精品解析：四川绵阳市东辰中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

绵阳东辰中学2026级第一次月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 2. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 3. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 4. 已知函数满足且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配凑法得到函数解析式，进而求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，则. 5. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 6. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由的图象可得， 故. 7. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求解函数定义域为时参数的取值范围，再通过判断两个范围的等价性确定条件类型. 【详解】若函数的定义域为，则不等式对任意恒成立，分情况讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，满足要求； 当时，为二次函数，需满足， 解得，所以定义域为的充要条件就是，和题设给出的条件完全等价. 因此“”是“函数的定义域为”的充要条件. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，方程的两个实根和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是 C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示两个不同的函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据根式性质和分式性质列不等式求定义域可判断A选项，根据函数相等的定义可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项. 【详解】对于A，由题意可得，解得， 所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 11. 已知，为正实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及其推论逐项判断即可. 【详解】A选项，由基本不等式可得：，则，当且仅当，时等号成立，此时取得最大值为2，所以A选项正确； B选项，，当且仅当时等号成立，此时取得最小值为，所以B选项错误； C选项，，因为，，，所以，解得：， 令，则对称轴为， 所以，即：的最小值为，所以C选项正确； D选项，由基本不等式得：， 当且仅当，时等号成立，此时的最大值为，所以D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13. 已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 14. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 17. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1） （2）当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【解析】 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时， 当时， 因为时，，解得 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 18. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 19. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），的最小值为1； （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）比较与的大小，即可求，进而求解； （2）分和两种情况，证明等式即可； （3）令，，由（2）知：，，然后把题意转化为都大于等于2，对任意恒成立，即可求解. 【小问1详解】 设，. 当或时，，故； 当时，，故. 因此，， 作出的函数图像： 所以， 所以的最小值为1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有. ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳东辰中学2026级第一次月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 已知函数满足且，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 7. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，方程的两个实根和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是 C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的一个充分条件是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示两个不同的函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 已知，为正实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13. 已知，则的取值范围是___________ 14. 已知，，则的最小值为____________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 17. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 18. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $