精品解析：山西大同市某校2026-2027学年九年级上学期10月测验数学试题

2026-2027学年第一学期随堂检测（一）年级九学科数学 注意：1、本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2、答卷前请考生务必将自己的姓名和考号填写在本试卷相应的位置上． 3、答案全部在答题卡上完成，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．请在每个小题给出的四个选项中选出符合题意的一项，并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：只含1个未知数， 未知数最高次数为2， 是整式方程；先将各选项方程化为最简形式， 再结合一元二次方程的定义逐一判断. 【详解】解：∵选项A的方程含2个未知数， ∴不是一元二次方程； 选项B的方程只含未知数， 最高次数为2， 且是整式方程， ∴是一元二次方程； 选项C的方程整理后为， 最高次数为1，∴不是一元二次方程； 选项D的方程是分式方程， ∴不是一元二次方程． 2. 下列各点中，在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. ∵ ， ∴ 抛物线上所有点的纵坐标非负，排除B，C选项. 将代入解析式，得，排除D选项. 将代入解析式，得，与A选项纵坐标一致. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个正实数根 【答案】C 【解析】 【详解】解：在方程中，，，， ∵， ∴方程没有实数根． 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线为顶点式，可直接运用平移规律求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，得． 再向下平移3个单位长度，得． 5. 2026年大同黄花产业高质量发展大会如期举办，会议期间，每家商户都给其他每家参会商户各赠送一份礼品，一共送出90份礼品，求参会商户数．设参会商户数为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据礼品赠送规则，推导总礼品数与商户数的等量关系. 【详解】解：设参会商户数为， ∵每家商户需向除自身外的家商户各赠送1份礼品， ∴总赠送礼品份数为， 由题意得. 6. 方程两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，三角形三边关系，分情况讨论是解题的关键．解方程得两根为3和4，根据等腰三角形性质分情况讨论，利用三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：∵ 方程 分解为 ， ∴ 两根为 ， 。 ∵ 两根是等腰的两条边长， ∴ 分两种情况： ① 当腰为3，底为4时，满足三角形三边关系，周长为； ② 当腰为4，底为3时，满足三角形三边关系，周长为． ∴ 的周长为10或11． 故选：D． 7. 已知一元二次方程有两个根，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系定理，求代数式的值，解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为， ∴ 由根与系数的关系得，， ∴ ． 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线顶点式确定开口方向、对称轴，结合方程根的判定与二次函数的增减性，判断各选项即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ ，抛物线开口向下，对称轴为直线，故选项、均错误，不符合题意； 令， 整理得， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故选项正确，符合题意； ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随增大而增大， 又∵ ， ∴ 当时，随增大而增大，故选项错误，不符合题意． 9. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 10. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置确定的符号及关系，结合特殊点的函数值及二次函数性质逐一判断 ． 【详解】由图象可知，抛物线开口向上， 则  对称轴为直线，  ，即  抛物线与轴交于负半轴，    ，故①错误 ． 抛物线与轴有两个交点，  ， 即，故②正确 ． 对称轴为直线，  当时的函数值与时的函数值相等  当时，，  当时，，故③错误 ． 由图象可知，当时，，  ，故④正确 ． 抛物线开口向上，对称轴为直线，  当时，随的增大而减小  当时，随的增大而减小，故⑤正确 ． 综上所述，正确的结论有②④⑤，共3个． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出的抛物线解析式为顶点式，直接匹配对应参数即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线的顶点式为，其顶点坐标为． ∴ 对比解析式，可得，． ∴ 该抛物线的顶点坐标为． 12. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，直接代入求值，进行比较即可． 【详解】解：∵抛物线经过，，三点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 14. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图形是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， 函数对称轴， 点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可． （2）利用直接开平方法求解即可． （3）利用因式分解法求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵, ∴， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，． 【小问4详解】 解：， ， ， 解得，． 17. 某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ （1）问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】（1）第③步，方程两边未同时加上 （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． 【小问2详解】 略 18. 已知二次函数，回答下列问题： （1）求的值及二次函数解析式． （2）求出该二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】（1），二次函数解析式为. （2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数最高次项次数为2、二次项系数不为0的条件列方程与不等式，求解得到m的值，代入原式得解析式． （2）将二次函数一般式配方为顶点式，根据二次项系数符号判断开口方向，直接读取对称轴与顶点坐标． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 将代入原式，得； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 19. 为响应全国工业绿色低碳改造政策，山西某智能制造工厂持续优化生产工艺，降低生产能耗．已知该工厂2024年单件产品生产能耗为100千瓦时，经过两年的工艺升级改造，2026年单件产品生产能耗降至64千瓦时，求该工厂单件产品生产能耗的年平均降低率． 【答案】该工厂单件产品生产能耗的年平均降低率为 【解析】 【分析】根据公式“”即可列方程，解出方程即可得该工厂单件产品生产能耗的年平均降低率. 【详解】解：设该工厂单件产品生产能耗的年平均降低率为，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该工厂单件产品生产能耗的年平均降低率为． 20. 如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4，0)和点B(0，2)，且抛物线的对称轴为直线l，顶点为C （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，BC，BD，求四边形ADBC的面积 【答案】（1）y=-x2+ x+2；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得到答案； （2）利用割补法得到S四边形ADBC=S△BDC+S△ADC，进行求解即可得到答案. 【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(4，0)，B(0，2) ，解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+ x+2 （2）解：∵C点是抛物线的顶点， ∴由解析式可知C点坐标为( ， ) ∴S四边形ADBC=S△BDC+S△ADC= 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握待定系数法进行求解. 21. 认真阅读材料并解决下列问题． 已知关于的方程，求的值． 解：设，则方程变形为，所以， 进而．即或 （1）已知，则______________． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4 （2）的值为2 【解析】 【分析】（1）设，则，原方程变形为，即可求解； （2）设，原方程变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∴原方程变形为， ∴， ∴或， ∵， ∴，即． 【小问2详解】 解：设，则原方程变形为， 整理得，， 解得，， 当时，，整理得， ∵， ∴方程无解，不符合题意， ∴舍去； 当时，，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， ∴． 22. 某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为元．市场调研发现，每月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间的关系满足． （1）写出公司每月获得的利润 （万元）关于销售单价的函数解析式； （2）当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为万元？ （3）若公司每月的制造成本不超过万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），其中 （2）或 （3）当销售单价为元时，获得最大利润，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出单件利润，进而求出总利润，同时结合实际意义求出销售单价范围． （2）由（1）可知，根据题意可知，解方程即可． （3）根据题意求出总的制造成本，从而求出，然后在此范围内求出最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，单件利润为元，每月销售量为万件， 总利润， 整理得， 结合实际意义销售单价大于制造成本为元，即 且每月销售量，即解得， ∴函数解析式，其中． 【小问2详解】 解：根据题意，公司每月获得的利润为万元， ∴，即， 整理得， ， 或， 解得，， 由（1）可知，符合题意， ∴当销售价格为元或元时，公司每月获得的利润为万元． 【小问3详解】 解：每件产品的制造成本为元，每月销售量， ∴每月制造成本为， ∵公司每月的制造成本不超过万元， ∴， 解得， 由（1）可知， ∴， ， ， 二次函数开口向下，对称轴， 当范围内，随着增大而减小， 当时，该范围在对称轴右侧，随着增大而减小， ∴当时，取最大值， ， 答：当销售单价为元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为万元． 23. 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站．如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，充电站棚顶可近似地看作抛物线的一部分，将两个端点分别记作A、B．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为棚顶所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求棚顶所在抛物线的解析式． （2）点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，且到地面距离为，当从点C喷射干粉时，对空间的保护截面可近似地看作顶点为C的抛物线，当此抛物线刚好经过原点O时，能不能覆盖着火点？请说明理由． 【答案】（1） （2） 能覆盖着火点，理由如下： 把代入得： 解得或 点 设顶点为的抛物线为 把原点代入得： 顶点为且过点的抛物线为 当时， 能覆盖着火点． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设棚顶所在所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）由题意得把代入，求得点，可求出顶点为且过点的抛物线为，当时，求出的值，并与2比较，即可解答． 【小问1详解】 解：顶点 设棚顶所在抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， 棚顶所在抛物线解析式为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期随堂检测（一）年级九学科数学 注意：1、本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2、答卷前请考生务必将自己的姓名和考号填写在本试卷相应的位置上． 3、答案全部在答题卡上完成，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．请在每个小题给出的四个选项中选出符合题意的一项，并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个正实数根 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 2026年大同黄花产业高质量发展大会如期举办，会议期间，每家商户都给其他每家参会商户各赠送一份礼品，一共送出90份礼品，求参会商户数．设参会商户数为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 方程两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 7. 已知一元二次方程有两个根，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 当时，随增大而减小 9. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是___________． 12. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是________． 13. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 14. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 17. 某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ （1）问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请写出用配方法解方程的正确过程． 18. 已知二次函数，回答下列问题： （1）求的值及二次函数解析式． （2）求出该二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标． 19. 为响应全国工业绿色低碳改造政策，山西某智能制造工厂持续优化生产工艺，降低生产能耗．已知该工厂2024年单件产品生产能耗为100千瓦时，经过两年的工艺升级改造，2026年单件产品生产能耗降至64千瓦时，求该工厂单件产品生产能耗的年平均降低率． 20. 如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4，0)和点B(0，2)，且抛物线的对称轴为直线l，顶点为C （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，BC，BD，求四边形ADBC的面积 21. 认真阅读材料并解决下列问题． 已知关于的方程，求的值． 解：设，则方程变形为，所以， 进而．即或 （1）已知，则______________． （2）已知，求的值． 22. 某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为元．市场调研发现，每月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间的关系满足． （1）写出公司每月获得的利润 （万元）关于销售单价的函数解析式； （2）当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为万元？ （3）若公司每月的制造成本不超过万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少？ 23. 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站．如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，充电站棚顶可近似地看作抛物线的一部分，将两个端点分别记作A、B．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为棚顶所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求棚顶所在抛物线的解析式． （2）点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，且到地面距离为，当从点C喷射干粉时，对空间的保护截面可近似地看作顶点为C的抛物线，当此抛物线刚好经过原点O时，能不能覆盖着火点？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $