18.5 分式方程（第2课时）---分式的应用 教学设计 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 18.5 分式方程的应用（第2课时） 课 型 新授课 教学 目标 1. 能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用，发展数学建模思想。 2. 掌握列分式方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），能熟练列分式方程解决行程、工程、销售等实际问题。 3. 理解列分式方程解应用题时“双重检验”的必要性，养成检验根的合理性和结果实际意义的良好习惯。 4. 经历“实际问题→建立分式方程模型→求解→解释解的合理性”的完整过程，提高分析问题和解决问题的能力。 重点 列分式方程解应用题的一般步骤；分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出分式方程。 难点 准确找出实际问题中的等量关系；解后进行双重检验（检验是否为增根、检验是否符合实际意义）。 教学 方法 讲练结合法、小组讨论法、归纳总结法。 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1. 复习提问：列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？（审、设、列、解、验、答）当所列方程的分母中含有未知数时，就成为分式方程，解法上将多一步“检验”。 2. 情境呈现：一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 3. 引导分析：设江水流速为v km/h，则顺流速度为(20+v) km/h，逆流速度为(20−v) km/h；顺流时间为100/(20+v) h，逆流时间为60/(20−v) h。由“时间相等”可得方程100/(20+v)=60/(20−v)。 4. 揭示课题：这就是今天要学习的——列分式方程解应用题。 任务驱学 任务1：分析上述轮船问题中的已知量、未知量，找出等量关系（顺流时间=逆流时间）。 任务2：尝试列出分式方程并求解，思考解完后还需要做什么。 任务3：小组讨论：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题有何异同？ 任务4：归纳列分式方程解应用题的一般步骤和检验要求。 二次备课 二、合作探究 探究1 列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审题，弄清已知量、未知量，找出题中的等量关系； ②设：设未知数（可直接设，也可间接设），写明单位； ③列：根据等量关系列出分式方程； ④解：解这个分式方程； ⑤验：既要检验所求的根是否为原方程的增根（代入最简公分母），又要检验是否符合实际意义（速度、时间、数量不能为负等）； ⑥答：写出答案，注意带单位。 探究2 常见应用题类型及基本等量关系： ①行程问题：路程=速度×时间；顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度−水流速度。常见关键词：“时间相等”“同时到达”“提前几小时”。 ②工程问题：工作量=工作效率×工作时间；当总工作量未知时，通常把总工作量看作1，各队的工作效率为1/单独完成天数。常见关键词：“合作”“先做后合”。 ③销售问题：利润=售价−进价；利润率=利润/进价；销售额=单价×销售量。 ④增长率问题：一次增长后的量=原量×(1+增长率)；连续两次增长后的量=原量×(1+增长率)2。 探究3 找等量关系的常用方法： ①抓关键词：“相等”“是……的几倍”“比……多（少）”“共”“提前”“耽误”等； ②画线段图或列表格，直观呈现各量之间的关系； ③牢记常见题型的基本公式，套用公式寻找等量关系。 探究4 易错点警示： ①单位不统一（如时间单位分钟与小时混用）； ②去分母时漏乘不含分母的项（常数项也要乘最简公分母）； ③解后不检验，或只检验是否为增根而忽略实际意义（如速度为负、人数为非整数等）； ④设未知数或写答案时忘记带单位。 教 学 过 程 及 方 法 三、典例精析 例1（行程问题）轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，求江水的流速。 分析：顺流速度=(20+v) km/h，逆流速度=(20−v) km/h；等量关系为“顺流时间=逆流时间”。 解：设江水的流速为v km/h。根据题意，得 100/(20+v)=60/(20−v)。 方程两边同乘(20+v)(20−v)，得100(20−v)=60(20+v)，2000−100v=1200+60v，160v=800，v=5。 检验：当v=5时，(20+v)(20−v)=25×15≠0，所以v=5是原分式方程的解，且流速为正数，符合实际意义。 答：江水的流速为5 km/h。 例2（工程问题）一项工程，甲队单独做需15天完成，乙队单独做需10天完成。现由甲队先做3天，余下工程由甲、乙两队合作，还需几天完成？ 分析：把总工作量看作1，甲队效率为1/15，乙队效率为1/10；等量关系为“甲先做3天的工作量+两队合作x天的工作量=1”。 解：设还需x天完成。根据题意，得 3/15+x(1/15+1/10)=1。 化简得1/5+1/6x=1，方程两边同乘30，得6+5x=30，5x=24，x=24/5=4.8。 检验：当x=4.8时，原方程各分母均不为0，且天数为正数，符合实际意义。 答：还需4.8天完成。 例3（销售问题）某商店经销一种旅游纪念品，4月份营业额为2000元。为扩大销售，5月份该纪念品打9折销售，结果销售量比4月份增加20件，营业额增加700元。求这种纪念品4月份的销售单价。 分析：设4月份单价为x元/件，则4月销售量为2000/x件；5月份单价为0.9x元，营业额为2000+700=2700元，销售量为2700/0.9x件。等量关系为“5月销售量⁻4月销售量=20”。 解：设4月份销售单价为x元/件。根据题意，得 2700/0.9x−2000/x=20。 化简得3000/x−2000/x=20，即1000/x=20，20x=1000，x=50。 检验：当x=50时，0.9x=45≠0，x=50是原分式方程的解，且单价为正数，符合实际意义。 答：这种纪念品4月份的销售单价为50元/件。 方法归纳：审→设→列→解→验（双重）→答；抓关键词，借助线段图或表格分析等量关系。 二次备课 四、展示交流，深化理解 1. 学生板演例1、例2的完整解题过程，重点展示等量关系分析、列方程和双重检验步骤。 2. 小组互评：检查所列方程是否正确、求解过程是否规范、检验是否完整（是否同时检验了增根和实际意义）。 3. 教师点评：强调解分式方程应用题必须检验——既检验是否为增根，又检验结果是否符合实际意义（速度、时间为正，件数、人数为正整数等）。 教 学 过 程 及 方 法 五、课堂检测，反馈学情 1. 列分式方程解应用题的一般步骤是：审、____、列、解、____、答。 2. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工6个，甲加工90个所用时间与乙加工60个所用时间相等。设乙每小时加工x个零件，则可列方程为____________。 3. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同。设原计划每天生产x台，则可列方程为____________。 【参考答案】1. 设；验 2. 90/(x+6)=60/x 3. 600/(x+50)=450/x 六、分层练习 1.（基础）甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个。 【解答】设乙每小时做x个，则甲每小时做(x+6)个。由题意得90/(x+6)=60/x，方程两边同乘x(x+6)，得90x=60(x+6)，30x=360，x=12。检验：当x=12时，x(x+6)=216≠0，且x+6=18为正数，符合题意。答：甲每小时做18个，乙每小时做12个。 2.（基础）一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度。 【解答】设前一小时行驶速度为x km/h。原计划用时180/x h，实际用时(1+(180−x)/1.5x) h。由题意得180/x−(1+(180−x)/1.5x)=2/3。化简并两边同乘3x，得540−3x−2(180−x)=2x，540−3x−360+2x=2x，180=3x，x=60。检验：当x=60时，1.5x=90≠0，且速度为正数，符合题意。答：前一小时行驶速度为60 km/h。 3.（提升）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器。 【解答】设现在平均每天生产x台，则原计划每天生产(x−50)台。由题意得600/x=450/(x−50)，两边同乘x(x−50)，得600(x−50)=450x，600x−30000=450x，150x=30000，x=200。检验：当x=200时，x−50=150≠0，且为正数，符合题意。答：现在平均每天生产200台机器。 4.（提升）甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天，再由两队合作2天就完成全部工程。已知甲队与乙队工作效率之比是3:2，求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天。 【解答】设甲队单独完成需2x天，乙队需3x天（效率比3:2，则时间比2:3）。甲的效率为1/2x，乙的效率为1/3x。由题意得1/3x+2(1/2x+1/3x)=1，即1/3x+1/x+2/3x=1，2/x=1，x=2。检验：当x=2时，2x=4，3x=6均不为0，符合题意。答：甲队单独完成需4天，乙队单独完成需6天。 5.（拓展）一轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，求江水的流速。 【解答】设江水的流速为v km/h。由题意得90/(30+v)=60/(30−v)，两边同乘(30+v)(30−v)，得90(30−v)=60(30+v)，2700−90v=1800+60v，150v=900，v=6。检验：当v=6时，30+v=36≠0，30−v=24≠0，且流速为正数，符合题意。答：江水的流速为6 km/h。 二次备课 课 堂 小 结 1. 列分式方程解应用题的步骤：审→设→列→解→验（双重）→答。 2. 常见题型及等量关系：行程（路程=速度×时间，顺流/逆流速度）；工程（工作量=效率×时间，总量看作1）；销售（利润=售价−进价）；增长率（新量=原量×(1+增长率)）。 3. 找等量关系的方法：抓关键词、画线段图、列表格、套用基本公式。 4. 双重检验：①代入最简公分母检验是否为增根；②检验结果是否符合实际意义（速度、时间、数量为正等）。 课后 作业 1. 必做：完成课本习题18.5中列分式方程解应用题部分。 2. 选做：A、B两地相距80 km，甲骑车从A地出发往B地，乙骑车从B地出发往A地，两人同时出发相向而行，2小时后相遇。已知甲每小时比乙多走4 km，求甲、乙两人的速度。 板 书 设 计 18.5 分式方程的应用（第2课时） 一、步骤：审→设→列→解→验→答 二、题型：行程、工程、销售、增长率 三、等量关系：抓关键词→线段图/表格→方程 四、检验：增根检验 + 实际意义检验 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $