精品解析：山东省淄博市博山中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

博山中学2024－2025学年度第一学期期中数学试题 一、选择题（每小题4分，计40分） 1. 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值计算即可． 【详解】解：原式． 故选：B 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ） A. a＝1 B. a≠1 C. a＞1 D. a＜1 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象特点即可得答案． 【详解】∵反比例函数的解析式为，且图象位于第一、三象限， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，即可求解． 【详解】解：抛物线y=−x2+1的顶点坐标是(0，1)． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ． 4. 将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）． 将其向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5）， 所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2+5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 5. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（ ） A. －1 B. 2 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等， 由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7， ∴x＝5时y的值为7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，根据表格求得对称轴为直线x＝2是解题关键． 6. 函数与在同一直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】解：函数y＝（k≠0，且k为常数）中k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，此时y＝kx+k的图象在第一、二、三象限； 当函数y＝（k≠0，且k为常数）中k＜0时，反比例函数图象在二、四象限，此时y＝kx+k的图象在第二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 7. 如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数设出AE=3,BE=4,根据勾股定理，求出，根据四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=BC=5，AD∥BC，根据△ABE沿直线AE翻折至△AFE，可得EF=BE=4，可求CF =3，再证△ADG∽△FCG，结合平行线间的距离相等可得HM=AE=3，求出高GM，利用面积公式求即可． 【详解】解：过G作GH⊥AD于H，延长HG交CF于M， ∵，， 设AE=3，BE=4, 根据勾股定理即， 解得 ∴BE=4，AE=3， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=AB=BC=5，AD∥BC， ∵△ABE沿直线AE翻折至△AFE， ∴EF=BE=4， ∴EC=BC-AE=5-4=1， ∴CF=EF-EC=4-1=3， ∵AD∥CF， ∴∠D=∠GCF，∠DAG=∠F， ∴△ADG∽△FCG， ∴ 又∵HM⊥AD，AE⊥AD，AD∥BF， ∴HM=AE=3， 设HG=5n，MG=3n， ∴5n+3n=3, 解得, ∴MG=， ∴△CFG的面积=． 故选：B． ． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形面积，掌握菱形性质，折叠性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形面积是解题关键． 8. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键. 9. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确． ∵当时，， ∴，故②错误． ∵抛物线与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ， ， ∴， ∴，故③正确； 设，，如图： 由图得，时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 10 如图，已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作轴于 再利用勾股定理求解 再由从而可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于 故答案为： 【点睛】本题考查的是图形与坐标，求解锐角三角函数值，掌握以上知识是解题的关键． 11. 若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为_____． 【答案】-9 【解析】 【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出ab=-5，将其代入代数式ab-4中即可得出结论． 【详解】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上 ∴ab=-5 ∴ab-4=-5-4=-9． 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出ab=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 12. 二次函数的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数解析式化成顶点式可以得到解答． 【详解】解：∵ = =， ∴当时，函数的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式是解题关键． 13. 如图，在中，是边上的高，已知，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由，可得，在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，可求BC=18x，利用BC=6，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案4． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键． 14. 如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，当时，线段长度的最小．首先证明点A与点B关于直线对称，因为点A，B在反比例函数的图象上，，所以可以假设，则，则，整理得，推出，，可得，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，因为反比例函数关于直线对称，观察图象可知：当线段与直线垂直时，垂足为M，此时，的值最小， ∵M为线段的中点， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A与点B关于直线对称， ∵， ∴设，则， ∴， 整理得， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键． 三、解答题（16－19题每题10分；20－21每题12分；22－23题13分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式运算即可； （2）根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4，解这个直角三角形． 【答案】∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝8. 【解析】 【详解】试题分析：首先利用正切求出的度数，根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数，最后算出斜边即可. 试题解析：在中，， 点睛:直有三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边和两个角，由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形. 17. 如图，中，，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴． 18. 为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架高度为米，在E点处测得古树顶端A点的仰角为（点在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）． （1）求斜坡的高； （2）求古树的高？（已知，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】(1)过点作与点，延长交于，根据斜坡的坡度(或坡比)可设，则，利用勾股定理求出的值，进而即可求解； (2)由与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作与点，延长交于， ∵斜坡的坡度(或坡比)，米， ∴，则． 在中， ∵，即，解得， ∴米，即：斜坡的高为米； 【小问2详解】 ∵米， ∴米， ∴米，米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中， ∵， ∴米， ∴ (米)． 答：建筑物的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19. 为了促进旅游经济发展，淄川区某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（友情提示：一定注意自变量取值范围） 【答案】（1）， （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用． （1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为，用待定系数法可得； （2）设每天获利w元，，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【小问1详解】 设每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）之间的关系式为， 把，代入得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 （2）设每天获利w元 ， ∵，对称轴是直线， 而， ∴时，w取最大值，最大值是（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 20. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点A对应的指标值及段所对应的函数解析式． （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20， （2）能，见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，利用函数图象解决实际问题是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入，即可得出A对应的指标值；用待定系数法求出段所对应的函数解析式； （2）将分别代入一次函数和反比例函数解析求出对应的x的值，然后得出自变量的取值范围，即可得出结论． 【小问1详解】 设反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴ ∴ ∴ 将代入得：， ∴点对应的指标值为； 设直线的解析式为，将、代入中， 得， 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， ∴由图象可得，当时，注意力指标都不低于36 ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 21. 如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点P为抛物线上动点，设点的横坐标为t． （1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P在第四象限，连接、及，当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，有最大值 （3）存在，Q点坐标为或或或或 【解析】 【分析】（1）抛物线经过点，则函数的对称轴为：，即可求解； （2）的面积，即可求解； （3）分是底、是腰两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为， ∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点 ∴， 抛物线表达式为， 故，解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 如图，过点P作y轴的平行线交于点H， 由点A，E的坐标得直线的表达式为， 设点，则点， ∴的面积， ． ， ∴当时，有最大值． 【小问3详解】 如图，底时， ， 作于N， 则， ，即， ， ， 是腰，点A是顶角顶点时， 如下图， ， ， ， 或； 当是腰，点E是顶角顶点时， 如下图， ， ， 或， 综上所述，Q点坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学2024－2025学年度第一学期期中数学试题 一、选择题（每小题4分，计40分） 1. 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ） A a＝1 B. a≠1 C. a＞1 D. a＜1 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（ ） A. －1 B. 2 C. 7 D. 14 6. 函数与在同一直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共20分） 10. 如图，已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα＝_____． 11. 若点A（a，b）在反比例函数y＝图象上，则代数式ab﹣4的值为_____． 12. 二次函数的最小值为 _____． 13. 如图，在中，是边上的高，已知，则_______． 14. 如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是___________． 三、解答题（16－19题每题10分；20－21每题12分；22－23题13分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4，解这个直角三角形． 17. 如图，中，，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 18. 为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架高度为米，在E点处测得古树顶端A点的仰角为（点在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）． （1）求斜坡的高； （2）求古树的高？（已知，，） 19. 为了促进旅游经济发展，淄川区某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天销售数量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（友情提示：一定注意自变量取值范围） 20. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点A对应的指标值及段所对应的函数解析式． （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 21. 如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点P为抛物线上动点，设点的横坐标为t． （1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P在第四象限，连接、及，当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $