精品解析：广东湛江市第二十四中学2026－2027学年第一学期九年级数学第一次阶段学情检测

湛江市第二十四中学2026—2027学年度 第一学期九年级数学学科第一次月考 （测试时间：120分钟 测试分值：120分） 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 2. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念：二次函数的一般形式为，其中，且a，b，c为已知数；根据二次函数的概念即可判断． 【详解】解：A、当时，它不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故不符合题意； C、右边不是整式，故不符合题意； D、由二次函数的概念知，是二次函数，故符合题意； 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为. 4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 将二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移7个单位．所得新抛物线的表达式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：将二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移7个单位， 所得新抛物线的表达式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟练掌握左加右减，上加下减的平移法则是解题的关键． 6. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数值的正负变化确定方程解的区间，再对比选项判断． 【详解】解：时，，时，， 方程的一个解在之间，选项中只有在该区间内． 故C符合题意． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 8. 若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】将拆分为与的和，利用方程根的定义及根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 9. 在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时， C. 当时，有最大值 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线上纵坐标相同的两个点找对称轴，对称轴处就是二次函数的最大值点，再逐一判断每个选项的因果描述是否符合图像． 【详解】A：是二次函数部分，图像先升后降，随的增大先增大后减小，A错误； B：，时回到，不是，B错误； C：由图可知，、，对称轴时，有最大值，C正确； D：在一次函数段和二次函数段都存在，所以结果必有两个，D错误． 10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；；；．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和特殊坐标与、、的关系是解决此题的关键． 利用开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和特殊坐标与、、的关系判定即可． 【详解】解析：二次函数的图象的开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， ， 正确； 对称轴为直线， ， ， 、异号，即， 错误，正确； 当时，， 错误； 综上可知正确， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：把代入： ， 1． 12. 已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，根据题意可得方程有两个相等的实数根，可得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线形状相同，开口向上， ∴所求抛物线的． ∵顶点为， ∴所求抛物线为． 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，先整理，得，再根据抛物线与直线交于，两点以及运用数形结合思想，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴结合函数，得的解集是， 故答案为： 15. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设函数的解析式为，由函数图象可得，初始水面宽且抛物线关于轴对称，可得初始水面与抛物线的两个交点的横坐标为和，由函数图象可得，抛物线经过和，根据待定系数法，求出抛物线解析式；根据水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即，求出，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， ∴抛物线的解析式为：， 由函数图象和题意可得，抛物线经过和， ∴ 解得：， ∴函数解析式为：； ∵水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即， ∴， 解得：； ∴此时水面宽度为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … 0 1 2 3 … … … 【答案】（1）直线；； （2）0，3，4，3，0；如图， 【解析】 【分析】（1）把抛物线解析式整理成顶点式，然后写出对称轴和顶点坐标，令，求出与y轴的交点即可； （2）列表、描点，然后画出图像即可． 【小问1详解】 解： ∴抛物线的对称轴是直线，顶点P的坐标是 当时， ∴与轴的交点C的坐标是； 【小问2详解】 略 18. 为进一步激发青少年对航天科技的兴趣，传承航天精神，某校举办了“我的太空梦”主题系列活动，活动安排如下五个项目：：航模制作；：征文比赛；：航天员进校园；：知识竞赛；：太空画创作比赛．为了解同学们对这些项目的意向情况，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成统计图如下．请根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）被抽查的总人数为_____人，并把频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______； （3）该校共有名学生，请你估计该校想参加项目活动的学生人数． 【答案】（1），补全频数分布直方图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数及组所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去，，，组的人数，即可求出组人数，再补全统计图即可； （2）乘以组所占总人数的比值即可； （3）用乘以组所占总人数的比值即可． 【小问1详解】 解：被抽查的总人数为（人）， 组的人数为（人）； 【小问2详解】 “”所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 该校想参加项目活动的学生人数有（人）． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 按要求完成下列各题： （1）用适当的方法解方程：． （2）下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，…第一步 方程两边同时除以，得，……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 ①以上解方程的过程，从第________步开始出错，错误的原因是__________________________． ②直接写出正确的解． 【答案】（1） （2）①二；方程两边同时除以，未考虑可能为0； ② 【解析】 【分析】（1）利用配方法解该方程即可； （2）①题目中解方程的过程中，两边同时除以时，未考虑可能为0（0不能作除数），因此解题出错；②将原方程整理为，然后求解即可． 【小问1详解】 解： 移项，得， 配方，得，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①从第二步开始出错‌，错误原因是方程两边同时除以时，未考虑可能为0（0不能作除数），导致丢根，需要满足． ②， ， ， ， ∴或， 即． 20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 解：直角三角形，理由如下： 根据题意得， 即， 所以为直角三角形； （3）， 【解析】 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理等知识． 21. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求M的最值． 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，则M有最______值，为______． （2）解决实际问题：二十四中学准备在校园里利用院墙再围三面栅栏，形成一个矩形花圃．如图，院墙长20米，栅栏总长40米（栅栏必须用完）．如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）大，2； （2）矩形中，垂直院墙的边的长度为，平行院墙的边的长度为，最大面积 【解析】 【分析】（1）按照题干中给出的配方法作答即可； （2）设垂直院墙边长米，则平行院墙边长米，求出x的取值范围，表示出矩形的面积，最后按照凑配的方法，求出最值即可作答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，M有最大值； 【小问2详解】 解：设垂直院墙边长米，则平行院墙边长米， 即，则有：， 矩形面积， ∵， ∴当时，，平行院墙那一边的边长（米）， 答：矩形中，垂直院墙的边的长度为，平行院墙的边的长度为，最大面积． 五、解答题（三）本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 （2） （3）制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【解析】 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 【小问2详解】 解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） ， （3）4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，待定系数法等知识． （1）利用待定系数法作答即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式，联立的解析式和抛物线的解析式，即可作答； （3）连接，设，，根据，用t表示出的面积，利用二次函数求最值的方法即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 将，，代入解析式有：， 解得：， 即抛物线解析式为：； 【小问2详解】 设直线的解析式为：， 将，代入解析式有：， 解得：， 即直线的解析式为：， ∵， ∴直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， 点P的坐标为： ，； 【小问3详解】 连接，如图， 设，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十四中学2026—2027学年度 第一学期九年级数学学科第一次月考 （测试时间：120分钟 测试分值：120分） 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A.   B.   C.   D.   4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移7个单位．所得新抛物线的表达式（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 9. 在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时， C. 当时，有最大值 D. 当时， 10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；；；．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 12. 已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为________． 13. 与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为________． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 15. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算题： （1）； （2）． 17. 抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … 0 1 2 3 … … … 18. 为进一步激发青少年对航天科技的兴趣，传承航天精神，某校举办了“我的太空梦”主题系列活动，活动安排如下五个项目：：航模制作；：征文比赛；：航天员进校园；：知识竞赛；：太空画创作比赛．为了解同学们对这些项目的意向情况，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成统计图如下．请根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）被抽查的总人数为_____人，并把频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______； （3）该校共有名学生，请你估计该校想参加项目活动的学生人数． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 按要求完成下列各题： （1）用适当的方法解方程：． （2）下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，…第一步 方程两边同时除以，得，……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 ①以上解方程的过程，从第________步开始出错，错误的原因是__________________________． ②直接写出正确的解． 20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求M的最值． 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，则M有最______值，为______． （2）解决实际问题：二十四中学准备在校园里利用院墙再围三面栅栏，形成一个矩形花圃．如图，院墙长20米，栅栏总长40米（栅栏必须用完）．如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ 五、解答题（三）本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $