ．不等式 可化为 即 ，因为，当且仅当 即 时，上式取“=”号．所以，解得 ．故选A． 【点睛】不等式的恒成立问题可转化为最大、小值问题． 二、多项选择题（3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 10. 下列命题中为真命题的是（　　） A. B. C. 若 ，则 D. 若 ，，则 ， 【答案】CD 【解析】 【分析】逐项举反例或用不等式性质判断． 【详解】A：取，，则，错误； B：取，，满足 但，错误； C：由，两边同乘 得；两边同乘 得， 所以，正确； D：由 得 ，而，所以，结合 得，正确． 11. 已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题（3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数，，则______ 【答案】25 【解析】 【分析】首先计算出，即可得. 【详解】根据题意可知， 则. 故答案为：25 13. 已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 是 的充分不必要条件即 推出 、 推不出 ，把两个条件化成集合． 【详解】：；： 或 ， 由 得 ，所以 ，即 ； 此时 显然推不出 （如 ），符合“不必要”， 所以 ． 14. 设函数是定义域为上的奇函数，当时，，求时的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可． 【详解】解：是定义域为上的奇函数，当时， 当时，， 则， 则， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的性质利用转化法是解决本题的关键，属于基础题． 四、解答题（5 小题，共 77 分） 15. 若集合 ，，．求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解两个不等式化出 、，根据交集的定义求结论； （2）由补集定义求，再根据并集定义求结论 . 【小问1详解】 由得，所以； 由得，所以． ． 【小问2详解】 ， 所以． 16. 求解下列问题： （1）若函数 满足 ，求函数 的解析式和值域； （2）已知函数 是一次函数，且满足 ，求函数 的解析式，并求出函数 在区间 上的最值． 【答案】（1），值域 ； （2），最小值 ，最大值 【解析】 【分析】（1）令 ，用换元法求解即可； （2）设 ，然后列出等式求出系数，进而得到函数的解析式和最值． 【小问1详解】 令 ，则 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以值域为 ． 【小问2详解】 设 ，则 ， 由 得 ，，解得 ，， 所以 ，它在 上单调递增， 最小值 ，最大值 ． 17. 已知函数的图象经过，． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 设，则 ， 所以，即在上单调递减. 【解析】 【小问1详解】 由题意 ，，即， 两式相减得，所以，， 即； 【小问2详解】 略. 18. 求解下列问题： （1）已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值； （2）已知 ，求 的最小值； （3）已知正数 ， 满足 ，求 的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案， （3）设，，用表示出已知条件，得到的线性关系，再将待求式转化为关于的分式和，根据“1”的代换，用基本不等式求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 【小问3详解】 令 ，，则 ，， 由 得 ， ， 当且仅当 时取等号，结合可得，， 根据 ，，可得， ，​​ 所以当， 时， 取最小值，最小值为 ． 19. 已知关于 的函数 的两个零点为 和 ． （1）求实数 ， 的值； （2）当 时，求关于 的不等式 的解集； （3）若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1），； （2）当 时解集为 ，当 时解集为 ，当 时解集为 ； （3） 【解析】 【分析】（1）应用零点结合韦达定理求 、； （2）先应用因式分解再按两根大小分类； （3）先应用参数分离得出 恒成立，最后转化为求函数的最大值得出参数范围． 【小问1详解】 由题意 ， 对比已知，得 ，，所以 ，． 【小问2详解】 ，不等式为 ， 而 ， 当 时抛物线开口向下，两根为 与 ， 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，两根相等，不等式化为 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ． 【小问3详解】 因为 ，条件即 ，化简得 ， 因为 时 ，所以 恒成立， 令 ，它在 上单调递减， 所以 ，即 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $