精品解析：江西省南康中学2026-2027学年高一上学期教学质量检测（一）数学试题

2026～2027学年第一学期高一年级教学质量检测（一） 数 学 试 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合的真子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解. 【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是． 故选：A. 2. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 3. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 4. 已知，，满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】当时，不成立，A错误； 因为，，所以，B正确； 因为，所以，即，C 正确； 因为且，所以，，D正确. 5. 已知集合，，若．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，由集合包含关系列出不等式求解即可. 【详解】由题可知或，，由，可得，所以． 故选：B. 6. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 7. 如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 8. 已知正数满足：，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，转化为，由“1”的代换，利用基本不等式转化，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】设，则， 所以（当且仅当，即时取等号） 且， 解得：，即 的最小值为 故选：B. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，考查了学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面给出的几个关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据集合的关系判断，注意集合中的元素． 【详解】A选项，中有元素，中有元素、，不包含于，A错， B选项，中有元素，中有元素、，不包含于，B错， C选项，∵，∴，正确，C正确， D选项，是任意集合的子集，D对， 故选：CD． 10. 已知，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是2 C. 的最大值是 D. 的最小值是25 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判断A； 由已知得，由，可判断B； 由可判断C； 由，可判断D． 【详解】所以A中结论一定成立， 由已知得，，所以B中的结论是错误的， 由得：，所以C中的结论是成立的， 由已知得，所以D中的结论是成立的， 故选：ACD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，运用注意基本不等式所需满足的条件，属于基础题． 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式性质运算求解. 【详解】因为，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的常数2移项并通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】即，即，即， 等价于解得，即 所以不等式的解集是： 14. 某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种. 【答案】7 【解析】 【分析】利用容斥原理可得答案. 【详解】设拥有智能驾驶功能的车辆集合为，拥有婴儿与宠物模式的车辆集合为， 拥有露营功能的车辆集合为. 若是有限集，常用来表示中元素的个数. 已知，，，且. 则至少具备一种功能的车辆数为： ， 由于、、都至少包含同时具备三种功能的3辆 车（即，，）， 因此. 所以 总共有30辆车，因此没有三种功能中任意一种的车辆数至少为：. 故答案为：7. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求; （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据并集运算求解； （2）由等价于，列出不等式求解. 【小问1详解】 当时，，又， . 【小问2详解】 因为等价于， 当时，即，即，满足题意； 当时，则，解得； 综上，的取值范围为. 16. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）对命题，分（一次不等式恒成立）与（二次函数开口向上且判别式小于）两种情况讨论，求出为真时的取值范围； （2）先由存在性命题求出为真时的范围，再依据 “有且只有一个真命题”，分真假、假真两类求交集，最后合并得到的范围. 【小问1详解】 当时，恒成立，符合； 当时，需且，即. 综上，为真时． 【小问2详解】 命题q为真，等价于存在使，即，即． 所以p真时，q真时．“p、q有且只有一个是真命题”分两种情况： ①p真q假：，且或，得； ②p假q真：或，且，得． 综上，． 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 【答案】（1）R； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【小问1详解】 时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； 【小问2详解】 ，即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． （1）求的解集和的解集． （2）若恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． 【小问2详解】 恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期高一年级教学质量检测（一） 数 学 试 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合的真子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 3. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. ， 5. 已知集合，，若．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足：，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面给出的几个关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是2 C. 的最大值是 D. 的最小值是25 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则的取值范围是___________. 13. 不等式的解集是_____． 14. 某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求; （2）若，求a的取值范围. 16. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 18. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． （1）求的解集和的解集． （2）若恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $