二次函数中的面积问题——2026—2027学年苏科版九年级下册数学专题讲义

二次函数中的面积问题 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 【内容导航】 板块 内容 起始页 题型一 坐标轴方向的底与高 2 题型二 底边不平行于坐标轴的面积问题 4 题型三 给定面积时的点的位置 7 题型四 围栏面积与实际条件 1⁠0 题型五 动点运动中的面积变化 1⁠3 题型六 割补与重叠部分的面积 1⁠6 A组 基础达标 2⁠1 B组 综合进阶 2⁠4 C组 挑战突破 3⁠0 姓名：________ 班级：________ 【一 题型精讲】 【题型一 坐标轴方向的底与高】 知识要点：三角形的面积等于底与高乘积的一半。底在x轴上时，高为第三个顶点纵坐标的绝对值；底在y轴上时，高为横坐标的绝对值。坐标可以为负，长度和面积不能为负。 若、，则，点到直线A⁠B的距离为，所以。不能在底不经过原点时直接把y当作高。 把点P的纵坐标用抛物线表达式代入，可得到面积关系式。先根据点的位置确定t的范围，再判断顶点横坐标是否属于范围；属于时才可取顶点处的最值。 典例1 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。点P在抛物线上，且位于x轴上方。（1）求A、B的坐标；（2）设P的横坐标为t，求关于t的函数关系式及其最大值。 解：令，得，即，所以，，。 设P（t，。P在x轴上方，故。以A⁠B为底，高为P的纵坐标。 。 在取值范围内，所以面积的最大值为2⁠7，此时。 变式1⁠.⁠1 如图，抛物线经过、。点P在C、D之间的抛物线上（不含C、D）。求的最大值及此时P的坐标。 变式1⁠.⁠2 如图，，，点P在抛物线上，其横坐标t满足。求关于t的函数关系式，并求面积的最大值。 【题型二 底边不平行于坐标轴的面积问题】 知识要点：底边不平行于坐标轴时，通常不必先求底边长度或对应的高。过动点作平行于y轴的直线，交底边或其延长线于Q，用两个以P⁠Q为底的三角形相加或相减。 若A、B的横坐标分别为a、b，且，竖直距离为P⁠Q，则割补后。P在A、B横坐标之间时，两部分的高相加为；在外侧时，两部分的高相减仍为。 同一横坐标下，竖直距离等于两个纵坐标之差的绝对值。先判断抛物线与直线的上下位置，再写成“上方纵坐标减下方纵坐标”，避免漏掉正负号。 典例2 如图，抛物线经过、。点P在A、B之间的抛物线上（不含A、B），过P作平行于y轴的直线，交A⁠B于Q。（1）设P的横坐标为t，求P⁠Q的长；（2）求的最大值及此时P的坐标。 解：设直线A⁠B为。由得，由得，所以A⁠B的表达式为。 设P（t，，则，。。 以P⁠Q为共同的底，与的高分别为t和。两部分面积相加，得。 。 符合条件，所以最大面积为，此时。 变式2⁠.⁠1 如图，、在抛物线上，点P在A、B之间的抛物线上（不含A、B）。求的最大值。 变式2⁠.⁠2 如图，抛物线经过、。点P在第一象限的抛物线上。若，求点P的坐标。 【题型三 给定面积时的点的位置】 知识要点：同底的两个三角形面积相等，当且仅当它们的高相等。第三个顶点可以在底边所在直线的同侧，也可以在异侧；不能只凭示意图保留一种位置。 已知面积列方程时，如果底在x轴上，往往先得到。应分别研究和与抛物线的交点，再按题目规定的象限、线段范围和不重合条件筛选。 面积条件可能有多个解、一个解，也可能无解。用二次函数的值域、方程判别式及题目范围共同判断；解方程得到的数值不等于已经得到合格的几何位置。 典例3 如图，抛物线与x轴交于A、B两点。点P在抛物线上，且。求所有符合条件的点P的坐标。 解：令，得，所以，，。 设P（t，。点P到x轴的距离为，所以。 由面积为8，得。若，则，或，对应纵坐标均为4。 若，则，，对应纵坐标为。 所以P的坐标为、或。三点均在抛物线上，且均不在x轴上。 变式3⁠.⁠1 如图，，，。点P在抛物线上，且。求点P的坐标。 变式3⁠.⁠2 如图，抛物线与x轴交于O、B两点，。在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使？若存在，求P的坐标；若不存在，说明理由。 【题型四 围栏面积与实际条件】 知识要点：围栏题先数清哪些边需要围栏、哪些隔栏重复出现，再列总长度或总费用关系。靠墙并不意味着墙无限长，题目给出的墙长必须转化为边长限制。 矩形两邻边必须为正。若且，只有h在允许范围内时最大值才为k；否则应依据区间在对称轴哪一侧比较端点。 实际问题的端点若允许取到，可以代入；若边长为0导致图形不存在，该端点不能作为最优方案。最终答案须同时交代边长、面积及相应单位。 典例4 如图，用4⁠0m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地A⁠B⁠C⁠D，A⁠D靠墙，在场地中间用一道平行于A⁠B的篱笆E⁠F将场地隔开。可利用的墙长为1⁠0m，篱笆全部用完，不留出入口。设。（1）求场地面积S关于x的函数关系式及x的取值范围；（2）求S的最大值。 解：A⁠B、C⁠D、E⁠F均长x，。场地面积。 两邻边均为正，且靠墙边不超过1⁠0m，所以，，解得。 。对，x在对称轴的右侧，S随x增大而减小。 因此时S最大，最大值为，此时，满足墙长限制。 变式4⁠.⁠1 如图，用3⁠6m长的篱笆围成一边靠墙的矩形菜地，靠墙的一边不设篱笆，可利用的墙长为2⁠0m。篱笆全部用完，不留出入口。求菜地面积的最大值及此时两邻边的长。 变式4⁠.⁠2 如图，矩形场地A⁠B⁠C⁠D的一边A⁠D靠墙，墙足够长。A⁠B、C⁠D两边围栏每米费用1⁠0元，B⁠C边围栏每米费用2⁠0元。围栏总费用为6⁠0⁠0元，不留出入口。若场地面积为，求A⁠B、B⁠C的长。 【题型五 动点运动中的面积变化】 知识要点：动点问题用“路程速度时间”表示线段。A⁠P与P⁠B、B⁠Q与Q⁠C不能混用；先看所求三角形到底以哪一段为底。 两点是否同时停止、是否到达端点后停留，决定时间范围和面积表达式是否需要分段。每一段都应写清适用时间，并核对分界时刻两式是否一致。 面积最大值要在全过程中比较：先求每个有效时间段的最大值，再比较。给定面积求时间时，应把每个候选值代回它所属的时间段，去掉越界值及重复时刻。 典例5 如图，在中，，，。点P从A出发沿A⁠B以1cm/s的速度运动，点Q同时从B出发沿B⁠C以2cm/s的速度运动。Q到达C时，两点同时停止。设运动时间为。（1）求关于t的函数关系式及t的取值范围；（2）求的最大值；（3）当时，求t。 解：Q从B运动到C需要，所以。，，且。 。 符合，面积最大，为。此时，，两点都在规定线段上。 当面积为时，，整理得，所以或5。两值均符合条件。 变式5⁠.⁠1 如图，在中，，，。点P从A沿A⁠B以2cm/s的速度运动，点Q同时从C沿C⁠B以1cm/s的速度运动；P到达B时，两点同时停止。运动过程中，当时，求运动时间。 变式5⁠.⁠2 如图，矩形A⁠B⁠C⁠D中，，。点P从A沿A⁠B以2cm/s的速度运动，点Q同时从B沿B⁠C以1cm/s的速度运动；P到达B时，两点同时停止。设运动时间为。求关于t的函数关系式，并求面积的最大值。 【题型六 割补与重叠部分的面积】 知识要点：复杂图形的面积可由简单图形相加、相减得到。道路交叉部分只能计算一次，剪去的部分不能相互重叠；这些条件都应在变量范围中体现。 图形平移时，重叠部分的形状可能改变。应以顶点经过边界的时刻分段，分别选用三角形、矩形或梯形的面积公式，不把某一位置下的式子用到全过程。 最大面积要比较各段的有效最值；给定面积要逐段解方程。辅助图应与当前的位置范围一致，不能用同一幅图代替几种不同的重叠情况。 典例6 如图，在平面直角坐标系中，正方形O⁠A⁠B⁠C的顶点为、、、。的顶点为、、，其中。三角形沿x轴方向平移，记它与正方形重叠部分的面积为S。（1）分别在和时，求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值；（3）当时，求t。 解：当时，三角形有一部分位于y轴左侧。整个面积为8。左侧被截去的小直角三角形两直角边均为，面积为，所以。 当时，重叠部分是一个等腰直角三角形，其两直角边均为，所以。两个式子在时均为8。 第一段在时取最大值8；第二段也在时取最大值8，所以重叠面积的最大值为8。 当时，由，得，结合范围得。 当时，由，得，故。因此或。 时的重叠部分 时的重叠部分 变式6⁠.⁠1 如图，从边长为6cm的正方形纸片四角各剪去一个两条直角边均为xcm的等腰直角三角形，其中。剩余部分的面积为，求x。 变式6⁠.⁠2 如图，在长1⁠2m、宽8m的矩形花坛内，修建两条互相垂直且分别平行于两边的小路，两条小路的宽均为xm，交叉处只计算一次。其余部分种花，种花面积为，求小路的宽。 【二 综合训练】 【A组·基础达标】 A1 抛物线与x轴交于O、A两点，点P是抛物线上横坐标为2的点。等于（      ）。 A．8 B．1⁠2 C．2⁠4 D．4⁠8 A2 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。________。 A3 如图，，，点P是抛物线上横坐标为的点。求。 A4 如图，抛物线经过、。点P在A、B之间的抛物线上。的最大值为________。 A5 某图形的面积S与参数t的关系为，其中，则S的最大值是（      ）。 A．1⁠5　B．2⁠1　C．2⁠3　D．2⁠5 A6 用长2⁠8cm的细铁丝围成一个矩形。设矩形的一边长为xcm，求矩形面积关于x的函数关系式及其最大值。 【B组·综合进阶】 B1 如图，一条抛物线经过、、。点P在x轴上方的抛物线上。（1）求抛物线的表达式；（2）求的最大值。 B2 如图，抛物线经过、。点P在O、A之间的抛物线上（不含O、A）。若，求点P的坐标。 B3 如图，，，点P在抛物线上，且。求的最大值。 B4 如图，在长2⁠0m、宽1⁠2m的矩形花园四周内侧修一条宽度相同的小路，中间保留矩形花圃。若花圃面积为，求小路的宽。 B5 如图，在中，，，。P从A沿A⁠B以1cm/s运动，Q同时从B沿B⁠C以1cm/s运动；P到达B时，两点同时停止。求运动过程中的最大值。 B6 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C。P在A、C之间的抛物线上（不含A、C）。求的最大值及此时P的坐标。 【C组·挑战突破】 C1 如图，抛物线经过、，。点P在抛物线上且不与O、B重合。若，求所有符合条件的点P的坐标。 C2 如图，抛物线经过、。P在A、B之间的抛物线上，过P作平行于y轴的直线交A⁠B于Q。若被P⁠Q分成的两个三角形面积之比为1⁠∶⁠3，求。 C3 如图，在中，，，。P从A沿A⁠B以1cm/s运动，Q同时从B沿B⁠C以2cm/s运动；Q到达C后停留在C，P继续运动至B后停止。设运动时间为，记为S。（1）求S关于t的分段函数关系式；（2）求S的最大值；（3）当时，求t。 C4 如图，用长6⁠0m的篱笆围成矩形场地A⁠B⁠C⁠D，一边A⁠D靠墙且不设篱笆，墙长为。另外用两道平行于A⁠B的篱笆把场地分成三个矩形。全部篱笆用完，不留出入口。（1）当时，求场地面积的最大值；（2）用含a的式子表示场地面积的最大值。 C5 如图，抛物线上有P（t，、，两点，其中。过P作平行于x轴的直线，交过Q且平行于y轴的直线于R。（1）求关于t的关系式；（2）若，求P、Q的坐标。 C6 如图，抛物线经过、。点P在A、B之间的抛物线上，过P作平行于y轴的直线交A⁠B于Q。设P的横坐标为t，且，其中。（1）求关于t的关系式；（2）用含m的式子表示的最大值。 第 1 页 共 3⁠5 页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的面积问题 2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 【内容导航】 板块 内容 起始页 题型一 坐标轴方向的底与高 2 题型二 底边不平行于坐标轴的面积问题 ￥ 题型三 给定面积时的点的位置 7 题型四 围栏面积与实际条件 10 题型五 动点运动中的面积变化 13 题型六 割补与重叠部分的面积 16 A组 基础达标 21 B组 综合进阶 24 C组 挑战突破 30 姓名： 班级： 第1页共35页 【一题型精讲】 题型一坐标轴方向的底与高】 知识要点：三角形的面积等于底与高乘积的一半。底在x轴上时，高为第三个 顶点纵坐标的绝对值；底在y轴上时，高为横坐标的绝对值。坐标可以为负， 长度和面积不能为负。 若A(a,C人、B(b,C),则AB=|b-al,点P(t,y)到直线AB的距离为 Iy-Cl,所以SAPAB=方|b一a|·|y一Cl。不能在底不经过原点时直接把y当 作高。 把点P的纵坐标用抛物线表达式代入，可得到面积关系式。先根据点的位置确 定t的范围，再判断顶点横坐标是否属于范围；属于时才可取顶点处的最值。 典例1如图，抛物线y=一x+2x+8与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)。 点P在抛物线上，且位于×轴上方。(1)求A、B的坐标；(2)设P的横坐标 为t,求S4PAB关于t的函数关系式及其最大值。 A O 解：令y=0,得-x2+2x+8=0,即(x+2)(x-4)=0,所以A(-2,0), B(4,0),AB=6。 设P(t,-t+2t+8)。P在x轴上方，故-2<t<4。以AB为底，高为P的 纵坐标。 S4wg=2x6x-+2t+8 =-3t2+6t+24=-3(t-12+27。 t=1在取值范围内，所以面积的最大值为27，此时P(1,9)。 第2页共35页 变式1.1如图，抛物线y=一x2+4x+3经过C(0,3)、D(4,3)。点P在C、D 之间的抛物线上（不含C、D)。求S4PcD的最大值及此时P的坐标。 y D 十 第3页共35页 变式1.2如图，A(0,0,B(0,6),点P在抛物线y=x2-4x+3上，其横坐标 t满足1≤t≤3。求S44B关于t的函数关系式，并求面积的最大值。 数 X 【题型二底边不平行于坐标轴的面积问题】 知识要点：底边不平行于坐标轴时，通常不必先求底边长度或对应的高。过动 点作平行于y轴的直线，交底边或其延长线于Q,用两个以PQ为底的三角形相 加或相减。 第4页共35页 若A、B的横坐标分别为a、b,且a<b,竖直距离为PQ,则割补后S4P4B -b-aPQ。P在A、B横坐标之间时，两部分的高相如为b-a;在外侧 时，两部分的高相减仍为b一a。 同一横坐标下，竖直距离等于两个纵坐标之差的绝对值。先判断抛物线与直线 的上下位置，再写成“上方纵坐标减下方纵坐标”，避免漏掉正负号。 典例2如图，抛物线y=-x2+4x+1经过A(0,1、B(3,4)。点P在A、B之 间的抛物线上（不含A、B)，过P作平行于y轴的直线，交AB于Q。(1)设 P的横坐标为t,求PQ的长，(2)求S4PAB的最大值及此时P的坐标。 B Q 解：设直线AB为y=+b。由A(0,1)得b=1,由B(3,4)得3k+1=4,所 以AB的表达式为y=x+1。 设P(t,-t+4t+1),则Q(t,t+1),0<t<3。 PQ=(-t2+4t+1)-(t+1)=-t2+3t。 以PQ为共同的底，△APQ与△BPQ的高分别为t和3-t。两部分面积相加， 得S4a2PQxt+2P0x3-t)-3P0。 t符合条件，所以最大面积为7此时P8,。 第5页共35页 变式2.1如图，A(1,1、B(3,9)在抛物线y=x2上，点P在A、B之间的抛物 线上（不含A、B)。求SAPAB的最大值。 y B Q P 第6页共35页 变式2.2如图，抛物线y=-x2+2x+3经过A(-1,0)、B(0,3)。点P在第一 象限的抛物线上。若SAPAB=-3,求点P的坐标。 y P B X 【题型三给定面积时的点的位置】 知识要点：同底的两个三角形面积相等，当且仅当它们的高相等。第三个顶点 可以在底边所在直线的同侧，也可以在异侧；不能只凭示意图保留一种位置。 已知面积列方程时，如果底在x轴上，往往先得到y|=h。应分别研究y=h和 y=一h与抛物线的交点，再按题目规定的象限、线段范围和不重合条件筛选。 面积条件可能有多个解、一个解，也可能无解。用二次函数的值域、方程判别 式及题目范围共同判断；解方程得到的数值不等于已经得到合格的几何位置。 第7页共35页 典例3如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点。点P在抛物线上， 且S4PAB=8。求所有符合条件的点P的坐标。 y B A 解：令y=0,得x+1)(x-3)=0,所以A(-1,0),B(3,0),AB=4。 设P(t,t2-2t-3)。点P到x轴的距离为|t2-2t-3l,所以S4P4B =2|t2-2t-31. 由面积为8，得t-2t-31=4。若t2-2t-3=4,则(t-12=8, t=1+2V2或1-2V2,对应纵坐标均为4。 若t2-2t-3=-4,则(t-1)2=0,t=1,对应纵坐标为-4。 所以P的坐标为(1+2V2,4)、（1-2V2,4)或(1，-4)。三点均在抛物线上， 且均不在x轴上。 第8页共35页 变式3.1如图，A(0,0),B(4,0),C(0,3)。点P在抛物线y=(x-1)2+2上， 且SAPAB=S4CAB。求点P的坐标。 P A BX 第9页共35页 变式3.2如图，抛物线y=-x2+4x与x轴交于O、B两点，C(0,3)。在x轴 上方的抛物线上，是否存在点P,使S4POB=2S4cOB?若存在，求P的坐标； 若不存在，说明理由。 C B (题型四围栏面积与实际条件】 知识要点：围栏题先数清哪些边需要围栏、哪些隔栏重复出现，再列总长度或 总费用关系。靠墙并不意味着墙无限长，题目给出的墙长必须转化为边长限制。 矩形两邻边必须为正。若S=a(x一h)2+k且a<0,只有h在允许范围内时最 大值才为k；否则应依据区间在对称轴哪一侧比较端点。 第10页共35页 实际问题的端点若允许取到，可以代入；若边长为0导致图形不存在，该端点 不能作为最优方案。最终答案须同时交代边长、面积及相应单位。 典例4如图，用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地ABCD,AD靠墙， 在场地中间用一道平行于AB的篱笆EF将场地隔开。可利用的墙长为10，篱 笆全部用完，不留出入口。设AB=m。(1)求场地面积S关于x的函数关系 式及×的取值范围；(2)求S的最大值。 E D B F C 解：AB、CD、EF均长X,BC=AD=40-3x。场地面积 S=x(40-3x)=-3x2+40x。 两邻边均为正，且靠墙边不超过10m,所以x>0,0<40-3x≤10，解得 10sx<40 3。 S=-3x-93+490。对10≤x<9。×在对称轴x=9的右侧，5随×增 20 大而减小。 因此x=10时S最大，最大值为100m2,此时BC=10m,满足墙长限制。 第11页共35页 变式4.1如图，用36m长的篱笆围成一边靠墙的矩形菜地，靠墙的一边不设篱 笆，可利用的墙长为20。篱笆全部用完，不留出入口。求菜地面积的最大值 及此时两邻边的长。 B C 第12页共35页 变式4.2如图，矩形场地ABCD的一边AD靠墙，墙足够长。AB、CD两边围栏 每米费用10元，BC边围栏每米费用20元。围栏总费用为600元，不留出入口。 若场地面积为200m,求AB、BC的长。 B 【题型五动点运动中的面积变化】 知识要点：动点问题用“路程=速度X时间”表示线段。AP与PB、BQ与QC不能 混用；先看所求三角形到底以哪一段为底。 两点是否同时停止、是否到达端点后停留，决定时间范围和面积表达式是否需 要分段。每一段都应写清适用时间，并核对分界时刻两式是否一致。 面积最大值要在全过程中比较：先求每个有效时间段的最大值，再比较。给定 面积求时间时，应把每个候选值代回它所属的时间段，去掉越界值及重复时刻。 第13页共35页 典例5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=10cm。点P 从A出发沿AB以1cm/s的速度运动，点Q同时从B出发沿BC以2cm/s的速 度运动。Q到达C时，两点同时停止。设运动时间为s(t>0)。(1)求S4P0 关于t的函数关系式及t的取值范围；(2)求S4PBo的最大值；(3)当S4P0 =15cm时，求t。 B Q 解：Q从B运动到C需要10÷2=5S,所以0<t≤5。PB=8-t,BQ=2t, 且PB⊥BQ。 5402×8-t)x2t=-t2+8t=-t-42+160 t=4符合0<t≤5，面积最大，为16cm2。此时PB=4cm,BQ=8cm,两 点都在规定线段上。 当面积为15cm时，-t2+8t=15,整理得t-3)(t-5)=0,所以t=3或5。 两值均符合条件。 第14页共35页 变式5.1如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm。点P 从A沿AB以2cm/s的速度运动，点Q同时从C沿CB以1cm/s的速度运动；P 到达B时，两点同时停止。运动过程中，当S4P0=6cm时，求运动时间。 P B Q C 第15页共35页 变式5.2如图，矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm。点P从A沿AB以 2cm/s的速度运动，点Q同时从B沿BC以Icm/s的速度运动；P到达B时， 两点同时停止。设运动时间为s(t>0)。求S44O关于t的函数关系式，并求面 积的最大值。 B 【题型六割补与重叠部分的面积】 知识要点：复杂图形的面积可由简单图形相加、相减得到。道路交叉部分只能 计算一次，剪去的部分不能相互重叠；这些条件都应在变量范围中体现。 图形平移时，重叠部分的形状可能改变。应以顶点经过边界的时刻分段，分别 选用三角形、矩形或梯形的面积公式，不把某一位置下的式子用到全过程。 最大面积要比较各段的有效最值；给定面积要逐段解方程。辅助图应与当前的 位置范围一致，不能用同一幅图代替几种不同的重叠情况。 第16页共35页 典例6如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0,0、A(4,0、 B(4,4)、C(0,4)。Rt△PQR的顶点为P(t,0)、Q(t+4,0、R(t+4,4), 其中一4≤t≤4。三角形沿×轴方向平移，记它与正方形重叠部分的面积为S。 (1)分别在-4≤t≤0和0≤t≤4时，求S关于t的函数关系式；(2）求S 的最大值；(3)当S=6时，求t。 y R B Q Ax 解：当-4≤t≤0时，三角形有一部分位于y轴左侧。整个Rt△PQR面积为8。 左侧被截去的小直角三角形两直角边均为-七，面积为2只，所以S-8-。 当0≤t≤4时，重桑部分是一个等腰直角三角形，其两直角边均为4一t,所以 S=24-t。两个式子在t=0时均为8。 第一段在t=0时取最大值8；第二段也在t=0时取最大值8，所以重叠面积的最 大值为8。 当-4≤ts0时，由8-号2-6，得2=4.结合范围得t=-2。 当0≤t≤4时，24-t-6,得4-t=23,故t=4-23。因此t=-2 或4-2V3。 第17页共35页 y C R B O Q Ax -4<t<0时的重叠部分 y B R A 女x 0<t<4时的重桑部分 第18页共35页 变式6.1如图，从边长为6cm的正方形纸片四角各剪去一个两条直角边均为 xcm的等腰直角三角形，其中0<x≤3。剩余部分的面积为28cm,求x。 D C A B 第19页共35页 变式6.2如图，在长12m、宽8m的矩形花坛内，修建两条互相垂直且分别平行 于两边的小路，两条小路的宽均为xm,交叉处只计算一次。其余部分种花，种 花面积为77m,求小路的宽。 A B 第20页共35页 【二综合训练】 【A组基础达标】 A1抛物线y=一x2+6x与x轴交于O、A两点，点P是抛物线上横坐标为2的 点。S4oP4等于（）。 A.8B.12C.24D.48 A A2抛物线y=x2-4与×轴交于A、B两点，与y轴交于C点。S4ABC= y x/B C 第21页共35页 A3如图，C(0,-2),D(0,4),点P是抛物线y=x2+1上横坐标为-2的点。 求S4PcD。 D A4如图，抛物线y=-2x2+8x+1经过A(0,1)、B(4,1)。点P在A、B之间 的抛物线上。SAPABE的最大值为。 A B X 第22页共35页 A5某图形的面积S与参数t的关系为S=-2t+12t+5,其中1≤t≤2，则 S的最大值是（)。 A.15B.21C.23D.25 A6用长28cm的细铁丝围成一个矩形。设矩形的一边长为xcm,求矩形面积关 于×的函数关系式及其最大值。 A D B C 第23页共35页 【B组·综合进阶】 B1如图，一条抛物线经过A(-1,0)、B(5,0、C(0,5)。点P在x轴上方的抛 物线上。(1)求抛物线的表达式；(2)求S4PAB的最大值。 A1ō 第24页共35页 B2如图，抛物线y=-x2+6x经过O(0,0、A(4,8)。点P在O、A之间的抛 物线上（不含O、A)。若S4POA=6,求点P的坐标。 y外 P Q 第25页共35页 B3如图，A(0,1),B(4,5),点P在抛物线y=x2-3x+1上，且0<xp<4。 求S4AB的最大值。 yt B Q A X 第26页共35页 B4如图，在长20m、宽12m的矩形花园四周内侧修一条宽度相同的小路，中间 保留矩形花圃。若花圃面积为128m,求小路的宽。 D A B 第27页共35页 B5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm。P从A沿 AB以1cm/s运动，Q同时从B沿BC以1cm/s运动；P到达B时，两点同时停 止。求运动过程中S4APo的最大值。 P B Q C 第28页共35页 B6如图，抛物线y=一x2+4x+5与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴 交于C。P在A、C之间的抛物线上（不含A、C)。求SAP4C的最大值及此时 P的坐标。 A B X 第29页共35页 【C组挑战突破】 C1如图，抛物线=一x+4x经过O(0,0、B(4,0,A(0,3)。点P在抛物 线上且不与O、B重合。若SAPAB=S4O4B,求所有符合条件的点P的坐标。 A 第30页共35页 C2如图，抛物线y=-x2+4x+3经过A(0,3、B(4,3)。P在A、B之间的抛 物线上，过P作平行于y轴的直线交AB于Q。若△PAB被PQ分成的两个三角 形面积之比为1：3，求S4PAB。 A Q B 第31页共35页 C3如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm。P从A沿 AB以1cm/s运动，Q同时从B沿BC以2cm/s运动；Q到达C后停留在C,P 继续运动至B后停止。设运动时间为s(0≤t≤6)，记S4P0为S。(1）求S 关于t的分段函数关系式；(2)求S的最大值；(3)当S=8cm时，求t。 R B Q C 第32页共35页 C4如图，用长60m的篱笆围成矩形场地ABCD,一边AD靠墙且不设篱笆，墙 长为am(a>0)。另外用两道平行于AB的篱笆把场地分成三个矩形。全部篱笆 用完，不留出入口。(1)当a=20时，求场地面积的最大值；(2)用含a的式 子表示场地面积的最大值。 E G B F H C 第33页共35页 C5如图，抛物线y=x2上有P(t,t2)、Q(t+2,(t+22)两点，其中t≥0。 过P作平行于x轴的直线，交过Q且平行于y轴的直线于R。(1)求S4oR关 于t的关系式；(2)若S4P0R=12,求P、Q的坐标。 y P R 第34页共35页 C6如图，抛物线y=-x2+4x+1经过A(0,1)、B(3,4)。点P在A、B之间的 抛物线上，过P作平行于y轴的直线交AB于Q。设P的横坐标为t,且 1≤t≤m,其中1≤m≤2。(1)求S4P4B关于t的关系式；(2)用含m的 式子表示S4PAB的最大值。 B 第35页共35页 二次函数中的面积问题 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 【内容导航】 板块 内容 起始页 题型一 坐标轴方向的底与高 2 题型二 底边不平行于坐标轴的面积问题 4 题型三 给定面积时的点的位置 7 题型四 围栏面积与实际条件 1⁠0 题型五 动点运动中的面积变化 1⁠3 题型六 割补与重叠部分的面积 1⁠5 A组 基础达标 1⁠8 B组 综合进阶 2⁠1 C组 挑战突破 2⁠4 【一 题型精讲】 【题型一 坐标轴方向的底与高】 知识要点：三角形的面积等于底与高乘积的一半。底在x轴上时，高为第三个顶点纵坐标的绝对值；底在y轴上时，高为横坐标的绝对值。坐标可以为负，长度和面积不能为负。 若、，则，点到直线A⁠B的距离为，所以。不能在底不经过原点时直接把y当作高。 把点P的纵坐标用抛物线表达式代入，可得到面积关系式。先根据点的位置确定t的范围，再判断顶点横坐标是否属于范围；属于时才可取顶点处的最值。 典例1 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。点P在抛物线上，且位于x轴上方。（1）求A、B的坐标；（2）设P的横坐标为t，求关于t的函数关系式及其最大值。 解：令，得，即，所以，，。 设P（t，。P在x轴上方，故。以A⁠B为底，高为P的纵坐标。 。 在取值范围内，所以面积的最大值为2⁠7，此时。 变式1⁠.⁠1 如图，抛物线经过、。点P在C、D之间的抛物线上（不含C、D）。求的最大值及此时P的坐标。 解：设P（t，，其中。C⁠D平行于x轴，，高为。 。 符合条件，最大面积为8，此时。 变式1⁠.⁠2 如图，，，点P在抛物线上，其横坐标t满足。求关于t的函数关系式，并求面积的最大值。 解：以A⁠B为底，。点P到y轴的距离为|t|，在内，。 。它随t增大而增大，故时面积最大，为9。此时，三角形仍有正面积。 【题型二 底边不平行于坐标轴的面积问题】 知识要点：底边不平行于坐标轴时，通常不必先求底边长度或对应的高。过动点作平行于y轴的直线，交底边或其延长线于Q，用两个以P⁠Q为底的三角形相加或相减。 若A、B的横坐标分别为a、b，且，竖直距离为P⁠Q，则割补后。P在A、B横坐标之间时，两部分的高相加为；在外侧时，两部分的高相减仍为。 同一横坐标下，竖直距离等于两个纵坐标之差的绝对值。先判断抛物线与直线的上下位置，再写成“上方纵坐标减下方纵坐标”，避免漏掉正负号。 典例2 如图，抛物线经过、。点P在A、B之间的抛物线上（不含A、B），过P作平行于y轴的直线，交A⁠B于Q。（1）设P的横坐标为t，求P⁠Q的长；（2）求的最大值及此时P的坐标。 解：设直线A⁠B为。由得，由得，所以A⁠B的表达式为。 设P（t，，则，。。 以P⁠Q为共同的底，与的高分别为t和。两部分面积相加，得。 。 符合条件，所以最大面积为，此时。 变式2⁠.⁠1 如图，、在抛物线上，点P在A、B之间的抛物线上（不含A、B）。求的最大值。 解：直线A⁠B的表达式为。设P（t，，其中。过P作平行于y轴的直线，交A⁠B于Q，则。 以P⁠Q为公共底分成两个三角形，两高之和为，所以。 符合条件，最大面积为1。 变式2⁠.⁠2 如图，抛物线经过、。点P在第一象限的抛物线上。若，求点P的坐标。 解：设P（t，。P在第一象限，故。直线A⁠B的表达式为。 过P作平行于y轴的直线，交A⁠B的延长线于Q。Q在P上方，。 包含和。以P⁠Q为公共底，前两个三角形的高分别为和t，故。 由，得。结合，得，故。 【题型三 给定面积时的点的位置】 知识要点：同底的两个三角形面积相等，当且仅当它们的高相等。第三个顶点可以在底边所在直线的同侧，也可以在异侧；不能只凭示意图保留一种位置。 已知面积列方程时，如果底在x轴上，往往先得到。应分别研究和与抛物线的交点，再按题目规定的象限、线段范围和不重合条件筛选。 面积条件可能有多个解、一个解，也可能无解。用二次函数的值域、方程判别式及题目范围共同判断；解方程得到的数值不等于已经得到合格的几何位置。 典例3 如图，抛物线与x轴交于A、B两点。点P在抛物线上，且。求所有符合条件的点P的坐标。 解：令，得，所以，，。 设P（t，。点P到x轴的距离为，所以。 由面积为8，得。若，则，或，对应纵坐标均为4。 若，则，，对应纵坐标为。 所以P的坐标为、或。三点均在抛物线上，且均不在x轴上。 变式3⁠.⁠1 如图，，，。点P在抛物线上，且。求点P的坐标。 解：与同底A⁠B。面积相等，所以P到x轴的距离等于3。 抛物线上点的纵坐标，故不可能有，只需令。 ，得或2。因此或。题目没有要求P与C不同，符合条件。 变式3⁠.⁠2 如图，抛物线与x轴交于O、B两点，。在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使？若存在，求P的坐标；若不存在，说明理由。 解：由得或4，所以。。 若，则P到x轴的距离为6。P在x轴上方，所以它的纵坐标须为6。 但，不可能等于6。因此不存在符合条件的点P。 【题型四 围栏面积与实际条件】 知识要点：围栏题先数清哪些边需要围栏、哪些隔栏重复出现，再列总长度或总费用关系。靠墙并不意味着墙无限长，题目给出的墙长必须转化为边长限制。 矩形两邻边必须为正。若且，只有h在允许范围内时最大值才为k；否则应依据区间在对称轴哪一侧比较端点。 实际问题的端点若允许取到，可以代入；若边长为0导致图形不存在，该端点不能作为最优方案。最终答案须同时交代边长、面积及相应单位。 典例4 如图，用4⁠0m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地A⁠B⁠C⁠D，A⁠D靠墙，在场地中间用一道平行于A⁠B的篱笆E⁠F将场地隔开。可利用的墙长为1⁠0m，篱笆全部用完，不留出入口。设。（1）求场地面积S关于x的函数关系式及x的取值范围；（2）求S的最大值。 解：A⁠B、C⁠D、E⁠F均长x，。场地面积。 两邻边均为正，且靠墙边不超过1⁠0m，所以，，解得。 。对，x在对称轴的右侧，S随x增大而减小。 因此时S最大，最大值为，此时，满足墙长限制。 变式4⁠.⁠1 如图，用3⁠6m长的篱笆围成一边靠墙的矩形菜地，靠墙的一边不设篱笆，可利用的墙长为2⁠0m。篱笆全部用完，不留出入口。求菜地面积的最大值及此时两邻边的长。 解：设垂直于墙的边长为xm，则靠墙边长为，。 由、，得。 ，在允许范围内，所以最大面积为，两邻边长分别为9m、1⁠8m。 变式4⁠.⁠2 如图，矩形场地A⁠B⁠C⁠D的一边A⁠D靠墙，墙足够长。A⁠B、C⁠D两边围栏每米费用1⁠0元，B⁠C边围栏每米费用2⁠0元。围栏总费用为6⁠0⁠0元，不留出入口。若场地面积为，求A⁠B、B⁠C的长。 解：设，，则总费用为，即。 由面积为2⁠0⁠0，得，所以，即。 时；时。两种方案的边长、费用均符合条件，故A⁠B、B⁠C分别为1⁠0m、2⁠0m，或2⁠0m、1⁠0m。 【题型五 动点运动中的面积变化】 知识要点：动点问题用“路程速度时间”表示线段。A⁠P与P⁠B、B⁠Q与Q⁠C不能混用；先看所求三角形到底以哪一段为底。 两点是否同时停止、是否到达端点后停留，决定时间范围和面积表达式是否需要分段。每一段都应写清适用时间，并核对分界时刻两式是否一致。 面积最大值要在全过程中比较：先求每个有效时间段的最大值，再比较。给定面积求时间时，应把每个候选值代回它所属的时间段，去掉越界值及重复时刻。 典例5 如图，在中，，，。点P从A出发沿A⁠B以1cm/s的速度运动，点Q同时从B出发沿B⁠C以2cm/s的速度运动。Q到达C时，两点同时停止。设运动时间为。（1）求关于t的函数关系式及t的取值范围；（2）求的最大值；（3）当时，求t。 解：Q从B运动到C需要，所以。，，且。 。 符合，面积最大，为。此时，，两点都在规定线段上。 当面积为时，，整理得，所以或5。两值均符合条件。 变式5⁠.⁠1 如图，在中，，，。点P从A沿A⁠B以2cm/s的速度运动，点Q同时从C沿C⁠B以1cm/s的速度运动；P到达B时，两点同时停止。运动过程中，当时，求运动时间。 解：P到达B需，所以。，。 由面积为6，得，即。 ，得或9。超过停止时间，舍去，所以运动时间为2s。 变式5⁠.⁠2 如图，矩形A⁠B⁠C⁠D中，，。点P从A沿A⁠B以2cm/s的速度运动，点Q同时从B沿B⁠C以1cm/s的速度运动；P到达B时，两点同时停止。设运动时间为。求关于t的函数关系式，并求面积的最大值。 解：P到达B需要，此时Q尚未到达C，所以。，点Q到A⁠B的距离为。 。 在内，随t增大而增大，所以最大面积为，时取到。 【题型六 割补与重叠部分的面积】 知识要点：复杂图形的面积可由简单图形相加、相减得到。道路交叉部分只能计算一次，剪去的部分不能相互重叠；这些条件都应在变量范围中体现。 图形平移时，重叠部分的形状可能改变。应以顶点经过边界的时刻分段，分别选用三角形、矩形或梯形的面积公式，不把某一位置下的式子用到全过程。 最大面积要比较各段的有效最值；给定面积要逐段解方程。辅助图应与当前的位置范围一致，不能用同一幅图代替几种不同的重叠情况。 典例6 如图，在平面直角坐标系中，正方形O⁠A⁠B⁠C的顶点为、、、。的顶点为、、，其中。三角形沿x轴方向平移，记它与正方形重叠部分的面积为S。（1）分别在和时，求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值；（3）当时，求t。 解：当时，三角形有一部分位于y轴左侧。整个面积为8。左侧被截去的小直角三角形两直角边均为，面积为，所以。 当时，重叠部分是一个等腰直角三角形，其两直角边均为，所以。两个式子在时均为8。 第一段在时取最大值8；第二段也在时取最大值8，所以重叠面积的最大值为8。 当时，由，得，结合范围得。 当时，由，得，故。因此或。 时的重叠部分 时的重叠部分 变式6⁠.⁠1 如图，从边长为6cm的正方形纸片四角各剪去一个两条直角边均为xcm的等腰直角三角形，其中。剩余部分的面积为，求x。 解：每个剪去的等腰直角三角形面积为，四个的面积和为。 由剩余面积为2⁠8，得，所以。 ，故。它满足，即每条边上的两个切口不重叠。 变式6⁠.⁠2 如图，在长1⁠2m、宽8m的矩形花坛内，修建两条互相垂直且分别平行于两边的小路，两条小路的宽均为xm，交叉处只计算一次。其余部分种花，种花面积为，求小路的宽。 解：两条小路面积和为，交叉处重复计算一次，因此小路实际面积为。 种花面积为，即。由题意。 ，整理得。结合范围得，小路宽1m。 【二 综合训练】 【A组·基础达标】 A1 抛物线与x轴交于O、A两点，点P是抛物线上横坐标为2的点。等于（      ）。 A．8 B．1⁠2 C．2⁠4 D．4⁠8 选C。令得或6，故。P的纵坐标为。。 A2 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。________。 解：令得或2，故。到x轴的距离为4。。 A3 如图，，，点P是抛物线上横坐标为的点。求。 解：。P到y轴的距离为，与它的纵坐标无关。 。 A4 如图，抛物线经过、。点P在A、B之间的抛物线上。的最大值为________。 解：设P横坐标为t，。，高为。 。符合条件，最大面积为1⁠6。 A5 某图形的面积S与参数t的关系为，其中，则S的最大值是（      ）。 A．1⁠5　B．2⁠1　C．2⁠3　D．2⁠5 选B。。在对称轴左侧，S随t增大而增大。 时S最大，。不能把取不到的顶点值2⁠3作为最大值。 A6 用长2⁠8cm的细铁丝围成一个矩形。设矩形的一边长为xcm，求矩形面积关于x的函数关系式及其最大值。 解：另一边长为，边长均为正，故。 。在范围内，最大面积为。 【B组·综合进阶】 B1 如图，一条抛物线经过、、。点P在x轴上方的抛物线上。（1）求抛物线的表达式；（2）求的最大值。 解：设。代入，得，。 所以。。设P横坐标为t，，则。 符合条件，最大面积为2⁠7。 B2 如图，抛物线经过、。点P在O、A之间的抛物线上（不含O、A）。若，求点P的坐标。 解：直线O⁠A为。设P（t，，。过P作平行于y轴的直线交O⁠A于Q，则。 以P⁠Q分割，两高之和为4，所以。 由，得，或3。代入抛物线，得或。 B3 如图，，，点P在抛物线上，且。求的最大值。 解：直线A⁠B为。设P（t，，。点P在A⁠B下方，竖直距离为。 。 符合条件，所以最大面积为8。 B4 如图，在长2⁠0m、宽1⁠2m的矩形花园四周内侧修一条宽度相同的小路，中间保留矩形花圃。若花圃面积为，求小路的宽。 解：设小路宽xm，则中间花圃长、宽，。 ，化简得，即。 结合得，小路宽2m。 B5 如图，在中，，，。P从A沿A⁠B以1cm/s运动，Q同时从B沿B⁠C以1cm/s运动；P到达B时，两点同时停止。求运动过程中的最大值。 解：P在6s后到达B，故。，Q到直线A⁠B的距离为。 ，而不是，后者表示的是的面积。 在上递增，最大值为，此时，。 B6 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C。P在A、C之间的抛物线上（不含A、C）。求的最大值及此时P的坐标。 解：令得或5，所以；。直线A⁠C为。 设P（t，，。P在A⁠C上方，竖直距离为。 A、C横坐标之差为1，故。 符合条件，最大面积为，此时。 【C组·挑战突破】 C1 如图，抛物线经过、，。点P在抛物线上且不与O、B重合。若，求所有符合条件的点P的坐标。 解：直线A⁠B为，。设P（t，。 过P作平行于y轴的直线交A⁠B或其延长线于Q。无论P的横坐标位于0与4之间还是之外，用两个以P⁠Q为底的三角形面积相加或相减，可得。 因此，得或。 第一种情况得到，判别式为，无实数根。 第二种情况得到，或。时，不符合题意；时。 所以唯一符合条件的点为。代入可得面积为6。 C2 如图，抛物线经过、。P在A、B之间的抛物线上，过P作平行于y轴的直线交A⁠B于Q。若被P⁠Q分成的两个三角形面积之比为1⁠∶⁠3，求。 解：设P横坐标为t，则，。与同高P⁠Q，面积比为A⁠Q∶Q⁠B。 两部分面积之比为1⁠∶⁠3，因此或3⁠∶⁠1，得或3。 ，两种情况下P⁠Q均为3。 。 C3 如图，在中，，，。P从A沿A⁠B以1cm/s运动，Q同时从B沿B⁠C以2cm/s运动；Q到达C后停留在C，P继续运动至B后停止。设运动时间为，记为S。（1）求S关于t的分段函数关系式；（2）求S的最大值；（3）当时，求t。 解：Q到达C需；P到达B需6s。时，，，。 时，Q停在C，，。两式在时均为8。 第一段，在时最大为9；第二段随t增大而减小，其最大值为8。所以全过程最大面积为。 第一段令，得或4，均符合范围；第二段令，得。 去掉重复值，当时，或4。 C4 如图，用长6⁠0m的篱笆围成矩形场地A⁠B⁠C⁠D，一边A⁠D靠墙且不设篱笆，墙长为。另外用两道平行于A⁠B的篱笆把场地分成三个矩形。全部篱笆用完，不留出入口。（1）当时，求场地面积的最大值；（2）用含a的式子表示场地面积的最大值。 解：设，。两外侧和两道隔栏共四段长x，故。，其中，且。 当时，，S随y增大而增大。、时，最大面积为。 当时，顶点不在允许范围内，最大值在处取得，为，此时。 当时，符合全部条件，，最大面积为。时两式相同，故也可将第一段写成。 C5 如图，抛物线上有P（t，、，两点，其中。过P作平行于x轴的直线，交过Q且平行于y轴的直线于R。（1）求关于t的关系式；（2）若，求P、Q的坐标。 解：P⁠R平行于x轴，Q⁠R平行于y轴，故。，所以Q在P上方，。 。虽然P、Q都在抛物线上，面积关于t却是一次关系，不能先假定它一定是二次函数。 由，得，所以，。 C6 如图，抛物线经过、。点P在A、B之间的抛物线上，过P作平行于y轴的直线交A⁠B于Q。设P的横坐标为t，且，其中。（1）求关于t的关系式；（2）用含m的式子表示的最大值。 解：直线A⁠B为，。以P⁠Q为公共底割补，得。 当时，区间在对称轴左侧，S随t增大而增大，故最大值为，在时取得。 当时，在区间内，最大值为。在时两式相同。 第 1 页 共 2⁠8 页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的面积问题 2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 【内容导航】 板块 内容 起始页 题型一 坐标轴方向的底与高 2 题型二 底边不平行于坐标轴的面积问题 ￥ 题型三 给定面积时的点的位置 7 题型四 围栏面积与实际条件 10 题型五 动点运动中的面积变化 13 题型六 割补与重叠部分的面积 15 A组 基础达标 18 B组 综合进阶 21 C组 挑战突破 24 第1页共28页 【一题型精讲】 题型一坐标轴方向的底与高】 知识要点：三角形的面积等于底与高乘积的一半。底在x轴上时，高为第三个 顶点纵坐标的绝对值；底在y轴上时，高为横坐标的绝对值。坐标可以为负， 长度和面积不能为负。 若A(a,C人、B(b,C),则AB=|b-al,点P(t,y)到直线AB的距离为 Iy-cl,所以SaaB=2b-ay-cl。不能在底不经过原点时直接把y当 作高。 把点P的纵坐标用抛物线表达式代入，可得到面积关系式。先根据点的位置确 定t的范围，再判断顶点横坐标是否属于范围；属于时才可取顶点处的最值。 典例1如图，抛物线y=一x+2x+8与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)。 点P在抛物线上，且位于×轴上方。(1)求A、B的坐标；(2)设P的横坐标 为t,求SAPAB关于t的函数关系式及其最大值。 A O B X 解：令y=0,得-x2+2x+8=0,即(x+2)(x-4)=0,所以A(-2,0), B(4,0),AB=6。 设P(t,-t+2t+8)。P在x轴上方，故-2<t<4。以AB为底，高为P的 纵坐标。 1 SaRAo=7x6x(-t2+2t+8 =-3t+6t+24=-3(t-12+27。 t=1在取值范围内，所以面积的最大值为27，此时P(1,9)。 第2页共28页 变式1.1如图，抛物线y=-x2+4x+3经过C(0,3)、D(4,3)。点P在C、D 之间的抛物线上（不含C、D)。求SAPCD的最大值及此时P的坐标。 y D X 解：设P(t,-t+4t+3),其中0<t<4。CD平行于x轴，CD=4,高为 (-t2+4t+3)-3=-t2+4t。 S40D=5×4x(-t2+4t)=-2(t-2)2+8。 t=2符合条件，最大面积为8，此时P(2,7)。 第3页共28页 变式1.2如图，A(0,0,B(0,6),点P在抛物线y=x2-4x+3上，其横坐标 t满足1≤t≤3。求S44B关于t的函数关系式，并求面积的最大值。 X 解：以AB为底，AB=6。点P到y轴的距离为tl,在1≤t≤3内，|t|=t。 S4B=)x6t=3t。它随t增大而增大，故t=3时面积最大，为9。此时 P(3,0),三角形仍有正面积。 【题型二底边不平行于坐标轴的面积问题】 知识要点：底边不平行于坐标轴时，通常不必先求底边长度或对应的高。过动 点作平行于y轴的直线，交底边或其延长线于Q,用两个以PQ为底的三角形相 加或相减。 若A、B的横坐标分别为a、b,且a<b,竖直距离为PQ,则割补后SAPAB =(b-a)PO。P在A、B横坐标之间时，两部分的高相加为b-a;在外侧 时，两部分的高相减仍为b一a。 同一横坐标下，竖直距离等于两个纵坐标之差的绝对值。先判断抛物线与直线 的上下位置，再写成“上方纵坐标减下方纵坐标”，避免漏掉正负号。 第4页共28页 典例2如图，抛物线y=-x2+4x+1经过A(0,1人、B(3,4)。点P在A、B之 间的抛物线上（不含A、B),过P作平行于y轴的直线，交AB于Q。(1)设 P的横坐标为t,求PQ的长，(2)求S4P4B的最大值及此时P的坐标。 P B Q 解：设直线AB为y=+b。由A(0,1)得b=1,由B(3,4)得3k+1=4,所 以AB的表达式为y=x+1。 设P(t,-t+4t+1),则Q(t,t+1),0<t<3。 PQ=(-t2+4t+1)-(t+1)=-t2+3t。 以PQ为共同的底，△APQ与△BPQ的高分别为t和3-t。两部分面积相加， 得Sa82P0xt+号P0x3-t1-P0。 56=-+昌t-t-2+2。 6=号符合条什.所以最大面积为器。此时P受，”。 第5页共28页 变式2.1如图，A(1,1、B(3,9)在抛物线y=x2上，点P在A、B之间的抛物 线上（不含A、B)。求SAPAB的最大值。 B Q X 解：直线AB的表达式为y=4x-3。设P(t,t),其中1<t<3。过P作平行 于y轴的直线，交AB于Q,则PQ=4t-3-t2。 以PQ为公共底分成两个三角形，两高之和为3一1=2，所以S44B -2x2x4t-3-t2)=-(t-22+1。 t=2符合条件，最大面积为1。 第6页共28页 变式2.2如图，抛物线y=一x2+2x+3经过A(-1,0)、B(0,3)。点P在第一 象限的抛物线上。若S4PAB=3,求点P的坐标。 P B X 解：设P(t,-t+2t+3)。P在第一象限，故0<t<3。直线AB的表达式为 y=3x+3。 过P作平行于y轴的直线，交AB的延长线于Q。Q在P上方， PQ=(3t+3)-(-t2+2t+3)=t2+t。 △APQ包含△BPQ和△PAB。以PQ为公共底，前两个三角形的高分别为 t+1和t,故S4Pg=2P0=2(t+t)。 由22+t-3,得t-2〔t+3-0。结合0<t<3,得t=2,故P2,3。 【题型三给定面积时的点的位置】 知识要点：同底的两个三角形面积相等，当且仅当它们的高相等。第三个顶点 可以在底边所在直线的同侧，也可以在异侧；不能只凭示意图保留一种位置。 已知面积列方程时，如果底在x轴上，往往先得到|y|=h。应分别研究y=h和 y=一h与抛物线的交点，再按题目规定的象限、线段范围和不重合条件筛选。 面积条件可能有多个解、一个解，也可能无解。用二次函数的值域、方程判别 式及题目范围共同判断；解方程得到的数值不等于已经得到合格的几何位置。 第7页共28页 典例3如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点。点P在抛物线上， 且S4PAB=8。求所有符合条件的点P的坐标。 B A 解：令y=0,得(x+1(x-3)=0,所以A(-1,0),B(3,0),AB=4。 设P(t,t-2t-3)。点P到×轴的距离为|t2-2t-3l,所以S4PAB =21t2-2t-31。 由面积为8，得1t2-2t-31=4。若t2-2t-3=4,则(t-12=8, t=1+2V2或1-2V2,对应纵坐标均为4。 若t2-2t-3=-4,则(t-1)2=0,t=1,对应纵坐标为-4。 所以P的坐标为(1+2V2,4)、（1-2√2,4)或1，-4)。三点均在抛物线上， 且均不在x轴上。 第8页共28页 变式3.1如图，A(0,0),B(4,0),C(0,3)。点P在抛物线y=(x-12+2上， 且S4PAB=S4cAB。求点P的坐标。 解：△PAB与△CAB同底AB。面积相等，所以P到x轴的距离等于3。 抛物线上点的纵坐标y=(x-12+2≥2，故不可能有y=-3,只需令y=3。 (x-12+2=3,得x=0或2。因此P(0,3)或P(2,3)。题目没有要求P与C不 同，P=C符合条件。 第9页共28页 变式3.2如图，抛物线y=-x2+4x与x轴交于O、B两点，C(0,3)。在x轴 上方的抛物线上，是否存在点P,使S4POB=2S4cOB?若存在，求P的坐标； 若不存在，说明理由。 解：由y=0得x=0或4，所以0B=4.54082×4x3=6。 若S4OB=12,则P到x轴的距离为6。P在x轴上方，所以它的纵坐标须为6。 但y=一x2+4x=-(x一22+4≤4，不可能等于6。因此不存在符合条件的点 P。 题型四围栏面积与实际条件】 知识要点：围栏题先数清哪些边需要围栏、哪些隔栏重复出现，再列总长度或 总费用关系。靠墙并不意味着墙无限长，题目给出的墙长必须转化为边长限制。 矩形两邻边必须为正。若S=a(x一h)2+k且a<0,只有h在允许范围内时最 大值才为k,否则应依据区间在对称轴哪一侧比较端点。 实际问题的端点若允许取到，可以代入；若边长为0导致图形不存在，该端点 不能作为最优方案。最终答案须同时交代边长、面积及相应单位。 第10页共28页 典例4如图，用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地ABCD,AD靠墙， 在场地中间用一道平行于AB的篱笆EF将场地隔开。可利用的墙长为I0,篱 笆全部用完，不留出入口。设AB=Xm。(1)求场地面积S关于x的函数关系 式及x的取值范围；（2)求S的最大值。 E D B F C 解：AB、CD、EF均长x,BC=AD=40-3x。场地面积 S=x(40-3x)=-3x2+40x。 两邻边均为正，且靠墙边不超过10m,所以x>0,0<40-3x≤10，解得 10sx<9。 了-3x-92+490。对10≤x9×在对称轴x=9的右l,5随×增 大而减小。 因此x=10时S最大，最大值为100m2,此时BC=10m,满足墙长限制。 第11页共28页 变式4,1如图，用36m长的篱笆围成一边靠墙的矩形菜地，靠墙的一边不设篱 笆，可利用的墙长为20m。篱笆全部用完，不留出入口。求菜地面积的最大值 及此时两邻边的长。 B 解：设垂直于墙的边长为xm,则靠墙边长为36-2x,S=x(36-2x)。 由0<36-2x≤20、x>0,得8≤x<18。 S=-2(x-9)2+162,x=9在允许范围内，所以最大面积为162m2,两邻边 长分别为9m、18m。 变式4.2如图，矩形场地ABCD的一边AD靠墙，墙足够长。AB、CD两边围栏 每米费用10元，BC边围栏每米费用20元。围栏总费用为600元，不留出入口。 若场地面积为200m2,求AB、BC的长。 B 解：设AB=Xm,BC=Jm,则总费用为10x+10x+20y=600,即 x+y=30。 由面积为200，得y=200,所以x(30-x)=200,即(x-10)(x-20)=0。 x=10时y=20;x=20时y=10。两种方案的边长、费用均符合条件，故AB、 BC分别为10m、20m,或20m、10m。 第12页共28页 【题型五动点运动中的面积变化】 知识要点：动点问题用“路程=速度X时间”表示线段。AP与PB、BQ与QC不能 混用；先看所求三角形到底以哪一段为底。 两点是否同时停止、是否到达端点后停留，决定时间范围和面积表达式是否需 要分段。每一段都应写清适用时间，并核对分界时刻两式是否一致。 面积最大值要在全过程中比较：先求每个有效时间段的最大值，再比较。给定 面积求时间时，应把每个候选值代回它所属的时间段，去掉越界值及重复时刻。 典例5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=10cm。点P 从A出发沿AB以1cm/s的速度运动，点Q同时从B出发沿BC以2cm/s的速 度运动。Q到达C时，两点同时停止。设运动时间为s(t>0)。(1)求S4P0 关于t的函数关系式及t的取值范围；(2)求S4P0的最大值；(3)当S4P0 =15cm2时，求t。 B Q 解：Q从B运动到C需要10÷2=5s,所以0<t≤5。PB=8-t,BQ=2t, 且PB⊥BQ。 S4o2×8-t×2t=-t2+8t=-t-42+16。 t=4符合0<t≤5，面积最大，为16cm2。此时PB=4cm,BQ=8cm,两 点都在规定线段上。 当面积为15cm2时，-t2+8t=15,整理得t-3)川t-5)=0,所以t=3或5。 两值均符合条件。 第13页共28页 变式5.1如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm。点P 从A沿AB以2cm/s的速度运动，点Q同时从C沿CB以1cm/s的速度运动；P 到达B时，两点同时停止。运动过程中，当S4P0=6cm时，求运动时间。 Q B Q C 解：P到达B需6÷2=3s,所以0≤t≤3。PB=6-2t,BQ=8-t。 由面积为6，得5(6-2t川8-t)=6,即t2-11t+18=0。 (t-2)(t-9)=0,得t=2或9。t=9超过停止时间，舍去，所以运动时间为2s。 变式5.2如图，矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8Cm。点P从A沿AB以 2cm/s的速度运动，点Q同时从B沿BC以1cm/s的速度运动；P到达B时， 两点同时停止。设运动时间为s(t>0)。求S440关于t的函数关系式，并求面 积的最大值。 Q A B 解：P到达B需要12÷2=6S,此时Q尚未到达C,所以0<t≤6。LP=2t, 点Q到AB的距离为BQ=t。 第14页共28页 1 S4ao=5X2txt=t。 在0<t≤6内，t随t增大而增大，所以最大面积为36cm,t=6时取到。 【题型六割补与重叠部分的面积】 知识要点：复杂图形的面积可由简单图形相加、相减得到。道路交叉部分只能 计算一次，剪去的部分不能相互重叠；这些条件都应在变量范围中体现。 图形平移时，重叠部分的形状可能改变。应以顶点经过边界的时刻分段，分别 选用三角形、矩形或梯形的面积公式，不把某一位置下的式子用到全过程。 最大面积要比较各段的有效最值；给定面积要逐段解方程。辅助图应与当前的 位置范围一致，不能用同一幅图代替几种不同的重叠情况。 典例6如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0,0)、A(4,0、 B(4,4)、C(0,4)。Rt△PQR的顶点为P(t,0、Q(t+4,0、R(t+4,4, 其中一4≤t≤4。三角形沿×轴方向平移，记它与正方形重叠部分的面积为S。 (1)分别在-4≤t≤0和0≤t≤4时，求S关于t的函数关系式；(2)求S 的最大值；(3)当S=6时，求t。 R B Q Ax 解：当-4≤t≤0时，三角形有一部分位于y轴左侧。整个Rt△PQR面积为8。 左侧被截去的小直角三角形两直角边均为一七，面积为子，所以S=8-之。 当0≤t≤4时，重叠部分是一个等腰直角三角形，其两直角边均为4一t,所以 S=是4-t记。两个式子在t=0时均为8。 第15页共28页 第一段在t=0时取最大值8；第二段也在t=0时取最大值B,所以重叠面积的最 大值为8。 当-4≤t≤0时，8-3产-6，得2-4，结合范围得t=-2。 当0≤t≤4时，电24-t=6,得4-t=23,故t=4-23。因此t=-2 或4-2V3。 y C R B Q Ax 一4<t<0时的重叠部分 y B R A 0<t<4时的重叠部分 第16页共28页 变式6.1如图，从边长为6cm的正方形纸片四角各剪去一个两条直角边均为 xcm的等腰直角三角形，其中0<x≤3。剩余部分的面积为28cm,求x。 C A B 解：每个剪去的等腰直角三角形面积为7x,四个的面积和为2x。 由剩余面积为28，得36-2x2=28,所以x2=4。 x>0,故x=2。它满足x≤3，即每条边上的两个切口不重叠。 变式6.2如图，在长12m、宽8m的矩形花坛内，修建两条互相垂直且分别平行 于两边的小路，两条小路的宽均为m,交叉处只计算一次。其余部分种花，种 花面积为77m2,求小路的宽。 A B 解：两条小路面积和为12x+8x,交叉处x2重复计算一次，因此小路实际面积 为20x-x2。 第17页共28页 种花面积为96-20x+x2,即(12-x)(8-x)。由题意0<x<8。 (12-x)(8-x)=77,整理得x-1)(x-19)=0。结合范围得x=1,小路宽 1mo 【二综合训练】 【A组·基础达标】 A1抛物线y=一x+6x与x轴交于O、A两点，点P是抛物线上横坐标为2的 点。S4oP4等于(）。 A.8B.12C.24D.48 A 选C。令y=0得x=0或6，故OA=6。P的纵坐标为-22+6×2=8。S4oP4 =2x6x8-24, 第18页共28页 A2抛物线y=x2-4与×轴交于A、B两点，与y轴交于C点。S4ABC= y A B 解：令y=0得x=-2或2，故AB=4。C(0,-4)到×轴的距离为4。S448C =2×4×4=8。 A3如图，C(0,-2),D(0,4),点P是抛物线y=x2+1上横坐标为-2的点。 求S4PCDO D 解：CD=4一(-2)=6。P到y轴的距离为|-21=2，与它的纵坐标无关。 S40-2x6x2=60 第19页共28页 A4如图，抛物线y=-2x2+8x+1经过A(0,1)、B(4,1)。点P在A、B之间 的抛物线上。S4PAB的最大值为 y B X 解：设P横坐标为t,0<t<4。AB=4,高为(-2t2+8t+1)-1=-2t+8t。 S44B=-4t2+16t=-4(t-2)2+16。t=2符合条件，最大面积为16。 A5某图形的面积S与参数t的关系为S=-2t+12t+5,其中1≤t≤2，则 S的最大值是（)。 A.15B.21C.23D.25 选B。S=-2(t-3)2+23.1≤t≤2在对称轴左侧，S随t增大而增大。 t=2时S最大，S=-8+24+5-21。不能把取不到的顶点值23作为最大值。 A6用长28cm的细铁丝围成一个矩形。设矩形的一边长为xcm,求矩形面积关 于×的函数关系式及其最大值。 B 解：另一边长为14-x,边长均为正，故0<x<14。 S=x(14-x)=-(x-7)2+49。x=7在范围内，最大面积为49cm2。 第20页共28页 【B组综合进阶】 B1如图，一条抛物线经过A(-1,0)、B(5,0、C(0,5)。点P在x轴上方的抛 物线上。(1)求抛物线的表达式；(2)求S4PAB的最大值。 A 解：设y=a(x+1)(x-5)。代入C(0,5),得-5a=5,a=-1。 所以y=-x2+4x+5。AB=6。设P横坐标为t,-1<t<5,则S4P4B =3(-t2+4t+5)=-3(t-2)2+27。 t=2符合条件，最大面积为27。 B2如图，抛物线y=一x2+6x经过O(0,0)、A(4,8)。点P在O、A之间的抛 物线上（不含O、A)。若S4POA=6,求点P的坐标。 Q 第21页共28页 解：直线OA为y=2x。设P(t,-t2+6t),0<t<4。过P作平行于y轴的 直线交OA于Q,则PQ=-t2+4t。 以PQ分割△POA,两高之和为4，所以S4Po4=2PQ=-2t+8t。 由-2t2+8t=6,得(t-1)(t-3)=0,t=1或3。代入抛物线，得P(1,5)或 P(3,9)。 B3如图，A(0,1),B(4,5),点P在抛物线y=x2-3x+1上，且0<xp<4。 求SAPAB的最大值。 X 解：直线AB为y=x+1。设P(t,t-3t+1),0<t<4。点P在AB下方， 竖直距离为(t+1)-(t2-3t+1)=-t2+4t。 S4a=2×4x(-t+4t)=-2(t-22+80 t=2符合条件，所以最大面积为8。 B4如图，在长20m、宽12m的矩形花园四周内侧修一条宽度相同的小路，中间 保留矩形花圃。若花圃面积为128m2,求小路的宽。 A B 解：设小路宽xm,则中间花圃长20-2x、宽12-2x,0<x<6。 第22页共28页 20-2x)(12-2x)=128,化简得x2-16x+28=0,即 (x-2)(x-14)=0。 结合0<x<6得x=2,小路宽2m。 B5如图，在Rt∠ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm。P从A沿 AB以1cm/s运动，Q同时从B沿BC以1cm/s运动；P到达B时，两点同时停 止。求运动过程中S44Po的最大值。 B Q 解：P在6s后到达B,故0≤t≤6。AP=t,Q到直线AB的距离为BQ=t。 S4Ao=,而不是号6-t)t,后者表示的是APBQ的面积。 3产在0sts6上递增，最大值为18cm2,此时P=B,BQ=6cm<BC。 B6如图，抛物线y=一x2+4x+5与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴 交于C。P在A、C之间的抛物线上（不含A、C)。求SAPAC的最大值及此时 P的坐标。 第23页共28页 解：令y=0得x=-1或5，所以A(-1,0)；C(0,5)。直线AC为y=5x+5。 设P(t,-t+4t+5),-1<t<0。P在AC上方，竖直距离为-t2-t。 A、C横坐标之差为1，故S6c-2-2-t)=-2t+经+日 6=-符合条件，最大面积为。此时P-。 【C组挑战突破】 C1如图，抛物线y=-x2+4x经过O(0,0)人、B(4,0),A(0,3)。点P在抛物 线上且不与O、B重合。若SAPAB=S4O4B,求所有符合条件的点P的坐标。 解：直线AB为y-是x+3,S6Mg7x4x3=6。设PG,-t+4t。 过P作平行于y轴的直线交AB或其延长线于Q。无论P的横坐标位于0与4之 间还是之外，用两个以PQ为底的三角形面积相加或相减，可得S4P4B =2x4x1yp-y0。 因此S4ue=2-42+19t-121=6,得-4E2+19t-12=12或-12。 第一种情况得到4t2-19t+24=0,判别式为361-384=-23<0，无实数根。 第二种情况得到-42+19t=0,t=0或识。t=0时P=0,不符合题意： 时y=-昭。 s19 所以唯-符合条件的点为P早，-昭。代入可得面积为6。 第24页共28页 C2如图，抛物线y=-x2+4x+3经过A(0,3、B(4,3)。P在A、B之间的抛 物线上，过P作平行于y轴的直线交AB于Q。若△PAB被PQ分成的两个三角 形面积之比为1：3，求S4PAB。 Q B 解：设P横坐标为t,则AQ=t,QB=4-t。△APQ与△BPQ同高PQ,面 积比为AQ:QB。 两部分面积之比为1：3，因此t:(4-t)=1:3或3：1，得t=1或3。 PQ=(-t2+4t+3)-3=-t2+4t,两种情况下PQ均为3。 S6M8=2x4x3=6 C3如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm。P从A沿 AB以1cm/s运动，Q同时从B沿BC以2cm/s运动；Q到达C后停留在C,P 继续运动至B后停止。设运动时间为s(0≤t≤6)，记S4P0为S。(1)求S 关于t的分段函数关系式；(2)求S的最大值；(3)当S=8cm时，求t。 P B 第25页共28页 解：Q到达C需8÷2=4S;P到达B需6s。0≤t≤4时，PB=6-t, B0=2t,5=26-t)2t=-t2+6t。 4≤t≤6时，Q停在C,B0=8,S=2×6-t×8=24-4t。两式在t=4 时均为8。 第一段S=-(t-32+9,在t=3时最大为9；第二段随t增大而减小，其最大 值为8。所以全过程最大面积为9cm。 第一段令-t2+6t=8,得t=2或4，均符合范围；第二段令24-4t=8,得 t=4。 去掉重复值，当S=8cm时，t=2或4。 C4如图，用长60m的篱笆围成矩形场地ABCD,一边AD靠墙且不设篱笆，墙 长为am(a>0)。另外用两道平行于AB的篱笆把场地分成三个矩形。全部篱笆 用完，不留出入口。(1)当a=20时，求场地面积的最大值；(2)用含a的式 子表示场地面积的最大值。 E B H 解：设AB=Xm,AD=m。两外侧和两道隔栏共四段长x,故4x+y=60。 S=y=y60-y=-4y-302+225,其中0<y<60,且y≤a, 当a=20时，0<y≤20，S随y增大而增大。y=20、x=10时，最大面积为 200m2。 当0<a<30时，顶点y=30不在允许范围内，最大值在y=a处取得，为 音a60-a)m2,此时x-6042,0。 当a≥30时，y-30符合全部条件，x=5.最大面积为25m。a=30时两 式相同，故也可将第一段写成0<a≤30。 第26页共28页 C5如图，抛物线y=x2上有P(t,t2)、Q(t+2,（t+22)两点，其中t≥0。 过P作平行于x轴的直线，交过Q且平行于y轴的直线于R。(1)求S4PoR关 于t的关系式；(2)若S4PQR=12,求P、Q的坐标。 PR X 解：PR平行于x轴，QR平行于y轴，故PR=(t+2)-t=2。t≥0，所以Q在 P上方，QR=(t+22-t2=4t+4。 S40R=)×2x4t+4=4t+4。虽然P、Q都在抛物线上，面积关于t却是 一次关系，不能先假定它一定是二次函数。 由4t+4=12,得t=2,所以P(2,4),Q(4,16)。 第27页共28页 C6如图，抛物线y=-x2+4x+1经过A(0,1)人、B(3,4)。点P在A、B之间的 抛物线上，过P作平行于y轴的直线交AB于Q。设P的横坐标为t,且 1≤t≤m,其中1≤m≤2。(1)求S4P4B关于t的关系式；(2)用含m的 式子表示SAPAB的最大值。 y B Q则 解：直线AB为y=X+1,PQ=-t+3t。以PQ为公共底割补，得S4P4B 20-2t-2+7。 s血<号时区间1Sm在对称轴左侧，S随t增大而增大，故最影 -是m2+号m,在t=m时取得。 当2≤m≤2时，t-2在区间内，最大值为27。在m-多时两武相同。 3 27 3 第28页共28页