精品解析：山东淄博市博山区第六中学2026-2027学年（五四制）九年级上学期期中考试数学

博山六中2026—2027学年度第一学期期中数学试题 一、选择题（每小题4分，计40分） 1. 若反比例函数的图像经过点，则的值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的特征，根据点在反比例函数图像上，故其坐标满足函数解析式，代入即可求出的值． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴， 故选：C． 2. 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值计算即可． 【详解】解：原式． 故选：B 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 3. 矩形的面积为8，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的面积公式得，且，，据此即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的面积为8，矩形的长为y与宽为x， ， ，， ∴B符合题意． 4. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 5. 如图，河堤的横断面迎水坡 的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. 10m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度， ， m， 在中，由勾股定理得，（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 6. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意确定反比例函数图像所在象限，并确定每个象限内图像的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大， ， A、B两点在第四象限，C在第二象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是掌握反比例函数图像所在象限，并且在每个象限内的增减性． 7. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（ ） A. －1 B. 2 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等， 由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7， ∴x＝5时y的值为7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，根据表格求得对称轴为直线x＝2是解题关键． 8. 如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 9. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键. 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据当时，最大值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ， ， 结合图象可得， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， 当时，最大值， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确， 故正确的有3个. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数 中自变量x的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义，二次根式有意义解答即可． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故答案为且． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求一个角的正弦值，如图，连接，根据勾股定理及逆定理判断出是直角三角形，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 13. 抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可． 【详解】解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0， ∴抛物线与轴有2个交点． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根． 14. 如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为3，则的值为______. 【答案】-4 【解析】 【分析】先根据反比例函数求出△BOC的面积，再求出△AOC的面积，然后根据k的几何意义即可求出k的值. 【详解】如解图，设交轴于点， ∵轴，，， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴，则. 故答案为：-4. 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 . 15. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，，这样依次下去，得到一组线段：，，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解直角三角形，根据题意分别求出线段，，的长度，进而发现规律得到的长度，据此即可求解，利用从特殊到一般的探究方法发现规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线， ∴直线与 轴的夹角为， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ， ， ∴， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个题，共90分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）7 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）该二次函数的解析式为 （2）点在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 18. 在中，，，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果都保留根号） 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理； （1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点D， 在中，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， 的面积为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）9 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）求出，的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方或与一次函数图象相交所对应的x的范围，直接得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象下方或与一次函数图象相交， ∴不等式的解集是或． 20. 为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架高度为米，在E点处测得古树顶端A点的仰角为（点在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）． （1）求斜坡的高； （2）求古树的高？（已知，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】(1)过点作与点，延长交于，根据斜坡的坡度(或坡比)可设，则，利用勾股定理求出的值，进而即可求解； (2)由与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作与点，延长交于， ∵斜坡的坡度(或坡比)，米， ∴，则． 在中， ∵，即，解得， ∴米，即：斜坡的高为米； 【小问2详解】 ∵米， ∴米， ∴米，米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中， ∵， ∴米， ∴ (米)． 答：建筑物的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 21. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）该网店每星期的销售利润要不低于2400元，求销售单价x的取值范围？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当时，该网店每星期的销售利润要不低于2400元． （3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【解析】 【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论； （2）设该网店每星期的销售利润为w元，，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题． 【小问1详解】 由题意可得，； 【小问2详解】 设该网店每星期的销售利润为w元， 由题意可得，当时，， 解得，，， ∵二次项系数为， ∴开口向下， ∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元， ∴当时，该网店每星期的销售利润要不低于2400元． 【小问3详解】 ， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求m，k的值； （2）过动点作平行于x轴的直线，交直线 于点 C，交函数的图象于点D． ①当 时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入可得，将代入反比例函数可得，即可得出答案； （2）①当时，点的坐标为，分别求出点、的坐标，从而即可得出的长； ②分三种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，当点与点重合时，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：直线经过点， ∴， ， 反比例函数经过， ， ； 【小问2详解】 解：①当时，点的坐标为， 在中，当时，，解得， 点的坐标为， 在中，当时，，解得， 点的坐标是， ； ②在中，当时，， 解得， ， ， 当时，， 解得， 点的坐标是， 在中，当时，，解得， 点的坐标为， 当点在点的左侧时，即时，， ∵， ∴， 解得：， 当点在点的右侧时，即时，， ∵， ∴， 解得：， 当点与点重合，此时点与点重合于点，不符合题意，故， 综上所述，若，的取值范围为或． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． （1）求该二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）连接， 求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）存在，点 P 的坐标为 （3）四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，根据，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标； （3）由（2）可知，则四边形面积，当时，四边形面积的最大值为． 【小问1详解】 解：抛物线过与点， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点坐标为， 轴， 点的坐标为， ； 如图，连接， ， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ； 过点作于，则， ， ， 解得：，（舍去）， 此时； ∴点 P 的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 四边形面积， ∵， ∴当时，四边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山六中2026—2027学年度第一学期期中数学试题 一、选择题（每小题4分，计40分） 1. 若反比例函数的图像经过点，则的值是（　　） A. B. C. 2 D. 2. 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 矩形的面积为8，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，河堤的横断面迎水坡 的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. 10m B. m C. m D. m 6. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 7. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（ ） A. －1 B. 2 C. 7 D. 14 8. 如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数 中自变量x的取值范围是_____． 12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为______． 13. 抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________． 14. 如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为3，则的值为______. 15. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，，这样依次下去，得到一组线段：，，，，则线段的长为______． 三、解答题（本题共8个题，共90分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 18. 在中，，，． （1）求的长； （2）求的面积．（结果都保留根号） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 20. 为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架高度为米，在E点处测得古树顶端A点的仰角为（点在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）． （1）求斜坡的高； （2）求古树的高？（已知，，） 21. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）该网店每星期的销售利润要不低于2400元，求销售单价x的取值范围？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求m，k的值； （2）过动点作平行于x轴的直线，交直线 于点 C，交函数的图象于点D． ①当 时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． （1）求该二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）连接， 求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $