精品解析：河南省百师联盟校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题（A卷）

高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 取得最小值时的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 设，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任何集合都至少有两个子集 B. 给定集合，存在集合满足 C. 集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆 D. 集合与集合不是同一个集合 10. 关于的不等式，下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若不等式的解集为，则 C. 若对一切实数不等式都成立，则的取值范围是 D. 若当时，不等式恒成立，则的取值范围是 11. 关于函数，下列结论正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 是定义在上的增函数 C. 对任意非零实数， D. 方程恰有个实数解 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则_________． 13. 某小区停车场计划安装台充电桩(为正整数)，每台充电桩每年的折旧维护费用为万元．经测算，车主排队等候充电造成的排队损失费(万元)与安装台数成反比，比例系数为，则每年的总费用（折旧维护费与排队损失费之和）最低为_________万元． 14. 已知幂函数的图象过点，函数．若，则的取值范围是_________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的值． 16. 表示不超过x的最大整数，例如，，． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数m的取值范围． 17. 已知一元二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）不等式的解集记为，，若，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若函数是定义在上的奇函数． ①求实数的值； ②用定义证明：函数在上单调递减． （2）若，对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 19. 若对于任意，总存在唯一的，使得成立，我们就称函数是函数在区间上的“—相伴函数”． （1）判断函数是否是自身在区间上的“—相伴函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在上的“—相伴函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在上的“—相伴函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得. 又因为，所以的可能取值为， 故全集. 已知集合， 因为自然数集包含和正整数，且， 所以. 则. 2. 若命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】否定存在量词“存在”得到全称量词“对任意”， 同时不等式的否定为，所以的否定为“，”． 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得且，解得且， 所以函数的定义域为． 4. 取得最小值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，，当且仅当，即时取等号， 所以取得最小值时的值为. 5. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】先化简不等式，移项作差得 ，，，，， 已知，故，从而，因此不等式等价于，即， 化简后等价于，二者可互推， 所以“”是“”的充要条件. 6. 函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数为二次函数，且二次项系数，所以该函数图象开口向上. 其对称轴方程为. 因为函数在区间上具有单调性， 所以对称轴不能在区间的内部， 即需满足或， 解得或. 所以实数的取值范围是或. 7. 设，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，两边同乘，得， 即，两边加 1 得. 令，则，且. 若同为负数，则，于是，与矛盾，故必同为正数. 于是， 当且仅当，即时取等号. 故的取值范围为. 8. 已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干结合函数单调性定义判断出函数在上的单调性，根据函数奇偶性判断函数图象在定义域上的大致形状，结合不等式取负的条件得到关于x的不等式组求解，注意有两种情况. 【详解】由题意得，在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 故有时，，时，， 已知，即或， ，解得， ，解得， 综上所述，. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任何集合都至少有两个子集 B. 给定集合，存在集合满足 C. 集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆 D. 集合与集合不是同一个集合 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，只有1个子集，A错误； 对于B，给定集合，取集合，则，B正确； 对于C，集合（是定点，是平面内的动点）的点组成的图形是圆，C正确； 对于D，集合，集合，两个集合是同一集合，D错误. 10. 关于的不等式，下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若不等式的解集为，则 C. 若对一切实数不等式都成立，则的取值范围是 D. 若当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入计算可判断A；根据解集得出二次函数开口向下，由韦达定理计算可判断B； 对一切实数不等式都成立，考虑等于0和不等0两种情况可判断C；把不等式看作关于k的一次函数，代入区间端点和求解后可判断D. 【详解】对于A，当 时，代入不等式得：，整理得， 求解方程 ，由求根公式得两根为 ，二次函数开口向上， 小于0的解集为两根之间，即 ，A正确； 对于B，若不等式的解集为 ，说明对应的二次函数开口向下，且方程 的两个根为 ， 根据韦达定理，两根之积满足：，即， 解得 ，因为，验证韦达定理两根之和：，符合条件，B正确； 对于C，若对一切实数x不等式恒成立，分两种情况讨论： 当时，不等式变为 ，该式恒成立，满足条件. 当时，需二次函数开口向下且判别式小于0，即，解得. 综合两种情况，k的取值范围是，选项C漏掉了的情况，C错误； 对于D，将原不等式整理为关于k的一次函数形式： 要使该式对恒成立，只需一次函数在区间端点处的函数值均小于0： 当 ，，整理得 ，即 对任意实数恒大于0. 当 ，，整理得 ，解得 . 综合两个条件，最终的取值范围是 ，D正确. 11. 关于函数，下列结论正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 是定义在上的增函数 C. 对任意非零实数， D. 方程恰有个实数解 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，得函数的定义域为. 对于A，，且函数的定义域关于原点对称，则是奇函数，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在和上分别单调递增，则函数仅在和上分别单调递增，不是定义在上的增函数，故B错误； 对于C，对任意非零实数，，故C正确； 对于D，，由，得且，即； 当时，解得，符合题意，是方程的解； 当时，，即，解得，符合题意，是方程的解； 综上所述，方程恰有个实数解，故D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式等价于或，解得或， 故集合或. 因为集合，所以. 13. 某小区停车场计划安装台充电桩(为正整数)，每台充电桩每年的折旧维护费用为万元．经测算，车主排队等候充电造成的排队损失费(万元)与安装台数成反比，比例系数为，则每年的总费用（折旧维护费与排队损失费之和）最低为_________万元． 【答案】 【解析】 【详解】设每年的总费用为万元，则. ，，； ，当且仅当，即时等号成立. ，即每年的总费用（折旧维护费与排队损失费之和）最低为万元. 14. 已知幂函数的图象过点，函数．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法得到幂函数解析式，代入分段函数，利用函数的单调性求满足不等式的x的取值范围. 【详解】设幂函数，代入，解得，故， 当时，， 不等式为，可得，即， 又在上单调递增，故， 当时，，， 不等式为，即，可得，即， 又在上单调递增，故，解得， 当时，，成立， 综上所述，. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的值． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【小问1详解】 若，则，， 所以，． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以 ． 解方程，得，． 当时，，，集合A不满足集合中元素的互异性． 当时， ， 则当，即时，，集合A不满足集合中元素的互异性； 当，即(舍负)时，此时 ，满足题意． 综上，实数的值为． 16. 表示不超过x的最大整数，例如，，． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 令，，不等式变为：，解得， 则t的解集为. 因为t是不超过x的最大整数，所以， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 时的所有可能取值为 ， ， ， . 恒成立即时恒成立，分别代入 ，，此时m的取值范围是任意实数； ，； ，； ，， 公共解为，即实数m的取值范围是. 17. 已知一元二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）不等式的解集记为，，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以，解得． 所以． 【小问2详解】 不等式可化为，解得．故． 当，即时，，符合题意； 当时，要使，则，，解得． 综上，实数的取值范围为． 18. 已知函数． （1）若函数是定义在上的奇函数． ①求实数的值； ②用定义证明：函数在上单调递减． （2）若，对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）① ②证明：，，且， 则 因为，，， 所以，，，，则， 所以，即． 所以函数在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据奇函数的定义，代入时的函数值即可求解；②通过函数单调性的定义即可证明； （2）结合函数单调性和奇偶性，将函数不等式恒成立问题转换为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ①因为，是奇函数， 所以，所以． 经检验，当a时，，则，所以是定义在上的奇函数． 所以实数的值为． ②略 【小问2详解】 若，则． 对任意的，恒成立，即． 由（1）可知函数在上单调递减， 又在上单调递增，且 由复合函数单调性可知：在上单调递减， 所以当时，的最大值为． 所以，即，解得． 所以实数的取值范围是． 19. 若对于任意，总存在唯一的，使得成立，我们就称函数是函数在区间上的“—相伴函数”． （1）判断函数是否是自身在区间上的“—相伴函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在上的“—相伴函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在上的“—相伴函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是 理由如下：方法一：对于任意的，若，则， 所以，因为不是的子集， 所以不是自身在区间上的“—相伴函数” 方法二：当时，，解得， 所以当时，不存在，使得，即不是自身在区间上的“—相伴函数” （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）方法一：先根据定义列出等式，算出对应的范围，发现不是的子集，因此不满足相伴函数的要求； 方法二：举特殊值计算说明即可； （2）变形得到，由的值域包含于解不等式锁定的范围，进而求出最大值； （3）转化为，求出的取值区间，结合的一个函数值只能对应唯一的条件，列出不等式求出t的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对于任意，总存在唯一的，使得成立， 则，解得． 因为，， 所以，所以． 解得或，．又因为，所以，且不同时为． 所以当，时，取得最大值，最大值为． 【小问3详解】 对于任意，总存在唯一的，使得成立， 则，即． 因为， 所以． 因为，，所以当时，，当时，， 所以其图象如图． 又因为总存在唯一的，使得成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $