专题03用二次函数解决问题同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题03用二次函数解决问题同步讲义 【题型01 二次函数综合:面积问题】........................................2 【题型02 二次函数应用:销售问题】........................................7 【题型03 二次函数综合:特殊三角形问题】.................................11 【题型04 二次函数综合:相似三角形问题】.................................18 【题型05 二次函数综合:特殊四边形问题】.................................26 【题型06 二次函数应用:投球问题】.......................................34 【题型07 二次函数应用:拱桥问题】.......................................41 【题型08 二次函数应用:喷水问题】.......................................49 【题型09 二次函数应用:图形运动问题】...................................54 【题型10 二次函数综合:线段周长问题】...................................59 【题型11 二次函数应用:图形问题】.......................................62 【题型12 二次函数综合:角度问题】.......................................65 【题型13 二次函数应用:增长率问题】.....................................69 【题型14 二次函数应用:其他实际应用问题】...............................73 【题型15 二次函数综合:其他综合问题】...................................77 ★知识梳理 知识点01:核心思想：建模思想 将实际问题转化为二次函数数学模型，利用二次函数的图像与性质（尤其是最值）求解实际问题。 知识点02:解题六步法（通用流程） 1.审：审清题意，明确已知量、未知量，找出等量关系。 2.设：设自变量（通常为 x）与因变量（通常为 y），注意单位与取值范围。 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式（y=ax2+bx+c,a0）。 4.解：利用二次函数性质（顶点、对称轴、开口方向）求最值 / 特定值。 5.检：检验结果是否符合实际意义（如长度、数量为正）。 6,答：规范作答，明确结论。 知识点03:核心工具：二次函数最值求法 1. 顶点式法（配方法） 将 y=ax2+bx+c 配方为 y=a(x−h)2+k： 顶点：(h,k) 对称轴：直线 x=h 最值：a>0 时，x=h 取最小值 k；a<0 时，x=h 取最大值 k。 2. 公式法 对称轴：x=− 顶点纵坐标（最值）：y=. 3. 关键提醒 实际问题中，自变量取值范围会限制最值：若顶点横坐标不在范围内，需在区 间端点处求最值。 ★★★★★是高频.中考必考★★★★是常考 次高频★★★是基础/拓展考查较少 【题型1.二次函数综合:面积问题】★★★★★ 一、2 个核心公式 矩形 / 正方形：S=长宽 三角形：S=底高 二、1 个建模步骤 设关键线段长为x（如矩形的一边、三角形的底） 用已知条件（如总长、周长）表示另一相关线段长 代入面积公式，列面积S关于x的二次函数 S=ax2+bx+c 三、最值求法 当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点纵坐标就是最大面积 当 a>0 时，抛物线开口向上，结合自变量取值范围（边长为正）取端点最值 四、关键注意 自变量x的取值必须符合图形存在的实际意义（如边长>0 【典例】如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则________，记的面积为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征∶二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式．先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到． 【详解】解：当时， ，则，所以； 当时， ，则，所以， 当时，，则，所以； 同样方法可得，所以． 故答案为： ， 【跟踪专练1】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【详解】（1）解：依题意，得， 整理得 解得：，， 将代入得， 将代入得， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，过点作轴的垂线，交直线于点，与直线交于点，以为边在的右侧作正方形，设正方形的面积为． (1)求点的坐标； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)S有最小值，S有最大值 【分析】（1）联立与解方程即可求出交点坐标； （2）根据垂直得到，，，最后根据正方形的面积计算即可． （3）得到当时，随的增大而增大，当时，S有最小值，当时，S有最大值． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点A ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点作轴的垂线，交直线于点，与直线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵以为边在的右侧作正方形， ∴正方形的面积为． （3）解：∵， ∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，S有最小值，最小值； 当时，S有最大值，最大值． 【题型2.二次函数应用:销售问题】★★★★★ 核心公式与等量关系 1.总利润 (P) 公式: P = 单件利润 × 销售数量 等量关系: P = (售价 - 成本) × 数量 2.价格与销量的关系 常见模式: 价格每提高（或降低）m 元，销量就减少（或增加）n 件。 等量关系: 设价格调整了 x 次，则新售价 = 原售价 ± m*x，新销量 = 原销量 ∓ n*x。 3.建立函数模型 将新售价和新销量代入总利润公式，得到一个关于 x 的二次函数 P(x)。 通常，这个函数的开口向下（a < 0），因此其顶点的纵坐标就是最大利润。 4.求最大利润 顶点式: 若函数为 P = a(x - h)² + k，则当 x = h 时，最大利润为 k。 一般式: 若函数为 P = ax² + bx + c，则当 x = -时，最大利润为 P(-)。 【典例】某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．正确得出利润关于的关系式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设利润为元，根据利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价得出关于的关系式，再根据二次函数的性质求最大值即可得答案． 【详解】解：设利润为元， ∵商品每件的进价为元，以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件， ∴， ∵， ∴时，有最大值， ∴要使利润最大，每件的售价应为元． 故答案为： 【跟踪专练1】某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（    ）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值问题．设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 【详解】解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故选：B． 【跟踪专练2】春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（，且x是整数）元． (1)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (2)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【答案】(1)50元 (2)当售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元. 【分析】（1）根据题意得涨价元，单个利润为元，每天销售量为个，根据题意列出方程，结合的限定范围求解得到最终售价； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为元，先列出利润关于的二次函数解析式，再利用二次函数的最值性质结合的范围求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：根据题意得涨价元，单个利润为元，每天销售量为个， 则， 解得或， 由于，则， 此时售价为（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元； （2）解：设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为元， 根据题意得 ：， 当时，取得最大值，最大值为900，此时售价为（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 【跟踪专练3】某批发商以40元／千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天． (1)若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为______元/千克，获得的总利润为______元； (2)设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 【答案】(1)62，10380 (2)（且x为整数） (3)11920元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）当时，；根据利润=每千克利润×销售数量-损耗10千克×进价，解答即可； （2）保存时间（天）时，售价为（元），根据利润每千克利润销售数量损耗10千克保存天数进价，解答即可； （3）根据二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为， 当时，（元）， 获得利润为：（元）． （2）解：保存时间（天）时，售价为（元）， 故，且 且x为整数． （3）解： ， 又，， 故当时，取得最大值，且最大值为（元）． 【题型3.二次函数综合:特殊三角形问题】★★★★★ 解决这类问题的根本思路是：“代数计算” 与 “几何分析” 相结合。 几何分析：首先，根据题目给出的 “特殊三角形” 的条件（如等腰、直角、等边等），分析其几何性质。这通常会转化为边与边之间的相等关系或垂直关系。 代数计算：然后，将这些几何关系用坐标来表示，转化为代数方程或不等式进行求解。 建系与设点：这是解决此类问题的基础。 建系：通常以二次函数的对称轴为 y 轴，或根据题目中的直角、平行线等条件建立平面直角坐标系。 设点：对于待求的动点，通常设其坐标为 (x, y)，其中 y 可以用二次函数的表达式 y = ax² + bx + c 来表示。 【典例】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 【跟踪专练1】如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 【跟踪专练3】如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 【题型4.二次函数综合:相似三角形问题】★★★★★ 求函数式：先求出二次函数的解析式。 设点坐标：用参数（如 x）表示所有关键点的坐标。 算边长：用坐标计算出相关三角形的边长。 分情况：根据相似三角形的判定（AA, SAS, SSS），分情况讨论可能的相似关系。 列方程：根据 “对应边成比例” 列出方程并求解。 验结果：检验解是否符合题意和几何图形。 【典例】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） .. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 【跟踪专练2】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，抛物线交轴于，，交轴于点，抛物线的顶点为，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的表达式； (2)为对称轴右侧一点，过点作，若与相似，求点点的坐标． 【答案】(1) (2)点共两个，， 【分析】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式和三角形相似的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，对称轴为直线，．得，．设，再分当，和，利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：由知，对称轴为直线，． ∴，． 设， ∴，． ∵， ∴与对应， 当时， ∴． ∴． ∴． ∴． 当， ∴． ∴． ∴． ∴． 满足条件的点共两个，，． 【题型5.二次函数综合:特殊四边形问题】★★★★★ 解决二次函数中的特殊四边形问题，核心是数形结合。 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式列方程求解。 矩形：在平行四边形的基础上，增加邻边垂直的条件，可用斜率乘积为 - 1或勾股定理逆定理来判定。 菱形：在平行四边形的基础上，增加四边相等或对角线垂直的条件。 正方形：需同时满足矩形和菱形的所有条件。 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在符合题意的点，且的面积为 或 【分析】（1）通过已知三点坐标代入抛物线方程可解出系数； （2）利用抛物线的对称性分析区间内的增减性，确定对称轴位置关系从而求出范围； （3）结合动点在抛物线上，结合对称轴上的点，构造以为顶点的平行四边形，利用平行四边形性质列出坐标关系，排除共线情况后计算三角形面积． 【详解】（1）解：令，得， ∴点C的坐标为． 令，得， ∴点A的坐标为． ∵抛物线经过三点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． ∵当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小， ∴ 解得． （3）解：存在点Q，设 ①当为平行四边形的边时， 若四边形是平行四边形，如图1所示． ， ， ， ， ∴点Q的坐标为 又， ∴此时的面积为． 若四边形是平行四边形，如图2所示． ， ， ， ∴ ， ， ∴点Q的坐标为 又， ∴此时的面积为． ②当为平行四边形的对角线时，如图3所示． ， ， ， ， ， ， ∴点Q的坐标为， ∴此时三点共线，不符合题意． 综上所述，存在符合题意的点Q，且的面积为或． 【题型6.二次函数应用:投球问题】★★★★ 1. 核心建系 x 轴 = 水平距离，y 轴 = 竖直高度，轨迹抛物线a<0（开口向下），点(x,y)：x = 水平距离，y = 对应高度。 2. 必用解析式（选其一） 顶点式（首选）：y=a(x−h)2+k（(h,k)为最高点，k = 最大高度，h = 到出手点水平距） 一般式：y=ax2+bx+c（已知 3 个点坐标时用） 特殊式：y=ax2+bx（出手点在原点(0,0)时用） 3. 关键等量关系 抛物线上任意点坐标满足解析式： 4. 高频计算公式 最大高度：k=（一般式转顶点用） 最高点水平距：h=−（一般式对称轴公式） 判进球：代入x筐求y算，y算筐即进球 【典例】乒乓球作为中国的国球，早已成为体现中国体育精神的重要文化象征，而发球机也随之成为乒乓球爱好者最常用的训练辅助工具．球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分，在如图所示的坐标系中，乒乓球到球台的竖直高度y（单位：）与乒乓球运行的水平距离x（单位：）之间的函数关系式为：．某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的A处发球，当乒乓球第一次接触球台时，球到起始点的水平距离是______． 【答案】200 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．令，求出x的值，据此求解即可． 【详解】解：当时，， 整理，得， 解得，（舍）， 所以球到起始点的水平距离是． 故答案为：200． 【跟踪专练1】一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 【跟踪专练2】小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． (1)直接写出_____，_____． (2)小明的前方有一堵高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； （2）由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，则把分别代入两个解析式进行解方程即可． 【详解】（1）解：当纸飞机飞行的水平距离为时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， 把代入得：， 解得； 把代入得：， 解得； （2）解：把代入，得． 解得：（舍），， 把代入， 得， 解得：． ， ∴小明距离围栏的距离时，纸飞机可以飞过围栏． 【跟踪专练3】如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为； (2)； (3)存在，点的坐标为； 【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围； （）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度； （）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为， ∴设抛物线顶点式， 由图可知抛物线过原点，代入得， ∴， 令，则， 解得：， ∴自变量的取值范围：； 即：抛物线解析式为， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点的横坐标为， 设点代入抛物线， 得：， ∴， 把点代入斜坡直线，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴自变量的取值范围：， 即：直线的函数解析式为； （2）解：由（）得， ∴到的距离， ∵小球从点滑落到点需要秒， ∴平均速度， ∵与满足， 即， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得， 则满足：， 设点的坐标为，（） ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 整理，得， 令，则方程变为：， 去括号，合并同类项，得， 将代回，得， 整理，得， ，对应点，舍去； ，即：对应点，舍去； ，解得， 结合，， ∴代入抛物线解析式，得 ， ∴点的坐标为． 【题型7.二次函数应用:拱桥问题】★★★★ 一.核心建模方法 1.建坐标系：以拱桥顶点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2（最简形式）；或 以拱桥底部中点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2+k。 2.求参数a：代入已知点坐标（如桥脚坐标、水面宽度对应的点），解方程得a。 二、 核心等量关系 1.桥高：顶点到x轴的距离（即∣k∣或顶点纵坐标绝对值）。 2.水面宽度：水面高度y=h时，解方程ax2=h（或ax2+k=h）得两个x值宽度=∣x1−x2∣. 【典例】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 【跟踪专练2】某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 【跟踪专练3】某主拱桥截面示意图如图所示，其截面可视为抛物线型，若该主拱桥的跨度为，其最高点（顶点）到桥面的距离为．以（与重合）为原点，桥面为轴，垂直于桥面且经过点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在主拱与桥面之间共设置15根等距的吊杆（垂直于桥面），如图所示，求从左到右第4根吊杆的长度． 【答案】(1) (2)从左到右第4根吊杆的长度是 【分析】（1）由题意可得，点，顶点坐标是，设抛物线解析式为，再进一步求解即可； （2）先算出从左到右第4根吊杆对应的值，再代入函数值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，点，顶点坐标是， 故可设抛物线的函数表达式为． 将点的坐标代入表达式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵共设置15根吊杆，被分成16等份， ∴每一份的距离为， ∴从左到右第4根吊杆对应的值为， 把代入表达式，得， 故从左到右第4根吊杆的长度是． 【题型8.二次函数应用:喷水问题】★★★★ 核心是用二次函数顶点式 y = a(x - h)² + k 描述抛物线轨迹。 建坐标系：通常以起点为原点。 求解析式：代入已知点（如起点、最高点、落点）求系数 a。 解问题： 最大高度 = 顶点纵坐标 k 射程 = 抛物线与 x 轴正交点的横坐标 判断命中：代入目标横坐标求高度并比较 【典例】要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 【跟踪专练2】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【跟踪专练3】综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 【答案】(1) (2)①出水点与景观灯底部之间的距离为米；② 【分析】（1）根据题意已知抛物线的顶点坐标及抛物线上一点，设抛物线的顶点式为，再将抛物线上一点代入即可； （2）①首先，根据题意把代入（1）中对应抛物线的表达式中，转换为关于的一元二次方程，解出方程的两个解，再根据题目中的实际意义舍去负值，然后，求得点对应的坐标，进而得出的长，最后，运用勾股定理即可求出的长； ②由平移的性质及题意设出平移后对应的抛物线的表达式，再将点的坐标代入即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过点，顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①解：当时，， 整理得，解得． ， 点， ． 当时，， ， ． 答：出水点与景观灯底部之间的距离为米． ②解：根据题意得平移后的抛物线为， ∵平移后的抛物线经过点， ， 解得， 的值为． 【题型9.二次函数应用:图形运动问题】★★★★ 1.核心公式：二次函数优先用顶点式（y = a(x - h)² + k），核心是顶点坐标(h, k)；平移、对称等图形运动只需变换顶点坐标，再代入顶点式。 2.等量关系：将几何条件（如面积、长度、等腰 / 直角 / 平行四边形）转化为用坐标表示的代数方程。 【典例】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算求出函数解析式，再判断即可． 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，；当点A到点E时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角梯形，设与交于点H， ∵，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向下的抛物线； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角三角形，设与交于点H， ∵ ，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向上的抛物线． 综上所述，只有选项A，当时，对应的函数图象是开口向下的抛物线；当时，对应的函数图象是开口向上的抛物线，选项A符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． .. (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 【题型10.二次函数综合:线段周长问题】★★★★ 核心公式 水平线段：|x₂ - x₁| 竖直线段：|y₂ - y₁| 任意线段：等量关系 周长 = 所有边的长度之和。 当求周长的最大值或最小值时，周长会被表示为一个关于 x 的函数，然后求这个函数的最值。 一句话：周长是各边长度的总和，而各边长度可以用坐标公式计算出来。 【典例】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，， (2) (3)存在一点D使得取得最大值，此时 【分析】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标. （2）根据是的中点求出点坐标，进而求出点坐标，利用直线求出点坐标即可求解. （3）由直线和抛物线可知，当为，时，点坐标为点坐标为，即可求出，，从而得到关于的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，解得，， 点坐标为，点坐标为 令，解得， 点的坐标为 （2）点是的中点， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得： 设直线的解析式为，当时，， 点的坐标为， 在抛物线中，当时，， 点的坐标为， （3）解：存在一点D使得取得最大值，此时 ， 点坐标为点坐标为， 由， ， ， 当时，有最大值为． 【题型11.二次函数应用:图形问题】★★★ 3 个核心式子 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x−h)2+k（顶点(h,k)，求最值用） 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（与x轴交于(x1​,0)、(x2​,0)） 2 个关键等量关系 面积类：矩形S=长宽；三角形S=底高 最值类：顶点纵坐标 = 最值（a>0最小，a<0最大） 【典例】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求自变量的取值范围． 用x表示的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长列不等式，可求x的范围． 【详解】解：由已知得：， ∴， ∵墙长， ∴， 解得， ∴x的取值范围为； 故答案为：，． 【跟踪专练1】如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（   ） A．10 B．20 C．50 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得到大矩形的另一边长，进而由面积得二次函数，结合函数图象当时函数值为25，即可求得a的值． 【详解】解：由题意得，大矩形的另一边为， 则， 由函数图象知，当时，函数值为25， 即， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大值为800 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后根据矩形的周长可进行求解； （2）由（1）可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【跟踪专练3】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为． (1)的长为___________；（用含的代数式表示） (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少． 【答案】(1) (2)能，12 (3)当时，花园面积最大，最大值为 【分析】（1）根据列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解； （3）根据矩形的面积公式列出S与x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：的长为； （2）解：根据题意，得． 整理，得．解得． ∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和， ∴． ∴． ∴的值为12． （3）解：由题意得：． ∵． ∴当时，花园面积最大，最大值为． 【题型12.二次函数综合:角度问题】★★★ 度问题的核心是判断三角形的形状，主要是直角三角形和等腰三角形。 判断直角三角形：利用斜率之积为 - 1。如果两条边所在直线的斜率相乘等于 - 1，那么这个角就是直角。 判断等腰三角形：利用距离公式。如果三角形中有两条边的长度相等，那么它就是等腰三角形。 解题步骤：设动点坐标，计算相关线段的斜率或长度，然后根据上述条件建立方程求解。 一句话：用斜率判断垂直，用距离判断相等。 【典例】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【题型13.二次函数应用:增长率问题】★★★ 原有量：a 平均增长率：x 增长次数：n 增长后量：b · 增长：a(1+x)n=b · 下降：a(1−x)n=b · 初中必考：两次增长 → a(1+x)2=b · 求总和：把每年的量相加 【典例】近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【跟踪专练2】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【跟踪专练3】某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 【题型14.二次函数应用:其他实际应用问题】★★★ 二次函数在其他实际问题中的应用，核心是建模与求最值。 简单来说，就是： 找关系：从问题中找出两个变量之间的等量关系。 列函数：根据关系列出一个二次函数 y = ax² + bx + c。 求最值：因为二次函数图像是抛物线，所以可以找到它的最高点（a<0时）或最低点（a>0时），这个点的纵坐标就是我们要找的最大或最小值。 常见类型： 几何最值：如用固定长度的材料围图形，求最大面积。 利润成本：如生产多少产品，利润最大。 物理关系：如自由落体的距离与时间。 一句话：把实际问题变成二次函数，然后找它的顶点。 【典例】数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．已知抛物线的解析式为，若点到轴的距离是，则、两点之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．将代入求出，再计算、两点之间的距离． 【详解】解：根据题意可知， 当时，， 解得：， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示动摩擦因数，其函数图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离就增加 B．当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是 C．当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离就不会发生碰撞 D．此道路的动摩擦因数是1.2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据待定系数法求得二次函数的解析式，再利用图象和二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得与的函数图象为二次函数， ∴小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离不一定增加，故A错误； 根据图象可得当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是，故B错误； 把代入，可得，解得，故D正确； ， 当时，， 故当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离会发生碰撞，故C错误， 故选：D． 【跟踪专练2】受疫情影响，从保障学生健康安全出发，学校规定每位学生进入学校需进行体温检测，经过调查发现学生错峰进入校园的累计人数（人）与时间（分钟）变化情况满足函数：． (1)学生错峰进入校园，经过多少分钟校园的累计人数会达到80人？ (2)如果学生一进学校就开始排队测量体温，平均每分钟检测10人，求排队人数最多时有多少人？（排队人数累计人数已检测人数） 【答案】(1)8分钟 (2)16人 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把代入，得到关于x的方程，即可求解； （2）设排队人数为w人，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 即经过8分钟校园的累计人数会达到80人； （2）解：设排队人数为w人，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为16， 即排队人数最多时有16人． 【跟踪专练3】某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． (1)分别求出与所在抛物线的表达式． (2)若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，得两条抛物线的顶点坐标分别为，，且都过点，代入抛物线的表达式，解答即可； （2）根据伞盖两端之间的水平距离为，得到点B的横坐标为5，到点A的横坐标为，代入表达式求函数值即可； 【详解】（1）解：根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． 根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． （2）解：∵伞盖两端之间的水平距离为， ∴到点A的横坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴（米）， 故伞盖端点到地面的距离为． 【题型15.二次函数综合问题:其他综合问题】★★★ 高频综合类型 函数混搭：联立解析式求交点，割补法算面积 相似三角形：对应边成比例，分情况讨论对应顶点 圆结合：点到圆心距离 = 半径，直径对直角用勾股 通用 4 步解法求函数解析式 → 设关键点坐标 → 用几何性质列方程 → 求解验证 【典例】定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的动点问题、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得，，，再分三种情况：当时，；当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变；当点运动到点，点在上运动时；分别求解即可，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时， ∴当时，， 如图，作于，于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时为二次函数； 当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变，始终为； 当点运动到点，点在上运动时，如图： 此时，， ∴，此时为一次函数； 故选：C． 【跟踪专练2】已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题关键是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解； （3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：将化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． ， 点M，N关于直线对称，． 图象G的最高点纵坐标为4， 将代入，得， ． （3）解：由题意知直线的方程为， 当时，， 要使图象G在直线上方，即对于，都有， 即． 由二次函数图象解不等式，得， 要在内， 解得． ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03用二次函数解决问题同步讲义 【题型01 二次函数综合:面积问题】........................................2 【题型02 二次函数应用:销售问题】........................................4 【题型03 二次函数综合:特殊三角形问题】.................................5 【题型04 二次函数综合:相似三角形问题】.................................7 【题型05 二次函数综合:特殊四边形问题】.................................8 【题型06 二次函数应用:投球问题】.......................................10 【题型07 二次函数应用:拱桥问题】.......................................12 【题型08 二次函数应用:喷水问题】.......................................14 【题型09 二次函数应用:图形运动问题】...................................16 【题型10 二次函数综合:线段周长问题】...................................17 【题型11 二次函数应用:图形问题】.......................................19 【题型12 二次函数综合:角度问题】.......................................21 【题型13 二次函数应用:增长率问题】.....................................22 【题型14 二次函数应用:其他实际应用问题】...............................23 【题型15 二次函数综合:其他综合问题】...................................25 ★知识梳理 知识点01:核心思想：建模思想 将实际问题转化为二次函数数学模型，利用二次函数的图像与性质（尤其是最值）求解实际问题。 知识点02:解题六步法（通用流程） 1.审：审清题意，明确已知量、未知量，找出等量关系。 2.设：设自变量（通常为 x）与因变量（通常为 y），注意单位与取值范围。 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式（y=ax2+bx+c,a0）。 4.解：利用二次函数性质（顶点、对称轴、开口方向）求最值 / 特定值。 5.检：检验结果是否符合实际意义（如长度、数量为正）。 6,答：规范作答，明确结论。 知识点03:核心工具：二次函数最值求法 1. 顶点式法（配方法） 将 y=ax2+bx+c 配方为 y=a(x−h)2+k： 顶点：(h,k) 对称轴：直线 x=h 最值：a>0 时，x=h 取最小值 k；a<0 时，x=h 取最大值 k。 2. 公式法 对称轴：x=− 顶点纵坐标（最值）：y=. 实际问题中，自变量取值范围会限制最值：若顶点横坐标不在范围内，需在区 间端点处求最值。 ★★★★★是高频.中考必考★★★★是常考 次高频★★★是基础/拓展考查较少 【题型1.二次函数综合:面积问题】★★★★★ 一、2 个核心公式 矩形 / 正方形：S=长宽 三角形：S=底高 二、1 个建模步骤 设关键线段长为x（如矩形的一边、三角形的底） 用已知条件（如总长、周长）表示另一相关线段长 代入面积公式，列面积S关于x的二次函数 S=ax2+bx+c 三、最值求法 当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点纵坐标就是最大面积 当 a>0 时，抛物线开口向上，结合自变量取值范围（边长为正）取端点最值 四、关键注意 自变量x的取值必须符合图形存在的实际意义（如边长>0 【典例】如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则________，记的面积为，则________． 【跟踪专练1】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【跟踪专练2】如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，过点作轴的垂线，交直线于点，与直线交于点，以为边在的右侧作正方形，设正方形的面积为． (1)求点的坐标； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的最大值和最小值． 【题型2.二次函数应用:销售问题】★★★★★ 核心公式与等量关系 1.总利润 (P) 公式: P = 单件利润 × 销售数量 等量关系: P = (售价 - 成本) × 数量 2.价格与销量的关系 常见模式: 价格每提高（或降低）m 元，销量就减少（或增加）n 件。 等量关系: 设价格调整了 x 次，则新售价 = 原售价 ± m*x，新销量 = 原销量 ∓ n*x。 3.建立函数模型 将新售价和新销量代入总利润公式，得到一个关于 x 的二次函数 P(x)。 通常，这个函数的开口向下（a < 0），因此其顶点的纵坐标就是最大利润。 4.求最大利润 顶点式: 若函数为 P = a(x - h)² + k，则当 x = h 时，最大利润为 k。 一般式: 若函数为 P = ax² + bx + c，则当 x = -时，最大利润为 P(-)。 【典例】某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 【跟踪专练1】某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（    ）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【跟踪专练2】春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（，且x是整数）元． (1)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (2)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【跟踪专练3】某批发商以40元／千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天． (1)若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为______元/千克，获得的总利润为______元； (2)设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 【题型3.二次函数综合:特殊三角形问题】★★★★★ 解决这类问题的根本思路是：“代数计算” 与 “几何分析” 相结合。 几何分析：首先，根据题目给出的 “特殊三角形” 的条件（如等腰、直角、等边等），分析其几何性质。这通常会转化为边与边之间的相等关系或垂直关系。 代数计算：然后，将这些几何关系用坐标来表示，转化为代数方程或不等式进行求解。 建系与设点：这是解决此类问题的基础。 建系：通常以二次函数的对称轴为 y 轴，或根据题目中的直角、平行线等条件建立平面直角坐标系。 设点：对于待求的动点，通常设其坐标为 (x, y)，其中 y 可以用二次函数的表达式 y = ax² + bx + c 来表示。 【典例】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【跟踪专练1】如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4.二次函数综合:相似三角形问题】★★★★★ 求函数式：先求出二次函数的解析式。 设点坐标：用参数（如 x）表示所有关键点的坐标。 算边长：用坐标计算出相关三角形的边长。 分情况：根据相似三角形的判定（AA, SAS, SSS），分情况讨论可能的相似关系。 列方程：根据 “对应边成比例” 列出方程并求解。 验结果：检验解是否符合题意和几何图形。 【典例】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） .. A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，抛物线交轴于，，交轴于点，抛物线的顶点为，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的表达式； (2)为对称轴右侧一点，过点作，若与相似，求点点的坐标． 【题型5.二次函数综合:特殊四边形问题】★★★★★ 解决二次函数中的特殊四边形问题，核心是数形结合。 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式列方程求解。 矩形：在平行四边形的基础上，增加邻边垂直的条件，可用斜率乘积为 - 1或勾股定理逆定理来判定。 菱形：在平行四边形的基础上，增加四边相等或对角线垂直的条件。 正方形：需同时满足矩形和菱形的所有条件。 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【跟踪专练1】如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 【题型6.二次函数应用:投球问题】★★★★ 1. 核心建系 x 轴 = 水平距离，y 轴 = 竖直高度，轨迹抛物线a<0（开口向下），点(x,y)：x = 水平距离，y = 对应高度。 2. 必用解析式（选其一） 顶点式（首选）：y=a(x−h)2+k（(h,k)为最高点，k = 最大高度，h = 到出手点水平距） 一般式：y=ax2+bx+c（已知 3 个点坐标时用） 特殊式：y=ax2+bx（出手点在原点(0,0)时用） 3. 关键等量关系 抛物线上任意点坐标满足解析式： 4. 高频计算公式 最大高度：k=（一般式转顶点用） 最高点水平距：h=−（一般式对称轴公式） 判进球：代入x筐求y算，y算筐即进球 【典例】乒乓球作为中国的国球，早已成为体现中国体育精神的重要文化象征，而发球机也随之成为乒乓球爱好者最常用的训练辅助工具．球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分，在如图所示的坐标系中，乒乓球到球台的竖直高度y（单位：）与乒乓球运行的水平距离x（单位：）之间的函数关系式为：．某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的A处发球，当乒乓球第一次接触球台时，球到起始点的水平距离是______． 【跟踪专练1】一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【跟踪专练2】小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． (1)直接写出_____，_____． (2)小明的前方有一堵高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏． 【跟踪专练3】如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【题型7.二次函数应用:拱桥问题】★★★★ 一.核心建模方法 1.建坐标系：以拱桥顶点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2（最简形式）；或 以拱桥底部中点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2+k。 2.求参数a：代入已知点坐标（如桥脚坐标、水面宽度对应的点），解方程得a。 二、 核心等量关系 1.桥高：顶点到x轴的距离（即∣k∣或顶点纵坐标绝对值）。 2.水面宽度：水面高度y=h时，解方程ax2=h（或ax2+k=h）得两个x值宽度=∣x1−x2∣. 【典例】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【跟踪专练1】如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【跟踪专练2】某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【跟踪专练3】某主拱桥截面示意图如图所示，其截面可视为抛物线型，若该主拱桥的跨度为，其最高点（顶点）到桥面的距离为．以（与重合）为原点，桥面为轴，垂直于桥面且经过点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在主拱与桥面之间共设置15根等距的吊杆（垂直于桥面），如图所示，求从左到右第4根吊杆的长度． 【题型8.二次函数应用:喷水问题】★★★★ 核心是用二次函数顶点式 y = a(x - h)² + k 描述抛物线轨迹。 建坐标系：通常以起点为原点。 求解析式：代入已知点（如起点、最高点、落点）求系数 a。 解问题： 最大高度 = 顶点纵坐标 k 射程 = 抛物线与 x 轴正交点的横坐标 判断命中：代入目标横坐标求高度并比较 【典例】要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【跟踪专练1】如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【跟踪专练3】综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 【题型9.二次函数应用:图形运动问题】★★★★ 1.核心公式：二次函数优先用顶点式（y = a(x - h)² + k），核心是顶点坐标(h, k)；平移、对称等图形运动只需变换顶点坐标，再代入顶点式。 2.等量关系：将几何条件（如面积、长度、等腰 / 直角 / 平行四边形）转化为用坐标表示的代数方程。 【典例】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【跟踪专练1】如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． .. (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【题型10.二次函数综合:线段周长问题】★★★★ 核心公式 水平线段：|x₂ - x₁| 竖直线段：|y₂ - y₁| 任意线段：等量关系 周长 = 所有边的长度之和。 当求周长的最大值或最小值时，周长会被表示为一个关于 x 的函数，然后求这个函数的最值。 一句话：周长是各边长度的总和，而各边长度可以用坐标公式计算出来。 【典例】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【题型11.二次函数应用:图形问题】★★★ 3 个核心式子 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x−h)2+k（顶点(h,k)，求最值用） 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（与x轴交于(x1​,0)、(x2​,0)） 2 个关键等量关系 面积类：矩形S=长宽；三角形S=底高 最值类：顶点纵坐标 = 最值（a>0最小，a<0最大） 【典例】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是_______． 【跟踪专练1】如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（   ） A．10 B．20 C．50 D．不能确定 【跟踪专练2】如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 【跟踪专练3】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为． (1)的长为___________；（用含的代数式表示） (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少． 【题型12.二次函数综合:角度问题】★★★ 度问题的核心是判断三角形的形状，主要是直角三角形和等腰三角形。 判断直角三角形：利用斜率之积为 - 1。如果两条边所在直线的斜率相乘等于 - 1，那么这个角就是直角。 判断等腰三角形：利用距离公式。如果三角形中有两条边的长度相等，那么它就是等腰三角形。 解题步骤：设动点坐标，计算相关线段的斜率或长度，然后根据上述条件建立方程求解。 一句话：用斜率判断垂直，用距离判断相等。 【典例】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【跟踪专练3】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【题型13.二次函数应用:增长率问题】★★★ 原有量：a 平均增长率：x 增长次数：n 增长后量：b · 增长：a(1+x)n=b · 下降：a(1−x)n=b · 初中必考：两次增长 → a(1+x)2=b · 求总和：把每年的量相加 【典例】近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【跟踪专练1】红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【跟踪专练3】某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【题型14.二次函数应用:其他实际应用问题】★★★ 二次函数在其他实际问题中的应用，核心是建模与求最值。 简单来说，就是： 找关系：从问题中找出两个变量之间的等量关系。 列函数：根据关系列出一个二次函数 y = ax² + bx + c。 求最值：因为二次函数图像是抛物线，所以可以找到它的最高点（a<0时）或最低点（a>0时），这个点的纵坐标就是我们要找的最大或最小值。 常见类型： 几何最值：如用固定长度的材料围图形，求最大面积。 利润成本：如生产多少产品，利润最大。 物理关系：如自由落体的距离与时间。 一句话：把实际问题变成二次函数，然后找它的顶点。 【典例】数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．已知抛物线的解析式为，若点到轴的距离是，则、两点之间的距离是__________． 【跟踪专练1】道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示动摩擦因数，其函数图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离就增加 B．当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是 C．当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离就不会发生碰撞 D．此道路的动摩擦因数是1.2 【跟踪专练2】受疫情影响，从保障学生健康安全出发，学校规定每位学生进入学校需进行体温检测，经过调查发现学生错峰进入校园的累计人数（人）与时间（分钟）变化情况满足函数：． (1)学生错峰进入校园，经过多少分钟校园的累计人数会达到80人？ (2)如果学生一进学校就开始排队测量体温，平均每分钟检测10人，求排队人数最多时有多少人？（排队人数累计人数已检测人数） 【跟踪专练3】某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． (1)分别求出与所在抛物线的表达式． (2)若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 【题型15.二次函数综合问题:其他综合问题】★★★ 高频综合类型 函数混搭：联立解析式求交点，割补法算面积 相似三角形：对应边成比例，分情况讨论对应顶点 圆结合：点到圆心距离 = 半径，直径对直角用勾股 通用 4 步解法求函数解析式 → 设关键点坐标 → 用几何性质列方程 → 求解验证 【典例】定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是______． 【跟踪专练1】如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $