精品解析：甘肃兰州市第十一中学2026-2027学年八年级第一学期期中质量检测数学试卷

兰州市第十一中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 试卷满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共33分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】带根号的数需先化简，再根据无理数定义判断． 【详解】解：∵，，均为整数， ∴选项、的数是有理数，不符合题意， ∵是分数， ∴选项的数是有理数，不符合题意， ∵是开方开不尽的数， ∴选项的数是无理数，符合题意． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数需为正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方．先利用勾股数为正整数的特征排除非正整数选项，再验证剩余选项的平方关系； 【详解】解：∵选项中的、、均为无理数，选项中的、、均为小数，都不是正整数， ∴、均不是勾股数，不符合题意． ∵，，， ∴选项不是勾股数，不符合题意． ∵，，且、、均为正整数， ∴选项是勾股数，符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并； B. ，计算错误； C. ，计算错误； D. ，计算正确． 4. 已知点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， 解得． 5. 如图，点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，又点是以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴的交点，则，即可得到答案． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为和， 根据勾股定理，斜边长， ∵点是以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴的交点， ∴， ∵点在原点右侧， ∴点表示的数为． 6. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 7. 若函数是一次函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可知，、为常数，，自变量的次数为1，即可求解． 【详解】解：是关于的一次函数， ，且， ，且， 且， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，第二象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，轴，若，则点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先确定点P的坐标，再结合平行于x轴的点的坐标特征与的长度求解点Q的坐标． 【详解】解：∵第二象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴ ．∵轴， ∴设． ∵， ∴． 解得或， ∴点的坐标为或． 9. 已知实数x、y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用算术平方根被开方数的非负性确定x的值，再代入求y并计算． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， 将代入，得， ∴． 10. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形性质和勾股定理求出的长，根据折叠性质得出、、，进而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∵沿折叠得， ∴，，， ，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 11. 如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第次运动后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出前几次点的坐标，找出动点运动的循环周期，利用周期和余数确定对应坐标． 【详解】解：根据题意写出前几次运动的坐标： 第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，第6次：，第7次：，第8次：，第9次：，第10次：，第11次：…… 观察可得：每运动5次为一个循环． 一个循环内坐标规律： 第次：，第次：，第次：，第次：，第次：（为自然数）， ， 余数是1，说明第2026次和第1次的位置类型相同，纵坐标为． 此时，横坐标：． 第2026次运动后的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 13. 已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征求出、的取值，再代入代数式计算最终结果． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴，， 解得，， ∴， ∴． 14. 某次在使用热气球探测高空气象时，热气球从海拔处的某地升空，在一段时间内，它以的速度匀速上升，它上升过程中到达的海拔高度（）与上升时间（）的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】总海拔高度由初始海拔和上升阶段新增海拔两部分构成，结合匀速上升的高度计算方法建立变量间的对应关系即可. 【详解】解：∵ 热气球初始位置的海拔为，热气球匀速上升的速度为，上升时间为， ∴ 上升后新增的海拔高度为， ∵ 上升过程中到达的总海拔高度为初始海拔与新增海拔的和， ∴所求关系式为. 15. 如图，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别是，．若点从点出发，沿做匀速运动，秒可到达点，同时点从点出发，沿做匀速运动，秒可到达点，若线段的长度为，则经过的时间为________秒． 【答案】或 【解析】 【分析】先由点A坐标得到，，求出点P、点Q的速度，设运动时间为t，表示出、，在中利用勾股定理列方程，解出t即可． 【详解】解：， ，， 由题意可得，点运动秒移动2个单位长度，点运动秒移动4个单位长度， 设经过秒，线段的长度为， 此时，，， ， 在中，， ， ， ， ， 或， 或， 经过或秒，线段的长度为． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式、绝对值的性质、零指数幂的运算法则分别化简原式的每一项，再合并计算得到最终结果． 【详解】解： ． 17. 解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可. 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，. 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：，， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”分别作出已知点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）用一个长方形把框住，再用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”分别作出点的对应点，顺次连接， 则即为所求． 【小问2详解】 解：如图，用一个长方形把框住， 由图可知： ． 20. 某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． （1）分别写出当，时，与之间的关系式． （2）小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）10元 【解析】 【分析】（1）根据分段计价的方式列关系式即可； （2）分别求出两种购买方式所付的费用，再作差即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 【小问2详解】 解：若小亮一次性购买苹果，所付的费用为（元）， 若小亮分两次购买（每次购买苹果），所付的费用为（元）， （元）， 即小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少元． 21. 图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】（1） （2）该车符合安全标准，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理解答即可； （）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 22. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 的平方根为. 【解析】 【分析】根据立方根、算术平方根的定义列方程求出,的值,估算的取值范围得到的值,代入代数式计算后求其平方根． 【详解】解：∵的立方根是, ∴, 解得． ∵的算术平方根是, ∴． 将代入上式, 得 , 解得． ∵, 即 , ∴的整数部分． 将,,代入, 得． ∵的平方根为, ∴的平方根是． 23. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处． （1）如图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短． （2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 【答案】（1） 如图，作点关于的对称点，连接交于点， 点即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据将军饮马模型先作点关于的对称点，利用轴对称的性质，两点之间，线段最短的性质解答即可； （2）过点作于点，根据已知条件，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示， 根据题意和小问（1）可得四边形是矩形，点为的中点，，的长就是蚂蚁爬行的最短路径长， 点关于的对称点是， ， 点距离杯底， ， 四边形是矩形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 蚂蚁爬行的最短路径长为． 24. 在二次根式的计算中，通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根式转化为有理数，对分母进行有理化，例如，请解决下面的问题： （1）化简： ； （2）计算：的值； （3）比较大小： （填、或）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于分母有理化问题，因为分母是两个二次根式的和，所以选择乘以对应的两个二次根式的差，利用平方差公式将分母化为有理数； （2）对于多个同类分数相加的问题，先对每一项分别进行分母有理化，观察化简后各项的形式，发现相邻项可以抵消，再合并剩余项得到结果； （3）对于两个二次根式差的大小比较问题，借助有理化变形，先将两个式子转化为分子相同、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个式子的大小关系． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：∵， ， 又∵， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点，将点称为点关于点的关联点． （1）点关于点的关联点的坐标是 ； （2）若点关于的关联点为，直线轴，且线段的长度为，求，的值； （3）点，关于点的关联点分别是点，，且点在轴上，点为坐标原点，点的横纵坐标互为相反数，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据关联点定义求解即可； （2）首先根据关联点定义得到点的坐标为，然后根据题意得到，，然后求解即可； （3）首先根据关联点定义得到，，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴点关于点的关联点的坐标是； 【小问2详解】 解：∵点关于的关联点为 ∴点的坐标为 ∵直线轴，且线段的长度为 ∴，， ∴，； 【小问3详解】 解：根据题意得，，即， ∵点在轴上，点为坐标原点，点的横纵坐标互为相反数 ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中、满足关系式． （1） ， ； （2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）已知点的纵坐标为，若，，，四点围成的图形的面积与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据四边形的面积列代数式即可； （3）先求出的面积，再分两种情况，根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 解：设， 由（1）可得， ∴， ∵ ∴轴， ∴， 当点在第二象限时，如图： 此时 ∴同（2）得，，解得 ∴； 当点在第一象限时，由于，故点不可能在内部， 则点在外部，连接，如图： 此时， ∴， 解得， ∴ 综上：点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第十一中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 试卷满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共33分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 7. 若函数是一次函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 0 8. 在平面直角坐标系中，第二象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，轴，若，则点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知实数x、y满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第次运动后的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 25的算术平方根是 _______ . 13. 已知点与点关于轴对称，则________． 14. 某次在使用热气球探测高空气象时，热气球从海拔处的某地升空，在一段时间内，它以的速度匀速上升，它上升过程中到达的海拔高度（）与上升时间（）的关系式为________． 15. 如图，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别是，．若点从点出发，沿做匀速运动，秒可到达点，同时点从点出发，沿做匀速运动，秒可到达点，若线段的长度为，则经过的时间为________秒． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 17. 解下列方程：． 18. 已知，，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）求的面积． 20. 某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． （1）分别写出当，时，与之间的关系式． （2）小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 21. 图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 22. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 23. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处． （1）如图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短． （2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 24. 在二次根式的计算中，通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根式转化为有理数，对分母进行有理化，例如，请解决下面的问题： （1）化简： ； （2）计算：的值； （3）比较大小： （填、或）． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点，将点称为点关于点的关联点． （1）点关于点的关联点的坐标是 ； （2）若点关于的关联点为，直线轴，且线段的长度为，求，的值； （3）点，关于点的关联点分别是点，，且点在轴上，点为坐标原点，点的横纵坐标互为相反数，求点的坐标． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中、满足关系式． （1） ， ； （2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）已知点的纵坐标为，若，，，四点围成的图形的面积与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $