二次函数的区间最值与参数范围 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数的区间最值与参数范围 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 先看自变量可以取哪些数，再找顶点和端点。求出参数后，还要把它放回相应的范围检查。 本专题依次复习固定范围、对称轴或范围移动、最值反求参数、严格不等号与整数限制，最后综合比较最大值与最小值。 一、固定范围内找最大值和最小值 1 二、对称轴移动时分清位置 2 三、自变量范围移动时找分界 2 四、函数值不越界与恰好取到 3 五、每一个与至少一个的参数条件 5 六、端点不取与整数范围 5 七、最大值与最小值的差 6 八、最值还随参数变化 7 A、基础巩固 8 B、难点突破 9 C、综合提升 11 D、连接中考 13 一、固定范围内找最大值和最小值 把二次函数写成（，对称轴是直线当时，离轴越近，函数值越小；当时，离轴越近，函数值越大。 在（内，先检查是否在范围内。若在，比较顶点与两个端点；若不在，只比较两个端点。离轴最远的位置一定在端点；两端到轴的距离相等时，两端的函数值相等。 二次项系数的正负没有给出时，不能默认开口向上。由实际条件列式时，还要从长度为正、数量非负等条件中找出的范围。 小例子： 顶点在范围内，最大值为右端较远，最小值为 例1、求函数在时的最大值和最小值，并写出对应的 【解析】对称轴在给定范围内，所以时最小值为 两端到轴的距离分别为和左端更远，所以时最大值为 变式1-1、函数当时，最大值为____，最小值为____。 【解析】对称轴在范围右侧，开口向下，函数值随增大而增大。时最大值为时最小值为 变式1-2、二次函数（在上的最小值为求 【解析】此时若最小值为不符合；若最小值为由得符合 变式1-3、非负数满足求的最大值、最小值及对应的 【解析】由及得 所以最大值为在时取得；最小值为在或时取得。 二、对称轴移动时分清位置 函数中的参数可能改变对称轴，也可能同时改变顶点的纵坐标。配方后，应把这两处都保留下来。以开口向上为例，最小值要分轴在范围左侧、范围内、范围右侧三种情况。 最大值在较远的端点取得。判断哪一端较远，可以看轴在区间中点的哪一侧，也可以把两个端点的函数值相减。最小值与最大值的分类分界不一定相同。 由某一类情况算出参数后，必须满足这一类的条件。轴恰好经过端点时不要遗漏，也不必重复列出相同答案。 小例子：时，最小值依次为比较最大值时则以为分界。 例2、二次函数在上的最小值为求 【解析】若最小值为不符合。 若最小值在时取得，由得或保留 若最小值在时取得，由得或保留故或 变式2-1、二次函数在上的最大值为求 【解析】区间中点为若右端不比左端近，由得或保留 若左端更远，由得或保留故或 变式2-2、函数在上的最小值为求 【解析】若由得符合。 若由得若由得或均不符合。 故或 变式2-3、函数在上的最小值为且时的函数值大于时的函数值，求 【解析】两端函数值之差为所以 若最小值为由得符合。若最小值为令它等于仍得不在该类范围。故 三、自变量范围移动时找分界 对称轴固定而中的端点含参数时，先写出“右端在轴左边”“范围包含轴”“左端在轴右边”各自对应的参数条件，再求最值。 两端同时移动但宽度不变时，最大值仍看哪一端离轴更远。若一端固定，先算固定端点的函数值，往往能直接排除一些情况。 若两端的表达式不同，还必须先检查左端确实不大于右端。 小例子：包含顶点的条件为即两端同高则有即 例3、函数在上的最小值为求 【解析】若范围包含顶点，最小值为不符合。 若右端最近，最小值为由得符合。 若左端最近，由得符合。 故或 变式3-1、函数在上的最大值为求 【解析】范围中点为若左端不比右端近，由得符合。若右端更远，由得符合。 故或两种情况下另一端的函数值分别为均不超过 变式3-2、函数在（上的最大值为最小值为求 【解析】最小值为要求左端函数值为不能取得最大值因此右端必须满足结合得此时范围包含轴，最大值确为 变式3-3、函数在（上的最小值为求 【解析】若范围在轴左侧，最小值为由它等于得或保留 若最小值为不符合。若由得符合。故或 四、函数值不越界与恰好取到 “所有函数值都满足”只要求不越过这两个界限；“最小值为最大值为”还要求两个值都实际取得。这两种条件不能混用。 开口向上时，要求最大值不超过检查两端即可；要求最小值不低于还要检查范围内的顶点。反求两端时，先由最小值确定是否包含顶点，再由最大值确定端点的位置。 如果指定的最小值高于开口向上的抛物线顶点值， 范围就不能跨过顶点，只能全部在轴的某一侧。 小例子：且所有函数值在到之间时，若最小值为且最大值为还需所以 例4、函数 （1）若所有函数值都满足求的范围。 （2）若最小值为最大值为求 【解析】（1）下界始终成立。由得要包含须且只须 （2）最小值为要求固定端点的函数值是最大值只能在右端取得，由及得 变式4-1、函数在（上的最小值为最大值为 求应满足的条件。 【解析】最小值为要求最大值为要求两端都在到之间，且至少一个端点距轴为 故且或且两类都能取到所给最值。 变式4-2、函数 （1）若所有函数值都满足求的范围。 （2）若最小值为求最大值。 【解析】最小值为最大值为 （1）由且得 （2）所以最大值为 变式4-3、函数在上的最小值为最大值为求 【解析】范围不能包含若由得右端为最大值为若由得左端为最大值为 故或 五、每一个与至少一个的参数条件 在两个端点都允许取的范围内，最小值、最大值都能取到。“每一个都有”等价于最小值不小于“至少一个使”等价于最大值不小于 同样，“每一个都有”要看最大值；“至少一个使”要看最小值。若要求存在使则须在最小值与最大值之间。 不等号是严格的时，先检查相应最值能否取到。含参数的平方不等式也可以转为的范围，再与题目给定范围比较，不能把“有公共数”误写成“包含全部数”。 小例子：最小值为最大值为每个都有时，至少一个使时， 例5、函数 （1）若至少存在一个使求的范围。 （2）若每一个都满足求 【解析】由得 （1）这个范围与有公共数，等价于且得 （2）要包含须且得代回后整个范围内都有 变式5-1、函数当时，每一个都满足求的范围。 【解析】若最小值为不符合。 若最小值为都符合。若最小值为需 合得或分别在或取到不能取等号。 变式5-2、函数若至少存在一个使则的范围是____。 【解析】最小值为最大值为这一段图像经过两值之间的全部高度，故 变式5-3、函数 （1）若至少一个使求的范围。 （2）若每一个都使求的范围。 【解析】等价于或 （1）至少一个端点到轴的距离不小于得或 （2）整个范围都须在轴左边且离轴至少或都在轴右边且离轴至少得或这些边界处最近端点的函数值为可以取到。 六、端点不取与整数范围 当范围写成或时，要分别检查两个端点是否允许取。某个数可以无限接近，却不一定是实际取得的最大值或最小值。范围包含顶点时，顶点值仍能取得。 如果只能取整数，就要在允许的整数中找离轴最近或最远的数。顶点横坐标不是整数时，不能直接把顶点值作为答案；轴两侧距离相等的整数可能同时取得最值。 题目若写“只有某个整数取得最大值”，就必须排除相邻整数同高的情况；若仅写“在该整数处取得最大值”，相邻整数也同取最大值仍符合。 小例子：在上没有最小值，也没有最大值； 在上最小值为仍没有最大值。 例6、函数当时，的最值情况是（　　）。 A．最大值最小值 B．最大值最小值 C．没有最大值，最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【解析】允许取，所以最小值为函数值都小于而从右边靠近时，函数值能越来越接近但不能取到右端函数值为也不是最大值。因此没有最大值，选C。 变式6-1、函数 （1）若每个满足的都使求的范围。 （2）若每个满足的都使求的范围。 【解析】（1）时，时，都符合。若范围与有公共数，在该处不符合。故或 （2）两个端点允许取，在处、在处使应排除。故或 变式6-2、函数只能取到之间的整数，求最大值和对应的 【解析】对称轴允许的整数中，离轴最近，因此时最大值为相邻整数处函数值为其余整数离轴更远，函数值更小。 变式6-3、函数只能取 （1）若时取得最大值，求的范围。 （2）若只有时取得最大值，求的范围。 【解析】整数离最近，须且得在此范围内，更远。 （1）（2）两端分别使整数或同高，应去掉，得 七、最大值与最小值的差 最大值与最小值的差反映这一段函数值变化了多少。求差前，要先确定两个最值各在哪里取得，不能总用两个端点的函数值相减。 范围全部在轴的一侧时，两端分别取得最大值、最小值；范围跨轴时，一个最值是顶点值，另一个来自较远的端点。固定宽度的范围包含轴时，端点到轴的距离不超过范围的宽度，可以先估计差的大小，排除不可能的情况。 给函数整体加上同一个常数，最大值与最小值都增加这个常数，所以它们的差不变；二次项系数的正负仍要分别考虑。 小例子：最小值为最大值为差为 去掉末尾的这个差仍是 例7、函数在上的最大值与最小值的差为求 【解析】若范围包含轴，最小值为端点到轴的距离不超过所以差不超过不符合。 若差为得若差为得 两者都符合相应范围，故或 变式7-1、函数在上的最大值与最小值的差为求 【解析】若或差分别为或均大于不符合。 若最小值为较远端点到轴的距离为所以差为 令它等于得 变式7-2、二次函数（在上的最大值与最小值的差为 求 【解析】若差为得若差为得 故或 变式7-3、函数在上的最大值与最小值的差为求 【解析】若或两个最值在端点，差为不符合。 若最小值为较远端点到轴的距离为所以差为由它等于得即或均在范围内。 八、最值还随参数变化 先固定参数，对求最值；再研究这个最值随参数怎样变化。这是先后两次比较，不能把和参数同时任意选成看起来最有利的数。 若图像经过一个与参数无关的固定点，该点的函数值可给最小值一个上界，或给最大值一个下界。但必须找到参数使这个界限真正取得，还要找齐所有这样的参数。 也可先按参数分段写出最值，再在各段比较。取得同一个最优值的参数可能不止一个，甚至是一个完整范围。 小例子：两个端点中至少一个到轴的距离不小于所以区间最大值至少为时正好为 例8、函数在上的最小值为求的最大值及对应的的范围。 【解析】无论怎样取，时总有所以 当时，对称轴在右端或右侧，最小值在处取得，为当时，当时， 故的最大值为所有都能取得。 变式8-1、函数在上的最小值为求的最大值及对应的 【解析】时故时，最小值为 若最小值为若处若处 故的最大值为只在时取得。 变式8-2、函数在上的最大值为求的最小值及对应的 【解析】两个端点到的距离中，至少一个不小于否则既要大于又要小于 所以 时，整个范围内且两端取到若至少一个端点到轴的距离大于使故最小值为对应 变式8-3、函数在上的最小值为求的最大值及对应的 【解析】取恒有所以当时，确有 若等于只在时；若若 故的最大值为对应 A、基础巩固 A1、函数在上的最小值、最大值依次为（　　）。 A． B． C． D． 【解析】对称轴在左侧，函数值随增大而增大。时为时为选B。 A2、当时，函数的最大值为____，最小值为____。 【解析】顶点在范围内，最大值为左端距轴右端距轴最小值在处取得，为 A3、二次函数（在上的最大值为则____。 【解析】范围包含顶点。若最大值为不符合；若最大值为 所以 A4、函数若每一个都有则的范围为（　　）。 A． B． C． D． 【解析】的区间最大值为且两个端点取到要让所有函数值严格小于须选D。 A5、函数在上的最值情况是（　　）。 A．最大值最小值 B．最大值最小值 C．没有最大值，最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【解析】在范围内，最小值为右端不取，函数值小于但能无限接近所以没有最大值，选C。 A6、函数只能取则最大值为____，取得最大值的为____。 【解析】整数距轴都为其余允许的整数更远。所以最大值为 在或时取得。 A7、如图，函数当时，最大值为____，最小值为____。 【解析】轴在范围内，最小值为两端到轴的距离均为最大值为 A8、函数在与时的函数值相等，求该函数在上的最大值和最小值。 【解析】由两端同高，轴为所以 最小值为最大值为 A9、非负数满足求的最大值及对应的 【解析】所以最大值为在时取得。 A10、开口向上的抛物线经过当时，函数取得最小值对应的为____，最大值为____。 【解析】两点同高，对称轴为位于范围内，因此时取得最小值；两个端点共同取得最大值 B、难点突破 B1、函数在上的最小值为且在时取得最大值， 则的值为（　　）。 A． B．或 C． D． 【解析】最小值为高于顶点值轴在范围外。若由得若由得 时最大值在右端，不符合；时左端更远，符合。故选D。 B2、函数最大值为 （1）求关于的表达式。 （2）若求 【解析】（1）轴为时，时，时， （2）第一种情况下，保留第二种不符合；第三种由保留故或 B3、二次函数（在上的最小值为则____。 【解析】且 若最小值为得若最小值在处取得，为得两者分别符合符号条件。 B4、函数当时，每个都有求的范围。 【解析】若最小值为均符合。若最小值为由得 若最小值为不符合。故等号时在范围内，最小值为 B5、函数在（上的最大值为最小值为求 【解析】若范围包含顶点，最小值为不符合，所以函数值在此范围内随增大而减小，左端最大值为 由得或保留 B6、函数若每个都满足求的范围。 【解析】若最小值为最大值为得若最大值为最小值为得 若函数值恒为也符合。合得 B7、函数 （1）若每个都有求的范围。 （2）若至少一个使求的范围。 【解析】函数值的范围为 （1）时均成立；时，可在与之间找到该函数的值，使不成立。因此 （2）最大值能取到，至少一个函数值大于须且只须 B8、函数在上的最小值为最大值为且求 【解析】若而不符合。若由得或保留 若由得或保留故或 C、综合提升 C1、函数当且时，最小值为最大值为求有序数对 【解析】轴在范围内，最小值为由得左端函数值为 若左端不比右端近，最大值为由得符合。若最大值在右端，由得保留 故或 C2、函数在上的最大值与最小值的和为则____。 【解析】若最小值为最大值不超过和不可能为 若两端分别取得最大值、最小值，其和为由它等于得两值的绝对值都大于均符合。 C3、函数其中 （1）若每一组符合条件的都有求的最大值。 （2）求使每个的都满足的 【解析】（1）因得时等号成立，所以的最大值为 （2）取须得结合只有此时在上的最大值为确实符合。 C4、函数 （1）若每一个都满足求的最大值及对应的 （2）若每一个都满足求的最大值及对应的 【解析】 （1）等价于所以且在时取到 （2）等价于或从到的每一个数都要符合，不能横跨中间的空缺，所以范围只能完整落在其中一段内。最大长度为对应或 C5、函数在上的最大值与最小值的差为 求的最小值及对应的 【解析】若顶点在范围内，等于较远端点到轴的距离的平方。两端相距较远距离至少为所以只有时两端等距，取到等号。 若若 故的最小值为对应 C6、函数当时，所有函数值都满足 则的范围为（　　）。 A． B． C． D． 【解析】由右端得即由左端得合得 此时轴在范围内，最小值为两端又均不超过 因此全部函数值都符合。选B。 C7、函数在（上的最小值为最大值为 求所有有序数对 【解析】最小值为高于顶点值范围不能包含 若函数在此范围内递减，左端取最大值右端取最小值由及得 若函数递增，左端取最小值右端取最大值得 故这两组是全部答案。 C8、函数在上的最小值为最大值为若 求及对应的 【解析】若和为不符合。若由得符合。 若和为不符合；若和小于不符合。 故 D、连接中考 D1、（2024年四川乐山中考第9题）已知二次函数（，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】要在时取得最小值，必须在给定范围内， 所以即 左端点到对称轴的距离为右端点在对称轴上或右侧，要使左端点取得最大值，右端点到轴的距离不能超过即所以 当时，右端点正好是顶点；当时，两个端点的函数值都为左端点仍取得最大值。因此两个边界都保留。综上，选C。 D2、（2024年甘肃武威中考第15题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：m）近似满足函数关系的图象，点在图象上。若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）。 【解析】由图可知棚顶对应抛物线的对称轴为所以在内，棚顶高度随的增大而增大。 把货车的右端放在处，因为货车长左端就在处。货车所占范围为其中棚顶的最低高度为 由于货车所占整个范围内的棚顶都高于车顶，所以货车能完全停到车棚内。这里只需给出一种确实能停入的位置；不能仅用右端的高度与车高比较。 D3、（2024年山东枣庄、聊城、临沂、菏泽中考第23题（选第(1)(2)问））在平面直角坐标系中，点在二次函数（的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线 （1）求的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移个单位长度，得到新的二次函数的图象。当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和。 【解析】（1）代入得所以由得 （2）将代入，得结合解得原函数为向上平移个单位长度后为 因为顶点的横坐标在内，所以最小值为两个端点的值分别为所以最大值为最大值与最小值的和为 D4、（2025年江苏南京中考第26题（选第(2)问））平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上。设平移后的函数图象的顶点的横坐标为与轴交点的纵坐标为随的变化而变化。 ①若当时，求的取值范围。 ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为点在线段上。当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述： （a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大。其中，所有可能出现的序号是________。（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分。） 【解析】顶点在直线上，所以平移后的抛物线为令得 ①当时，在内，顶点给出最大值两个端点分别给出所以最小值为因此 ②答案：（a）（b）。因为是一次函数，所以且 当时，而的对称轴为给定范围都在轴的左侧，所以随的增大而增大，得到（a）。 当时，对称轴给定范围都在轴的右侧，所以随的增大而减小，得到（b）。这两种情况已包含一次函数允许的所有不会出现（c）（d）。 D5、（2024年浙江中考第23题（选第(1)(3)问））已知二次函数（为常数）的图象经过点对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为求的取值范围。 【解析】（1）由得将代入，得所以因此 （3）答案：题设范围内有自变量，故 若函数在给定范围内随增大而减小，最大值为最小值为所以两者的差小于当时差为也不符合。 若顶点已在范围内，最小值为要使最大值与最小值的差等于最大值应为左端点的值已是只需右端点的值不超过即结合得 当时，右端点正好是顶点；当时，两端点的函数值均为两种情况下差都等于所以两个边界都保留。 D6、（2025年河南中考第22题（选第(1)(3)问））在二次函数中，与的几组对应值如下表所示。 （1）求二次函数的表达式。 （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为请直接写出的值。 【解析】（1）由表中数据，得解得所以 （3）向右平移个单位长度后的函数为对称轴为 若对称轴在范围左侧或左端点，最大值与最小值的差为不可能等于若对称轴在范围右侧或右端点，两者的差为也不符合。 因此顶点在范围内。若右端点到轴较远，最值差为由并结合得它在该范围内。 若左端点到轴较远，最值差为由并结合得它在该范围内。 分界点时，两端等高，最值差为而非或时差为所以答案是或 D7、（2023年江苏淮安中考第26题（选第(2)(3)问））已知二次函数 （为常数）。 （2）对于一切实数若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； （3）当时（其中为实数，，自变量的取值范围是求和的值以及的取值范围。 【解析】（2）所以函数的最小值为并在时取得。要使每个函数值都严格大于必须且只需等号不能保留，否则在顶点处 （3）答案： 同一高度上的抛物线两点关于对称轴对称，因此满足的所有横坐标也关于对称轴对称。题目给出的横坐标恰为它的中点是故对称轴为 由得 此时因为在内，所以它的函数值必须大于得这样，对所有实数都成立，原条件只剩 开口向上的抛物线在时的横坐标范围为故两个边界点都在直线上，得到反过来，等价于即恰得 D8、（2025年四川泸州中考第25题（选第(1)(3)问））如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点与轴交于点和点 图中，点在直线上，点在轴上，点是抛物线上位于第一象限的点，四边形是正方形。 （1）求该抛物线的解析式； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为求的值。 【解析】（1）代入点和得解得所以抛物线的解析式为 （3）把这个差看成关于的二次函数，对称轴为只在内找最小值。 当时，对称轴在范围左侧，最小值在处取得，为令它等于解得其中只有满足 当时，顶点在范围内，最小值为由得其中只有在内。 当时，对称轴在范围右侧，最小值在处取得，为令它等于得即不满足故这一类没有答案。 边界时最小值为时最小值为均不符合。综上，或 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数的区间最值与参数范围 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 先看自变量可以取哪些数，再找顶点和端点。求出参数后，还要把它放回相应的范围检查。 本专题依次复习固定范围、对称轴或范围移动、最值反求参数、严格不等号与整数限制，最后综合比较最大值与最小值。 一、固定范围内找最大值和最小值 1 二、对称轴移动时分清位置 2 三、自变量范围移动时找分界 3 四、函数值不越界与恰好取到 4 五、每一个与至少一个的参数条件 5 六、端点不取与整数范围 7 七、最大值与最小值的差 8 八、最值还随参数变化 9 A、基础巩固 10 B、难点突破 12 C、综合提升 14 D、连接中考 16 一、固定范围内找最大值和最小值 把二次函数写成（，对称轴是直线当时，离轴越近，函数值越小；当时，离轴越近，函数值越大。 在（内，先检查是否在范围内。若在，比较顶点与两个端点；若不在，只比较两个端点。离轴最远的位置一定在端点；两端到轴的距离相等时，两端的函数值相等。 二次项系数的正负没有给出时，不能默认开口向上。由实际条件列式时，还要从长度为正、数量非负等条件中找出的范围。 小例子： 顶点在范围内，最大值为右端较远，最小值为 例1、求函数在时的最大值和最小值，并写出对应的 变式1-1、函数当时，最大值为____，最小值为____。 变式1-2、二次函数（在上的最小值为求 变式1-3、非负数满足求的最大值、最小值及对应的 二、对称轴移动时分清位置 函数中的参数可能改变对称轴，也可能同时改变顶点的纵坐标。配方后，应把这两处都保留下来。以开口向上为例，最小值要分轴在范围左侧、范围内、范围右侧三种情况。 最大值在较远的端点取得。判断哪一端较远，可以看轴在区间中点的哪一侧，也可以把两个端点的函数值相减。最小值与最大值的分类分界不一定相同。 由某一类情况算出参数后，必须满足这一类的条件。轴恰好经过端点时不要遗漏，也不必重复列出相同答案。 小例子：时，最小值依次为比较最大值时则以为分界。 例2、二次函数在上的最小值为求 变式2-1、二次函数在上的最大值为求 变式2-2、函数在上的最小值为求 变式2-3、函数在上的最小值为且时的函数值大于时的函数值，求 三、自变量范围移动时找分界 对称轴固定而中的端点含参数时，先写出“右端在轴左边”“范围包含轴”“左端在轴右边”各自对应的参数条件，再求最值。 两端同时移动但宽度不变时，最大值仍看哪一端离轴更远。若一端固定，先算固定端点的函数值，往往能直接排除一些情况。 若两端的表达式不同，还必须先检查左端确实不大于右端。 小例子：包含顶点的条件为即两端同高则有即 例3、函数在上的最小值为求 变式3-1、函数在上的最大值为求 变式3-2、函数在（上的最大值为最小值为求 变式3-3、函数在（上的最小值为求 四、函数值不越界与恰好取到 “所有函数值都满足”只要求不越过这两个界限；“最小值为最大值为”还要求两个值都实际取得。这两种条件不能混用。 开口向上时，要求最大值不超过检查两端即可；要求最小值不低于还要检查范围内的顶点。反求两端时，先由最小值确定是否包含顶点，再由最大值确定端点的位置。 如果指定的最小值高于开口向上的抛物线顶点值， 范围就不能跨过顶点，只能全部在轴的某一侧。 小例子：且所有函数值在到之间时，若最小值为且最大值为还需所以 例4、函数 （1）若所有函数值都满足求的范围。 （2）若最小值为最大值为求 变式4-1、函数在（上的最小值为最大值为 求应满足的条件。 变式4-2、函数 （1）若所有函数值都满足求的范围。 （2）若最小值为求最大值。 变式4-3、函数在上的最小值为最大值为求 五、每一个与至少一个的参数条件 在两个端点都允许取的范围内，最小值、最大值都能取到。“每一个都有”等价于最小值不小于“至少一个使”等价于最大值不小于 同样，“每一个都有”要看最大值；“至少一个使”要看最小值。若要求存在使则须在最小值与最大值之间。 不等号是严格的时，先检查相应最值能否取到。含参数的平方不等式也可以转为的范围，再与题目给定范围比较，不能把“有公共数”误写成“包含全部数”。 小例子：最小值为最大值为每个都有时，至少一个使时， 例5、函数 （1）若至少存在一个使求的范围。 （2）若每一个都满足求 变式5-1、函数当时，每一个都满足求的范围。 变式5-2、函数若至少存在一个使则的范围是____。 变式5-3、函数 （1）若至少一个使求的范围。 （2）若每一个都使求的范围。 六、端点不取与整数范围 当范围写成或时，要分别检查两个端点是否允许取。某个数可以无限接近，却不一定是实际取得的最大值或最小值。范围包含顶点时，顶点值仍能取得。 如果只能取整数，就要在允许的整数中找离轴最近或最远的数。顶点横坐标不是整数时，不能直接把顶点值作为答案；轴两侧距离相等的整数可能同时取得最值。 题目若写“只有某个整数取得最大值”，就必须排除相邻整数同高的情况；若仅写“在该整数处取得最大值”，相邻整数也同取最大值仍符合。 小例子：在上没有最小值，也没有最大值；在上最小值为仍没有最大值。 例6、函数当时，的最值情况是（　　）。 A．最大值最小值 B．最大值最小值 C．没有最大值，最小值 D．没有最大值，也没有最小值 变式6-1、函数 （1）若每个满足的都使求的范围。 （2）若每个满足的都使求的范围。 变式6-2、函数只能取到之间的整数，求最大值和对应的 变式6-3、函数只能取 （1）若时取得最大值，求的范围。 （2）若只有时取得最大值，求的范围。 七、最大值与最小值的差 最大值与最小值的差反映这一段函数值变化了多少。求差前，要先确定两个最值各在哪里取得，不能总用两个端点的函数值相减。 范围全部在轴的一侧时，两端分别取得最大值、最小值；范围跨轴时，一个最值是顶点值，另一个来自较远的端点。固定宽度的范围包含轴时，端点到轴的距离不超过范围的宽度，可以先估计差的大小，排除不可能的情况。 给函数整体加上同一个常数，最大值与最小值都增加这个常数，所以它们的差不变；二次项系数的正负仍要分别考虑。 小例子：最小值为最大值为差为去掉末尾的这个差仍是 例7、函数在上的最大值与最小值的差为求 变式7-1、函数在上的最大值与最小值的差为求 变式7-2、二次函数（在上的最大值与最小值的差为 求 变式7-3、函数在上的最大值与最小值的差为求 八、最值还随参数变化 先固定参数，对求最值；再研究这个最值随参数怎样变化。这是先后两次比较，不能把和参数同时任意选成看起来最有利的数。 若图像经过一个与参数无关的固定点，该点的函数值可给最小值一个上界，或给最大值一个下界。但必须找到参数使这个界限真正取得，还要找齐所有这样的参数。 也可先按参数分段写出最值，再在各段比较。取得同一个最优值的参数可能不止一个，甚至是一个完整范围。 小例子：两个端点中至少一个到轴的距离不小于所以区间最大值至少为时正好为 例8、函数在上的最小值为求的最大值及对应的的范围。 变式8-1、函数在上的最小值为求的最大值及对应的 变式8-2、函数在上的最大值为求的最小值及对应的 变式8-3、函数在上的最小值为求的最大值及对应的 A、基础巩固 A1、函数在上的最小值、最大值依次为（　　）。 A． B． C． D． A2、当时，函数的最大值为____，最小值为____。 A3、二次函数（在上的最大值为则____。 A4、函数若每一个都有则的范围为（　　）。 A． B． C． D． A5、函数在上的最值情况是（　　）。 A．最大值最小值 B．最大值最小值 C．没有最大值，最小值 D．没有最大值，也没有最小值 A6、函数只能取则最大值为____，取得最大值的为____。 A7、如图，函数当时，最大值为____，最小值为____。 A8、函数在与时的函数值相等，求该函数在上的最大值和最小值。 A9、非负数满足求的最大值及对应的 A10、开口向上的抛物线经过当时，函数取得最小值对应的为____，最大值为____。 B、难点突破 B1、函数在上的最小值为且在时取得最大值， 则的值为（　　）。 A． B．或 C． D． B2、函数最大值为 （1）求关于的表达式。 （2）若求 B3、二次函数（在上的最小值为则____。 B4、函数当时，每个都有求的范围。 B5、函数在（上的最大值为最小值为求 B6、函数若每个都满足求的范围。 B7、函数 （1）若每个都有求的范围。 （2）若至少一个使求的范围。 B8、函数在上的最小值为最大值为且求 C、综合提升 C1、函数当且时，最小值为最大值为求有序数对 C2、函数在上的最大值与最小值的和为则____。 C3、函数其中 （1）若每一组符合条件的都有求的最大值。 （2）求使每个的都满足的 C4、函数 （1）若每一个都满足求的最大值及对应的 （2）若每一个都满足求的最大值及对应的 C5、函数在上的最大值与最小值的差为 求的最小值及对应的 C6、函数当时，所有函数值都满足 则的范围为（　　）。 A． B． C． D． C7、函数在（上的最小值为最大值为 求所有有序数对 C8、函数在上的最小值为最大值为若 求及对应的 D、连接中考 D1、（2024年四川乐山中考第9题）已知二次函数（，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（　　）。 A． B． C． D． D2、（2024年甘肃武威中考第15题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：m）近似满足函数关系的图象，点在图象上。若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）。 D3、（2024年山东枣庄、聊城、临沂、菏泽中考第23题（选第(1)(2)问））在平面直角坐标系中，点在二次函数（的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线 （1）求的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移个单位长度，得到新的二次函数的图象。当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和。 D4、（2025年江苏南京中考第26题（选第(2)问））平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上。设平移后的函数图象的顶点的横坐标为与轴交点的纵坐标为随的变化而变化。 ①若当时，求的取值范围。 ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为点在线段上。当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述： （a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大。其中，所有可能出现的序号是________。（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分。） D5、（2024年浙江中考第23题（选第(1)(3)问））已知二次函数（为常数）的图象经过点对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为求的取值范围。 D6、（2025年河南中考第22题（选第(1)(3)问））在二次函数中，与的几组对应值如下表所示。 （1）求二次函数的表达式。 （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为请直接写出的值。 D7、（2023年江苏淮安中考第26题（选第(2)(3)问））已知二次函数（为常数）。 （2）对于一切实数若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； （3）当时（其中为实数，，自变量的取值范围是求和的值以及的取值范围。 D8、（2025年四川泸州中考第25题（选第(1)(3)问））如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点与轴交于点和点 图中，点在直线上，点在轴上，点是抛物线上位于第一象限的点，四边形是正方形。 （1）求该抛物线的解析式； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为求的值。 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $