精品解析：天津市红桥区2026-2027学年 九年级上学期数学期中试卷

天津市2026—2027红桥区九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、B选项，、右边为整式，但自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； C选项右边为整式，自变量最高次数为，且二次项系数不为，符合题意； D选项右边为分式，不是整式，不符合题意． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，然后求出a、b，从而得到的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 4. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 运用配方法即可将其化为顶点式． 【详解】解： 故选：C． 5. 科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： 则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据表格数据计算得， 压强与受力面积成反比例关系， 设， ， ， 故选：C． 6. 四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 7. 设，是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，且，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意，． 根据一元二次方程的根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∴，解得． 8. 抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在轴右侧，，异号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得的符号，根据对称轴在轴的哪侧可得的符号，根据抛物线与轴的交点可得的符号． 【详解】解：抛物线开口向下 ∴， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴ ， 抛物线与轴交于正半轴， ∴． 故选：D． 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的值确定图象所在象限及增减性，结合各点纵坐标的特征比较横坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵点的纵坐标， ∴点在第三象限，． ∵点、的纵坐标、均大于， ∴点、在第一象限， 又∵， ∴， 综上可得． 10. 如图，以为顶点的二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的负半轴相交于点A，则关于x的一元二次方程的正数解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴对称轴为直线， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是， ∴右侧交点横坐标的取值范围是． 11. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别为，，连接，若点恰好落在边上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解直角三角形得，根据旋转的性质，得到，，，，得到为等边三角形，求出，，进而得到为等边三角形，得到，然后求的周长即可． 【详解】解：在中，，，， ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，则， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 则的周长为． 12. 已知抛物线（m为常数）的顶点为P，点，在抛物线上（其中）．给出下面四个结论： ①当点P在x轴上时，；②点P在直线上；③； ④当点的轨迹所在直线与线段没有交点时，m的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线配方得到顶点P的坐标，利用抛物线对称性得出t与m的关系，再将n用m表示，逐一判断四个结论． 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∴顶点，对称轴为直线． ∵，在抛物线上且纵坐标相同， ∴A、B关于对称轴对称， ∴， 解得， 由得． 将代入解析式得． ①当P在x轴上时，，解得，故①正确． ②将代入，得，与P的纵坐标不恒相等，故②错误． ③， ∵， ∴，当时取等号，故③错误． ④∵，， ∴点P在直线上． 当时，解得， 直线与直线的交点为，若交点不在线段上，则或． 当时，，即，解得，与矛盾，舍去． 当时，，即，整理得，解得或，结合得． 故m的取值范围是，④正确． 综上，正确的是①④． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 二次函数的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标k即为函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴，，， ∴抛物线开口向下，顶点为抛物线的最高点， ∴当时，函数取得最大值，最大值为． 14. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂为时，撬动石头至少需要的力的大小为__________N． 【答案】300 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件，代入已知的阻力、阻力臂、动力臂的对应数值，即可求解撬动石头所需的最小动力． 【详解】解：设撬动石头至少需要的力的大小为， ∵ 阻力为，阻力臂为，动力臂为， ∴ 代入平衡关系可得， ∴ ． 15. 若关于的一元二次方程（为常数，）有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式为列出关于的一元二次方程并结合解答即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， ∵， ∴． 16. 将抛物线向上平移m个单位长度，若平移后的抛物线经过第一、第二、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（满足即可） 【解析】 【分析】将原抛物线配方得到平移后的解析式，结合开口向上的抛物线图象性质，根据经过的象限推导参数取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：先将原抛物线解析式配方，， ∵向上平移个单位长度， ∴根据平移规则，平移后的抛物线解析式为． ∵该抛物线二次项系数为，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵平移后的抛物线经过第一、第二、第四象限， ∴抛物线需存在的部分，即顶点纵坐标小于0． ∴． 解得． ∵抛物线不能经过第三象限（第三象限为且的区域），且抛物线在对称轴左侧（时），随的减小而增大， ∴时的函数值大于时的函数值， ∴要使时函数值均非负，只需时的函数值． 将代入平移后的解析式，得， ∴． 解得． 综上，的取值范围是，任取该范围内的一个值即可，例如． 17. 一个三角点阵如图所示，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，…，第行有个点，…，前行点数的和为． （Ⅰ）的大小为__________； （Ⅱ）当时，的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据几个连续整数的和的公式可得：，计算求出结果即可； （2）根据几个连续整数的和的公式可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的值为． 18. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在边上． （Ⅰ）的长为__________； （Ⅱ）连接与相交于点，则的长为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出，由旋转的性质可以求出，利用勾股定理即可求出的长度； （Ⅱ）过点作，根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理求出，可证，根据相似三角形的性质可以求出，再根据求出结果． 【详解】（Ⅰ）解：在中，，，， ， 由旋转可知，，，， ， ； （Ⅱ）解：如下图所示，过点作， 则， ， ， 可得：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，的顶点，，． （1）填空：顶点的坐标为 ； （2）将绕原点O逆时针旋转得到，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 【答案】（1） （2） 解：如图所示即为所作， 由图知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，． （1）求m和k的值； （2）当时，求y的取值范围； （3）求的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入求解； （2）判断出当时，y随x的增大而增大，然后分别将和代入求解即可； （3）如图，设与y轴交于点C，求出所在直线的解析式，然后得到，利用求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得； 【小问2详解】 解：， ，且当时，y随x的增大而增大， 当时，；当时，， y的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图，设与y轴交于点C， ∵，， ∴，， 设所在直线的解析式为， ∴， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ． 22. 已知抛物线（b，c为常数）经过点和点． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当时，，求m的取值范围； （3）设直线与该抛物线相交于C，D两点，则在此抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式，然后配方成顶点式即可求解； （2）首先得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后求出当时，，，然后求解即可； （3）由（2）可知，，利用求出点M到直线的距离为9，然后分两种情况讨论，分别得到点M的纵坐标，代入表达式求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入得，， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y取得最小值， 当时，， 解得，， 当时，， m的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵直线与该抛物线相交于C，D两点， ∴由（2）可知，， 设点M到直线的距离为h， ， ∴， ∴， 点M到直线的距离为9， 当点M在直线的上方时，点M的纵坐标为， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为或； 当点M在直线的下方时，点M的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 23. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? 【答案】（1）， （2）销售单价为18元 （3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润=单件利润×销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，（舍去）， ∴销售单价应为18元； 【小问3详解】 解： 依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 24. 在中，，点D在边上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得线段，点D的对应点为E．记旋转角为，且． （1）如图①，当时，连接，求证：； （2）当时，连接，作的中线，． ①如图②，若，求线段的长； ②若，，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】（1）证明：由旋转知，，． ． ． ， ． ． 又， ； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）先证明≌，再由全等三角形的性质证明即可； （2）①延长使，则是的中位线，那么，然后证明≌，则，得到，据此计算即可求解； ②分两种情况讨论，在左侧时，以及在右侧时，利用①的辅助线，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，延长使，连接， 是的中线， ， 是的中位线， ， 将绕点B逆时针旋转得线段， ，， ∵， ∴，即， ， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ； ②解：情况一：当在左侧时，设与的交点为G，过B点作于H点． ，， ， 又，， ，， 设，则，则，解得（负值舍）， ， 由①知， ， ∵， ，由①知≌， ， ，， ，， ，， ， ， ， ∵是的中位线， ∴， ， ， ， ， ，， 由（2）知； 情况二：当在右侧时，延长使，连接， 同理可得， ∴， 同上有， ∴， 同上可得， ∴，， 则， ， 是中点， ， 综上，或． 25. 已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． （1）求点B的坐标； （2）过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 【答案】（1）点B的坐标为 （2）①；②最大值为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性来求解点的坐标． （2）①先求出直线和直线的方程，再求出点的坐标，最后根据两点间距离公式求出的长． ②先求出，再将进行转化，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设点的坐标为． 点在抛物线上，其对称轴为直线， ．解得． 点B的坐标为． 【小问2详解】 ①抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，． ，． 抛物线经过点， ，．解得． 抛物线的解析式为． 点C的坐标为．有． ．可得，． 根据题意，．． ． ②如图，过点Q作轴，垂足为H，与相交于点N． ，， 直线的解析式为． 设点Q的坐标为，则点，点． ，． ， ． ，． ． ． 当时，取得最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市2026—2027红桥区九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 5. 科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： 则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，且，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以为顶点的二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的负半轴相交于点A，则关于x的一元二次方程的正数解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别为，，连接，若点恰好落在边上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线（m为常数）的顶点为P，点，在抛物线上（其中）．给出下面四个结论： ①当点P在x轴上时，；②点P在直线上；③； ④当点的轨迹所在直线与线段没有交点时，m的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 二次函数的最大值为__________． 14. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂为时，撬动石头至少需要的力的大小为__________N． 15. 若关于的一元二次方程（为常数，）有两个相等的实数根，则的值等于______． 16. 将抛物线向上平移m个单位长度，若平移后的抛物线经过第一、第二、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 17. 一个三角点阵如图所示，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，…，第行有个点，…，前行点数的和为． （Ⅰ）的大小为__________； （Ⅱ）当时，的值为__________． 18. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在边上． （Ⅰ）的长为__________； （Ⅱ）连接与相交于点，则的长为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 19. 解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，的顶点，，． （1）填空：顶点的坐标为 ； （2）将绕原点O逆时针旋转得到，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 21. 已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，． （1）求m和k的值； （2）当时，求y的取值范围； （3）求的大小． 22. 已知抛物线（b，c为常数）经过点和点． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当时，，求m的取值范围； （3）设直线与该抛物线相交于C，D两点，则在此抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? 24. 在中，，点D在边上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得线段，点D的对应点为E．记旋转角为，且． （1）如图①，当时，连接，求证：； （2）当时，连接，作的中线，． ①如图②，若，求线段的长； ②若，，求线段的长（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． （1）求点B的坐标； （2）过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $