湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期期中考试数学自编卷（范围：必修一1-3单元）

湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期期中考试自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A B A C D ABC AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】分析：求得集合，即可根据集合的交集运算，即可得到结果. 详解：由集合，， 则，故选B. 点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 2．C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．D 【分析】画出函数图像，从图像观察可得答案. 【详解】函数图像可由 图像向右平移一个单位得到， 如图所示: ， 结合图像可知，函数的值域为 . 故选：D 4．A 【详解】∵不等式﹣2x2+bx+1＞0的解集， ∴﹣，m是一元二次方程﹣2x2+bx+1=0的两个实数根，且﹣＜m， ∴﹣+m=，﹣•m=﹣，解得m=1，b=1，故选A． 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法的应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系是解题的关键． 5．B 【分析】根据函数的对称性化简可得函数时周期函数，求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解. 【详解】解：因为函数是上的奇函数， 所以， 又因为的图象关于对称， 所以， 则， 所以， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：B. 6．A 【解析】对于任意实数，对任意恒成立，化为，令，利用导数研究函数的最值，可得的最小值为，令，利用导数研究函数的最值，即可得解. 【详解】对于任意实数，对任意恒成立， 即，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，取得极小值，也是最小值， ， 令，， ， ， 所以在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查不等式的恒成立问题，考查学生的推理能力和运算求解能力，属于中档题. 不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：恒成立；恒成立；有解；有解；无解；无解. 7．C 【分析】根据的定义可得当时，组成区域的面积为1，进而可得，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】当时，组成区域的面积为1， 当时，组成区域的面积为1， 依次类推，当时， 组成区域的面积为1. 当时，若，则， 此时组成区域的面积为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 当，且时，， 当，且时， 所以的取值范围是， 故选：C. 8．D 【分析】将原方程的解看作求函数与交点的横坐标，分和两种情况分别画出函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】对于方程对应的整数解， 可看作求函数与交点的横坐标， 当时，函数， 设，， 则求的解即求函数与交点的横坐标， 由图知或时有解， 此时或无解，由于，故无符合条件的值， 当时，，因为函数， 当时，函数， 当时，函数， 当时，函数，， 如图，作出符合题意的图象， 由于，，， 可以得出在有整数解，则，故D正确. 9．ABC 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据元素与集合的关系，可得，所以A正确； 对于B中，根据集合与集合间的关系，可得，所以B正确； 对于C中，根据集合相等的定义，可得，所以C正确； 对于D中，集合为数集，集合为点集，所以D错误. 故选：ABC. 10．AC 【分析】由题设可判断A；令可判断BD；求出时的解析式，再由为偶函数求出可判断C. 【详解】对于A，由题设，可知的图象关于点对称，故A正确； 对于B，在中，令，得，故B错误； 对于C，当时，，所以，又， 所以，即当时，， 而为偶函数，所以当时，， 综上可知，当时，，故C正确； 对于D，由B的解析可知，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】对于A，由点关于的对称点在函数的图象上可得；对于B，由奇函数有，将替换为，结合的图象关于对称可得；对于C，在中将替换为，结合可判断C；对于D，利用奇偶性和对称性，结合可得. 【详解】对于A，点关于的对称点是， 因为的图象关于对称，该点在函数的图象上，所以，故A正确. 对于B，因为为奇函数，所以， 将替换为有，则. 又的图象关于对称，所以， 则，故B正确. 对于C，在中将替换为有， 由B知，，两式相减得到，故C错误. 因为为奇函数，所以， 又的图象关于对称，从而，故由C得 ，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：抽象函数性质的综合性问题，主要采取代换、迭代的方法研究性质或求值.本题关键在于灵活运用的图象关于对称，以及奇函数的对称性进行灵活代换. 12． 【分析】由幂函数解析式可确定函数定义域和单调性，进而得到不等式组求得结果. 【详解】定义域为，且在定义域内单调递增 由得：，解得： 的取值范围为 【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够根据幂函数解析式得到函数的定义域和单调性；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误. 13．/ 【分析】由的图象关于坐标原点对称得是一个奇函数，根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果. 【详解】依题意函数是一个奇函数， 又，所以， 所以定义域为， 因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得. 又，所以， 所以，即， 所以，所以. 故答案为：. 14． 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，而注意到，则结合二次函数对称轴得出a. 【详解】设， 则可将问题转化为， ，当且仅当， 即时等号成立，故，， 由于，则是最小值，则对称轴，， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 15．C>A>B>D 【分析】通过取特值，初步探索出四个代数式的大小关系；再利用作差法证明即可. 【详解】因为－<a<0，取a＝－，则A＝，B＝，C＝，D＝， 所以猜想C>A>B>D.则只需说明B－D>0，A－B>0，C－A>0即可． 因为B－D＝1－a2－＝＝， 又－<a<0，所以1－a>0，－1<a－<－， 所以<<1，故 所以>0，所以B>D. 因为A－B＝1＋a2－1＋a2＝2a2>0，所以A>B. 因为C－A＝－(1＋a2)＝ ＝， 又1＋a>0，－a>0，＋ 所以>0，所以C>A. 综上可知，A、B、C、D的大小关系是C>A>B>D. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系，本题中取特值初步探索是非常好的一种解题策略. 16．（1）；（2），. 【分析】根据分式及绝对值不等式的解法化简两个集合. （1）根据集合的补集的定义进行求解即可； （2）根据集合的交集和并集的定义进行求解即可. 【详解】. （1）所以； （2）所以， . 17．(1) (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）由题意得到是的真子集，再通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）， 因为， 所以当时，， 解得， 当时，，解得,此时或， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）由若命题是命题的必要不充分条件，可化为命题是命题的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 18．(1) (2)函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）去掉绝对值转化为分段函数，作出图象即可； （2）由图象直接写出单调区间即可； （3）根据分段函数解不等式求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时， 故， 故函数图象如图， （2）由图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由解析式，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则. 综上，不等式的解集为 19．(1) (2) 证明：由，令得，因为，所以. 令，得，设则， 因为当时，，所以时，. 所以 任取，且设，则， 即，， 因为所以， 所以，所以，又， 所以，所以在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得； （2）利用赋值法可得，且时，，利用单调性的定义即可证明； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即恒成立，故，解不等式即可. 【详解】（1）由，令则，又时，， 所以. （2）略 （3）由及， 可化为， 所以， ， 又由（2）知在上单调递增， 故上式可化为恒成立，即恒成立， 故，解得， 故实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期期中考试自编卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修上册第1-3单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数的定义域是，则其值域为（    ）. A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，则，的值分别是 A．， B．， C．， D．， 5．已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 6．已知函数（为实数），若对于任意实数，对任意恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．设，其中表示不超过的最大整数，例如.若，所有满足的点组成区域的面积为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数当分别取时，方程对应的整数解分别为，，…，，则（    ） A．10 B．55 C．80 D．100 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 9．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．当时， D．在上单调递减 11．已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知幂函数，若，则a的取值范围是______. 13．已知函数的图象关于坐标原点对称，则______． 14．若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知－<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试判断A、B、C、D的大小关系． 16．已知集合， （1）求； （2）求． 17．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．已知函数． (1)画出的图象； (2)根据图象写出函数的单调区间； (3)求的解集． 19．已知函数的定义域为，对任意都满足，且．当时，，且． (1)求的值： (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $