精品解析：山西朔州市部分学校 2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

九年级数学 作答时间：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变量具有二次函数关系的是（ ） A. 圆的周长与半径 B. 正三角形的周长与边长 C. 正方形的面积与边长 D. 路程一定，速度与时间 3. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，且，则k的值是（ ） A. 24 B. 6 C. 18 D. 12 4. 山西部分煤矿装备企业针对矿山井下巡检、危险作业场景，开发防爆型人形机器人原型，面向能源行业特种作业场景．某装备制造车间7月份防爆机器人产能为500台，9月份产能提升至720台．设从7月份到9月份，该车间防爆机器人产能的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 5. 某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是反比例函数的一部分图象，已知是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，的面积是，则的值是（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2 7. 如图，在某学校秋季运动会排练时，无人机进行高空展示．无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分，其中y为飞行高度（单位：米），x为水平距离（单位：米）．已知无人机从地面原点处起飞，且飞行过程中的最大高度为25米，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 下面是小刚发送给的一段话，在深度思考后，给出高度h的值是________． 竖直上抛一个物体，物体的高度h（单位：米）与物体抛出后的时间x（单位：秒）的关系式为．求物体被抛出3秒后的高度h的值． 12. 如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 13. 如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 14. 某文创店销售晋侯鸟尊文创盲盒，每个的成本为元．当售价定为元时，每月可售出件．经市场调研发现，售价每提高2元，月销量就会减少件．若该文创店希望每月通过销售该盲盒获得元的利润，设此时的售价为x元，则可列方程：________． 15. 如图，在四边形中，，点E在四边形的内部，且，，将绕点E顺时针旋转至，连接．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列一元二次方程． （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． （1）求k与m的值． （2）为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 19. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年．某文化墙要制作一块红色主题喷绘展板，正中央印制长征主题主画面，四周空白，要求主画面的长是厘米，宽是厘米，且主画面到展板四周的宽度相同，主画面的面积是这个展板面积的，求展板空白部分的宽度． 20. 【项目主题】吕梁沙棘汁礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 吕梁沙棘是山西山地特色经济作物．某涉农企业为助力乡村振兴，生产了一款沙棘汁礼盒，每套礼盒的生产成本为30元．为实现日均利润最大化，企业开展了市场调研，收集了销售单价与日均销量的相关数据． 【信息收集】 礼盒的销售单价x（单位：元）与日均销量y（单位：盒）之间存在某种函数关系，调研数据如下表： 销售单价x/元 40 42 44 45 50 日均销量y/盒 200 180 160 150 100 【建立模型】 （1）根据表格数据填空：日均销量y是销售单价x的________函数（选填“一次”或“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 （2）设该企业的日均销售利润为w（单位：元）． ①求w与x之间的函数关系式． ②若企业规定销售单价不得低于成本价，且不得超过50元，请问：当销售单价定为多少元时，日均销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 阅读与理解 类比探究高次方程根与系数的关系 【知识回顾】 我们学习一元二次方程时，既可以用求根公式求解，也可以借助因式分解研究方程的根． 【方法导引】 对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，由因式分解可得： 将右侧展开： 对比左右两边多项式对应项的系数，就得到一元二次方程根与系数的关系： ， 【类比迁移】 类比上面的思路，我们可以研究一元三次方程．若一元三次方程有三个实数根，，，则多项式可以因式分解为： 类比一元二次方程的方法导引，把右边展开整理，对比左右两边多项式对应项的系数， …… 任务： （1）已知一元三次方程的三个根是1，2，3，请直接填空________，________，________． （2）补全【类比迁移】中的推导过程，得到一元三次方程根与系数的关系． 22. 综合与实践 【问题情境】为探究两类不同质量的文旅短视频的播放效果，新媒体科技团队选取两类基础质量不同的短视频开展研究．研究发现，在精品类、普通类两种短视频中，视频的完播量y（单位：万次）与推广资源投放档位x（单位：档）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中且x为整数．设精品类短视频完播量为（单位：万次），普通类短视频完播量为（单位：万次）．已知点，，均在描述与x关系的抛物线上． 【建立模型】 （1）求精品类短视频完播量关于x的函数关系式． 【应用分析】 （2）普通类短视频完播量与x之间的函数关系式为． ①若两类短视频分配的推广档位数相等，即均投放x档，当普通类短视频完播量最大时，求此时的投放档位以及此时两类视频完播量的差． ②若给精品类短视频、普通类短视频分配总共21档的推广资源，其中精品类短视频投放x档，普通类短视频投放档，请直接写出两类视频完播量总和的最大值． 23. 综合与探究 【问题情景】 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，点F在线段上运动（点F不与端点D，E重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【推理证明】 （1）求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，连接交于点H． ①点F在线段上运动的过程中，判断与的位置关系，并说明理由． ②若，点F在线段上运动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 作答时间：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故A选项不符合题意； B选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故B选项不符合题意； C选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把符号绕点O旋转可以与原来的图形重合，符号是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列变量具有二次函数关系的是（ ） A. 圆的周长与半径 B. 正三角形的周长与边长 C. 正方形的面积与边长 D. 路程一定，速度与时间 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数中自变量最高次数为，由此逐项分析即可． 【详解】解：选项，圆的周长，是一次函数，不符合题意； 选项，正三角形的周长，是一次函数，不符合题意； C选项，正方形的面积与边长的关系式为，符合二次函数关系，符合题意； D选项，路程一定时，速度与时间的关系式为（为定值），是反比例函数，不符合题意； 综上所述，答案为C． 3. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，且，则k的值是（ ） A. 24 B. 6 C. 18 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，建立关于的方程，结合的条件求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴． 4. 山西部分煤矿装备企业针对矿山井下巡检、危险作业场景，开发防爆型人形机器人原型，面向能源行业特种作业场景．某装备制造车间7月份防爆机器人产能为500台，9月份产能提升至720台．设从7月份到9月份，该车间防爆机器人产能的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】表示出9月份产能为台，根据9月份产能为720台列方程即可． 【详解】解：∵7月份产能为500台，平均月增长率为． ∴8月份产能为台． ∴9月份产能为台． ∵9月份产能为720台． ∴可得方程． 5. 某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算各组与的乘积，判断函数类型后推导函数关系式． 【详解】解：，，，， 各组数据均满足， 与的函数关系式为． 6. 如图，这是反比例函数的一部分图象，已知是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，的面积是，则的值是（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的面积等于， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过第二象限， ∴， ∴． 7. 如图，在某学校秋季运动会排练时，无人机进行高空展示．无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分，其中y为飞行高度（单位：米），x为水平距离（单位：米）．已知无人机从地面原点处起飞，且飞行过程中的最大高度为25米，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为25米，得到 ，把代入解析式，确定a值即可． 【详解】解：根据题意得 ，抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 8. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的水平距离来判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为； ， ． 9. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转性质得到、，作垂线构造直角三角形，利用证明，可得，；由角度条件得到，在直角三角形中算出，，，最后结合在第二象限，求出点坐标． 【详解】如图，过点B作轴于点C，过点作轴于点D， ∵绕点O逆时针旋转，点B的对应点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点再第二象限， 故坐标为． 10. 如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 下面是小刚发送给的一段话，在深度思考后，给出高度h的值是________． 竖直上抛一个物体，物体的高度h（单位：米）与物体抛出后的时间x（单位：秒）的关系式为．求物体被抛出3秒后的高度h的值． 【答案】0 【解析】 【分析】已知高度与抛出后时间的关系式为，将代入关系式即可得到对应高度值． 【详解】解：∵物体被抛出3秒后，对应的时间取值为， ∴将代入关系式，得． 12. 如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到旋转角，再用减去，即可求出的度数． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ． 13. 如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 【答案】 【解析】 【分析】先算出水温从升到需要分钟，之后水温按反比例函数下降，判断分钟在降温区间内，直接把代入反比例解析式求出水温． 【详解】解：， 经过，水温上升至， 在中，当时，，， 经过，水温从上升至后又下降到了， 当时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式， 当时，， 从杯内水温时开始通电，此时杯内的水温为． 14. 某文创店销售晋侯鸟尊文创盲盒，每个的成本为元．当售价定为元时，每月可售出件．经市场调研发现，售价每提高2元，月销量就会减少件．若该文创店希望每月通过销售该盲盒获得元的利润，设此时的售价为x元，则可列方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】核心等量关系为月总利润等于单件利润乘以月销售量，需结合成本与售价计算单件利润，结合售价变动幅度与销量的对应关系计算实际月销量，代入总利润目标即可列得方程． 【详解】解：每个盲盒成本为元，设定售价为x元， 所以，单件销售利润为元， 因为，售价为元时月销量为件，售价每提高2元，月销量减少件， 所以， 售价为x元时，较元的售价高出元，对应减少的月销量为件，实际月销量为件， 根据题意，可列方程为． 15. 如图，在四边形中，，点E在四边形的内部，且，，将绕点E顺时针旋转至，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，过点F作，交的延长线于点H， 由旋转的性质得：，，，， ， ∴． ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 在和中， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：这里． ， ， ，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）解： 如图所示； （2） 如图所示，点坐标为． 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【小问1详解】 坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； 【小问2详解】 略． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． （1）求k与m的值． （2）为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 【答案】（1）的值为，的值为 （2）或． 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， ∴一次函数的解析式为． 把代入，得， ． 把代入，得， 的值为，的值为． 【小问2详解】 解：当时，， ． 为轴上的一动点， ， ， ． ， ． 或， 或． 19. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年．某文化墙要制作一块红色主题喷绘展板，正中央印制长征主题主画面，四周空白，要求主画面的长是厘米，宽是厘米，且主画面到展板四周的宽度相同，主画面的面积是这个展板面积的，求展板空白部分的宽度． 【答案】展板空白部分的宽度是5厘米 【解析】 【分析】设展板空白部分的宽度是x厘米，根据题意列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设展板空白部分的宽度是厘米，由题意得， 解得，（不合题意，舍去）, 答：展板空白部分的宽度是5厘米． 20. 【项目主题】吕梁沙棘汁礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 吕梁沙棘是山西山地特色经济作物．某涉农企业为助力乡村振兴，生产了一款沙棘汁礼盒，每套礼盒的生产成本为30元．为实现日均利润最大化，企业开展了市场调研，收集了销售单价与日均销量的相关数据． 【信息收集】 礼盒的销售单价x（单位：元）与日均销量y（单位：盒）之间存在某种函数关系，调研数据如下表： 销售单价x/元 40 42 44 45 50 日均销量y/盒 200 180 160 150 100 【建立模型】 （1）根据表格数据填空：日均销量y是销售单价x的________函数（选填“一次”或“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 （2）设该企业的日均销售利润为w（单位：元）． ①求w与x之间的函数关系式． ②若企业规定销售单价不得低于成本价，且不得超过50元，请问：当销售单价定为多少元时，日均销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）一次，． （2）①；②当销售单价定为45元时，日均销售利润最大，最大利润是2250元． 【解析】 【分析】（1）根据表格中x均匀增加时y均匀减少，判定为一次函数，代入两点求解析式即可； （2）①根据题意列出利润w的函数关系式；②配方求顶点，利用二次函数的性质得到最大利润与对应销售单价． 【小问1详解】 解：观察表格，x每增加2，y减少20， ∴日均销量y是销售单价x的一次函数． 设，将、，代入， 得，解得， ∴，验证其余点均成立， 故y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 即； ②，顶点坐标为， ∵， ∴w关于x的二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵企业规定销售单价不得低于成本价，且不得超过50元， ∴， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为45元时，日均销售利润最大，最大利润是2250元． 21. 阅读与理解 类比探究高次方程根与系数的关系 【知识回顾】 我们学习一元二次方程时，既可以用求根公式求解，也可以借助因式分解研究方程的根． 【方法导引】 对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，由因式分解可得： 将右侧展开： 对比左右两边多项式对应项的系数，就得到一元二次方程根与系数的关系： ， 【类比迁移】 类比上面的思路，我们可以研究一元三次方程．若一元三次方程有三个实数根，，，则多项式可以因式分解为： 类比一元二次方程的方法导引，把右边展开整理，对比左右两边多项式对应项的系数， …… 任务： （1）已知一元三次方程的三个根是1，2，3，请直接填空________，________，________． （2）补全【类比迁移】中的推导过程，得到一元三次方程根与系数的关系． 【答案】（1）6，11，6 （2）解：， 对比方程，可得，，． ， ，，． 【解析】 【分析】（1）可设，进而代入三个代数式计算即可； （2）先将展开，对比方程，得到，，，根据将三个等式左右分别除以即可． 【小问1详解】 解：可设， 则，，； 【小问2详解】 略． 22. 综合与实践 【问题情境】为探究两类不同质量的文旅短视频的播放效果，新媒体科技团队选取两类基础质量不同的短视频开展研究．研究发现，在精品类、普通类两种短视频中，视频的完播量y（单位：万次）与推广资源投放档位x（单位：档）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中且x为整数．设精品类短视频完播量为（单位：万次），普通类短视频完播量为（单位：万次）．已知点，，均在描述与x关系的抛物线上． 【建立模型】 （1）求精品类短视频完播量关于x的函数关系式． 【应用分析】 （2）普通类短视频完播量与x之间的函数关系式为． ①若两类短视频分配的推广档位数相等，即均投放x档，当普通类短视频完播量最大时，求此时的投放档位以及此时两类视频完播量的差． ②若给精品类短视频、普通类短视频分配总共21档的推广资源，其中精品类短视频投放x档，普通类短视频投放档，请直接写出两类视频完播量总和的最大值． 【答案】（1） （2）①当普通类短视频完播量最大时，此时的投放档位是8档，两类视频完播量的差是64万次． ②509． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象设顶点式，进而将代入求解即可； （2）①将化为顶点式，求出的最大值即此时x的值，进而求出此时的值，进而计算出差值即可； ②根据题意得到两类视频完播量总和的函数关系式，进而化为顶点式，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，得是描述与x关系的抛物线的顶点， ∴设 ∵点在描述与x关系的抛物线上， ，解得， ∴关于x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①， ，开口向下， 又， ∴当时，取得最大值，此时． ∵两类短视频投放档位相同， ∴当时，， 此时． 答：当普通类短视频完播量最大时，此时的投放档位是8档，两类视频完播量的差是64万次． ②，， 精品类短视频投放x档，普通类短视频投放档， 令 ， ∴当时，y有最大值509． 23. 综合与探究 【问题情景】 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，点F在线段上运动（点F不与端点D，E重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【推理证明】 （1）求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，连接交于点H． ①点F在线段上运动的过程中，判断与的位置关系，并说明理由． ②若，点F在线段上运动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明，，，线段绕点A逆时针旋转得到线段，， ，，， ， ． 在和中， ． （2）①． 理由，，，D，E分别为的中点， ，． 在和中， ， ， ， ，即． ②1或． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，结合证明即可； （2）①同（1）利用证明，再根据全等三角形的对应角相等以及等腰直角三角形的性质求解即可； ②分三种情况讨论，画出对应的图形，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②分三种情况，，，． ，D，E分别为的中点， ， 由旋转可得，为等腰直角三角形，， 如图1，当时， ， ， ． ， ， ，， ，． ， ， ． 根据勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去，线段长不能为负）． 如图2，当时， ． 根据前面的证明，得，， ， ， ， ， ． 当时，则， ， 故点F与点E重合，与点F在线段上运动时，不与端点D、E重合的要求矛盾．此时不成立． 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $