精品解析：四川乐山市五通东辰学校2026-2027学年高一上学期半期考试数学试题

乐山东辰2026-2027学年第一学期高一半期考试数学试卷 考试时间：120分钟卷面总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 5. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正实数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 的最小值是 D. 当时，，的值域是，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为____________． 13. 已知函数．则的值为______． 14. 已知函数定义域为，且为偶函数，，若对任意，不等式成立，则实数的取值范围为______________． 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 16. 已知函数是 定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 17. 某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军贵阳市场.该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志.贵阳市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）求年利润s（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山东辰2026-2027学年第一学期高一半期考试数学试卷 考试时间：120分钟卷面总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接得出答案. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 取，满足，而，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数， . 5. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或. 故选：B. 6. 已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的条件，可得函数在上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得. 【详解】由对任意，都有，得函数在上单调递增， 因为函数为偶函数，, 所以， 于是，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次函数和反比例函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】由题意在上单调递增，则解得． 故选：D． 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即，，解得， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、作差法及特殊值法证明即可. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，. 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误． 10. 已知正实数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断ABC，把用表示，利用，解不等式可判断D. 【详解】 ，当且仅当时等号成立，此时，时，故A错误； ，所以，当且仅当时等号成立，此时，时，故B正确； ，当且仅当时等号成立，此时，，故C正确； ，因为，所以，结合，解得，故D正确. 故选：BCD 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 的最小值是 D. 当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果. 【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ，  可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ，  的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知函数．则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】用换元法，设，解得代入后可得函数解析式，再计算函数值． 【详解】设，， 则， 所以， 所以 ． 所以 故答案为：4 14. 已知函数定义域为，且为偶函数，，若对任意，不等式成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数为偶函数，所以， 因为，则，解得； 当时，，所以，得， 所以，所以， 任意，不等式成立，即成立， 当时，取得最小值为， 由得． 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由写出集合，根据补集的运算求出，求出集合，根据交集运算即可求出. （2）由“”是“”成立的必要不充分条件得到集合是集合的真子集，根据真子集的定义列出的不等式（组），计算求解. 【小问1详解】 当时，集合，则或， 又由不等式，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，集合， 当时，， 因为使得“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以正实数的取值范围是. 16. 已知函数是 定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）在上为增函数，理由如下. 设，则，，，， 在上为增函数， （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数在处有定义则有以及计算出的值； （2）利用定义法证明函数的单调性：设未知数，作差，变形，判断正负，下结论； （3）根据单调性和奇偶性将函数值关系转变为自变量间的关系，完成求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，， 又.，，. （2）略 （3）， ， 又在上为递增的奇函数， ， 不等式的解集为. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，难度一般.利用函数的单调性和奇偶性解不等式时，可先通过奇偶性将不等式的形式变形为：，然后再根据单调性得到与的大小关系，接着即可求解不等式解集. 17. 某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军贵阳市场.该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志.贵阳市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）求年利润s（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为29万台时，该公司获得最大利润2360万元 【解析】 【分析】（1）由可得结果； （2）分别求出分段函数每一段的最大值即可求解. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以函数解析式为. 【小问2详解】 当时，因为， 又因为在上随的增大而增大， 所以当时，s取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以时，的最大值为2360万元. 所以当年产量为29万台时，该公司获得最大利润2360万元. 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）代入，解一元二次不等式即可得结果； （2）整理可得，分类讨论最高项系数的符号以及两根大小解不等式即可； （3）整理可得，换元结合基本不等式可得，根据存在性问题即可得结果. 【小问1详解】 当时，， 即，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 由不等式， 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或； 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，，即， 且，可得， 设，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为， 若存在，使得不等式成立， 可得，所以的取值范围是. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 【答案】（1）， （2）对称中心为，证明如下： 由，则有，解得且， ， 故函数的对称中心为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得； （2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得； （3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，就对称中心分类讨论后可得数组的个数. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故， 令，则有， 又当时，，故， 故， 即，； 【小问2详解】 对称中心为，证明略； 【小问3详解】 设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、， 又、、， 若对称中心为，则必有，且， 故，，共有2022个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而就对称中心分类讨论即可 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $