精品解析：天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

九年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，即可判断答案． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，分别判断如下： A：把图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B：把图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C：把图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D：符合中心对称图形的定义，所以该图形是中心对称图形，故该选项符合题意．   故选：D ． 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，将根代入方程求解的值． 【详解】是方程 的根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 3. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根，平方的非负性，掌握知识点是解题的关键． 方程没有实数根，需满足右边小于零，因为左边平方项非负． 【详解】解：∵方程没有实数根，且， ∴， ∴， ∴． 选项C中，符合条件． 故选C． 5. 若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的应用及无理数的估算，通过解方程得到，然后比较相邻整数的平方以确定 的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 即m在4和5之间， 故选：C． 6. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，关键是用方程的思想解决问题； 由于门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理列出方程． 【详解】解：∵门的高为尺，高比宽多尺， ∴宽为尺， ∵门的对角线长为尺， ∴由勾股定理得：． 故答案选：B． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小，把点，，分别代入二次函数解析式，即可比较，，的大小关系． 【详解】解： 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ， ∴． 故选：D． 8. 若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 9. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：将、代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 该函数图象的对称轴为直线，故甲正确； 又，函数图象的对称轴为直线， 二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确； 当时，，即，故丙正确； 故选：B． 10. 如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．根据旋转的性质逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：A.由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项A不符合题意； B. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项B不符合题意； C. 由旋转的性质可知，，，，，由“8字模型”可得，，又，，故选项C符合题意； D. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项D不符合题意． 故选：C． 11. 如图，在菱形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径都相等）相交于，两点，直线与边相交于点，连接，．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图过程，得是的垂直平分线，所以，运用菱形的性质得，又因为，则，运用勾股定理列式计算得，再在中，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图过程，得是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ∴在中，， ∴（负值已舍去）， 故选：B 12. 已知二次函数（，，是常数，）的图象与轴的一个交点的坐标为，其对称轴为直线．有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大，则的最大值为； ③若是方程的两个根，则且． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴交点问题等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 由对称轴直线可得，由交点可得，结论①代入计算；结论②利用开口向下时递增范围为，结合条件求；结论③将方程转化为函数与水平线的交点，结合函数图像分析根的位置． 【详解】解：∵ 对称轴直线 ， ∴ ，即 ， ∵ 点在函数上图象， ∴ ， 代入得，即 ， ∴ ； 结论①： ， ∵ ， ∴ ，故①正确； 结论②： ∵ ，函数开口向下，在 时随增大而增大。 若当 时随增大而增大， 则，即 ， ∴ 的最大值为，故②正确； 结论③： 方程 即， 函数开口向下，与轴交于和， ∴顶点为， ∵，， ∴ 方程有两个根，分别位于 和， 即且，故③正确； 综上，正确结论个数为3， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知二次函数，当时，的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 14. 若关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，建立不等式求解． 【详解】方程 中，， 判别式， 由于方程有两个不相等的实数根，故， 即， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 详解】解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 16. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线解析式，然后展开为一般式，与给定解析式对比系数，得到b和c的值，最后计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 与对比，得，． 则， 故答案为：2． 17. 如图，在等腰中，，． （1）线段的长为______； （2）为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，则线段的长为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质及直角三角形性质， （1）根据勾股定理直接计算求出结论； （2）作，交于点F，作于点H，证明，得出，再求出，进而求出结论． 【详解】解：（1）在等腰中，，， ， ； （2）作，交于点F，作于点H， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 在等腰中，，为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：；． 18. 已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是______； （2）若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是： （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：①当时；当时；③当时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， ∵函数，， ∴抛物线开口向上 ∴当时，有最小值为； ∵当时，；当 时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为； （2）①当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； ②当时， ∵抛物线开口向上，当时，有最小值， ∴当时，有最大值为，或当时，有最大值为， 又， ∴，或 解得或； ③当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解不等式是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此在数轴上表示不等式组的解集， （4）读取（3）的数轴，得出原不等式组的解集为，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，， ∴， 则， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）得， 由（2）得， ∴把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ． 【小问4详解】 解：由（3）的数轴得， 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，． （1）填空：顶点的坐标为________； （2）将绕点逆时针旋转得，点，，，的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 【答案】（1） （2）图见解析； ，，， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可知，顶点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，解得，． （2）理解题意，则，即可作答． （3）先理解题意，则，，再结合，故，解得的值，即可作答． 【小问1详解】 解：当时，， 即． 得． ∴，或． 即，． 【小问2详解】 解：依题意， ， 无论取任何实数，该方程总有实数根． 【小问3详解】 解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ． ∴ 解得． 22. 如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解： 抛物线的顶点坐标为， 解得． ∴， 由，得． ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ． 当时，． 点的坐标为． 又， 设直线的解析式为 ， 解得， 可得直线的解析式为． 轴， 点的坐标为． 点在直线的上方， ． 则， ∵， ∴开口向下， 当时，的最大值为． 23. 阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13元/千克 （3）定价20元/千克时，利润最大，最大利润为1000元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，二次函数的图象性质，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读取表中的数据，再运用待定系数法进行列方程，再解得， （2）理解题意，得每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克，根据水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元进行列式，得出，（舍去），即可作答． （3）理解题意，得，根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设与之间的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， ， ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元． ∴． 即； 【小问2详解】 解：依题意，每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克， 根据题意，得． 解得，（舍去）． 当销售单价定为每千克13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄可获得的利润为510元． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ∵， ∴开口向下， 当销售单价为每千克20元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润为1000元． 24. 在平面直角坐标系中，点，，．将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且． （1）如图①，当时，求点和点的坐标； （2）如图②，当时，分别与轴，相交于点，，求点和点的坐标； （3）若直线与相交于点F，求的大小（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据，．得，结合旋转的性质，得，运用勾股定理得，，即可得出，； （2）结合旋转的性质，正方形的性质，得，根据30度的直角三角形的性质得，结合勾股定理得出，解得，即点的坐标为，再把数值代入进行计算，得，即可得； （3）当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点，先证明，故，推出，进而得到，利用三角形外角的性质，三角形内角和性质以及对顶角相等即可解答，当点在点右侧时，则，同理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，． ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且， ∴， 由旋转性质得， ∴， 在中，， 在中，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴， 则， ∴点的坐标为， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点右侧时，则，如图， 同理得， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，30度的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 已知抛物线（，为常数，）与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）当时，求该抛物线顶点坐标； （2）当时，求的值； （3）将线段绕点顺时针旋转，得线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，又因为，则，再化为顶点式，即可作答． （2）先分别找出点的坐标，和点的坐标，根据进行列式计算，即可作答． （3）过点作轴于点，根据旋转的性质证明，再整理得点的坐标为．因为点在抛物线上，得．即，最后解出方程，即可作答． 【小问1详解】 解：点在抛物线上， ． 即． 当时，， ∴， 该抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则． 令，则 点的坐标为， 则抛物线对称轴为直线． ， ． 点， ， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 则 ∴点的坐标为． ． 在中，得． ， ． 解得，（舍去）． 所求的值为． 【小问3详解】 解：如图所示： 过点作轴于点． ． ∴． ∵旋转， ∴，，则． 得． 又， ∴． ，． 由，得． 点的坐标为． 点在抛物线上， ． 即． 解得，， ∵点在第四象限， ∴， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A B. C. D. 3. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径都相等）相交于，两点，直线与边相交于点，连接，．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知二次函数（，，是常数，）的图象与轴的一个交点的坐标为，其对称轴为直线．有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大，则的最大值为； ③若是方程的两个根，则且． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知二次函数，当时，的值为______． 14. 若关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为______． 16. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为______． 17. 如图，在等腰中，，． （1）线段长为______； （2）为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，则线段的长为______． 18. 已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是______； （2）若恒成立，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，． （1）填空：顶点的坐标为________； （2）将绕点逆时针旋转得，点，，，的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 22. 如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）求点和点坐标； （2）点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 23. 阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，点，，．将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且． （1）如图①，当时，求点和点的坐标； （2）如图②，当时，分别与轴，相交于点，，求点和点的坐标； （3）若直线与相交于点F，求的大小（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，为常数，）与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求值； （3）将线段绕点顺时针旋转，得线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $