精品解析：吉林松原市滨江中学2026-2027学年九年级上学期期中学情自测数学试卷

九年级期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项分母为，B选项中的次数为，均不符合反比例函数形式． C选项，是反比例函数． D选项是正比例函数，不符合要求． 2. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 3. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形，根据正六边形是旋转对称图形，绕着它的旋转中心旋转后能与其自身重合． 【详解】解：∵正六边形是旋转对称图形，绕着它的旋转中心旋转后能与其自身重合． 故选：B． 4. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 5. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 6. 如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴． 8. 把二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后二次函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】解：二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后的二次函数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移口诀是解题的关键． 9. 若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， ∵在方程中，，， ∴ 解得， ∴可取该范围内任意一个数，如． 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 11. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____． 【答案】1． 【解析】 【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1， ∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程整理为一般式后，运用公式法计算方程的根即可． 【详解】 其中，， ， 13. 反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在，理由如下： 当时，， ∴点不在这个反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求出反比例函数解析式； （2）当时，，即可判断点不在这个反比例函数的图象上． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数解析式，得：，解得：， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 略 14. 如图，将绕点C顺时针旋转，得到，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质及角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转知， ∵， ∴ ． 15. 为迎接某学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为100元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为81元/个．求该吉祥物两次降价的平均百分率． 【答案】该吉祥物两次降价的平均百分率为． 【解析】 【分析】找准两次降价后的售价与原价的等量关系，正确求解方程并结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该吉祥物两次降价的平均百分率为x． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该吉祥物两次降价的平均百分率为． 16. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：），那么力所做的功（单位：）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如图所示．请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中求出的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：当为定值时，， ∴关于的函数解析式为， 把代入得，，解得 ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 即物体在该力方向上的位移． 17. 如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上第一象限内一点，当以点为顶点构成的的面积为2时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入解析式中，即可求解； （2）根据轴，可求得点的坐标为，可得，设，由点是抛物线上第一象限内一点，可得，再由轴，可得的边上的高为，根据三角形面积公式列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵轴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设点的坐标为， ∵点是抛物线上第一象限内一点， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或 ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，点的坐标为或． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 19. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点关于轴对称的点为，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）的面积为24 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数求出，再将点代入，即可求出反比例函数的解析式； （2）将点代入一次函数求出点的坐标为，再结合两个函数图象即可求出不等式的解集； （3）过点作，根据点与点关于轴对称，求出，进而得出，，据此即可求出的面积． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数，得：， ∴点的坐标为， 将点代入，得，解得：， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：将点代入一次函数，得：， ∴点的坐标为， 如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分的点的横坐标的取值范围， ∴或． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴，， ∴． 20. 综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点F． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 【答案】 （1）解：．理由： 如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）①；②12． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形的性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 21. 如图，在中，，，是边的中线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B匀速运动，过点P分别作于点Q，交于点E，设点P运动的时间为，以点P、Q、D、E为顶点的四边形的面积为． （1）当点E与点D重合时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当y的值是的面积的时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解； （2）分为当时，当时，当时，分别画图解答即可求解； （3）将分别代入解析式求解即可 【小问1详解】 解：在中，是边的中线． ∴，又． ∴当点与点重合时，， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，是等腰直角三角形， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ， ， 当时，如图1， ∴； ； ②当时，如图2， ∴，， ∴， ； ③当时，如图3， 根据题意得， ∴， ， 综上，当时，；当时，；当时，． 【小问3详解】 当y的值是的面积的时， 即， 将代入得：，无解． 将代入得：，解得：或（舍去）； 将代入得：，解得：或（舍去）； 综上，或． 【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，动点函数，二次函数的应用，解题的关键是画出对应图形和分阶段讨论． 22. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标； （4）点在线段上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 （4）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）抛物线与轴交于点，对称轴为直线，据此进行解答即可； （2）根据对称性求出点的横坐标为，点的横坐标为，代入函数解析式即可求出答案； （3）作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则，此时取得最小值，此时的周长最小，求出直线的解析式为，当时求出，即可得到答案； （4）分两种情况画出图形，构造全等三角形，分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴ 解得 ∴ 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标，点的坐标； 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则， 此时取得最小值，此时的周长最小， 设直线的解析式为，代入点的坐标得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为； 【小问4详解】 解：在抛物线上存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或， 设点的坐标为， 设交轴于点，则， 根据题意可得，， 如图，过点作于点，则，此时， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，此时，， 同理，， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为， 综上可知点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 3. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 8. 把二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后二次函数的解析式为______． 9. 若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 11. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 14. 如图，将绕点C顺时针旋转，得到，若，求的度数． 15. 为迎接某学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为100元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为81元/个．求该吉祥物两次降价的平均百分率． 16. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：），那么力所做的功（单位：）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如图所示．请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移． 17. 如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上第一象限内一点，当以点为顶点构成的的面积为2时，求点的坐标． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 19. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点关于轴对称的点为，求的面积． 20. 综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点F． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 21. 如图，在中，，，是边的中线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B匀速运动，过点P分别作于点Q，交于点E，设点P运动的时间为，以点P、Q、D、E为顶点的四边形的面积为． （1）当点E与点D重合时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当y的值是的面积的时，直接写出x的值． 22. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标； （4）点在线段上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $