精品解析：吉林松原市宁江区第一中学2026-2027九年级上学期期中学情自测数学试卷

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 4. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6 6. 如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______． 8. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 9. 如图，与关于点O成中心对称，且与在一条直线上．若，，则______． 10. 真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 11. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 14. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限． （1）求m的取值范围； （2）若点、、在该反比例函数的图象上，请直接写出函数值、、的大小关系（用“”连接）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式： （2）直接写出不等式的解集． 17. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）将该抛物线向上平移______个单位长度后，所得抛物线与坐标轴一共有两个公共点． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点，与边交于点，轴，． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 19. 某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长． （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）求这个苗圃园可围建的最大面积． 20. 如图1是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2所示的抛物线，已知，抛物线最低点到的距离为，以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与轴垂直． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若、两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点、均在抛物线上），且点、到的距离均为，求、两点之间的水平距离． 21. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上的一点，连接，过点作轴交于点，设点的横坐标为． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）求的长（用含有的代数式表示）； （3）连接，当的面积为时，求点E的坐标； （4）作轴，且点的横坐标为，以为邻边构造矩形，当矩形的边与抛物线有三个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形需存在一条直线，使图形沿该直线折叠后的两侧部分完全重合；中心对称图形需绕某点旋转后与原图完全重合． 【详解】解：A选项，沿竖直、水平及对角方向均可对折重合，是轴对称图形；绕中心旋转后与原图重合，也是中心对称图形，符合题意． B选项，绕中心旋转后与原图重合，是中心对称图形；但沿任意直线对折不能重合，不是轴对称图形，不符合题意． C选项，沿竖直方向可对折重合，是轴对称图形；但旋转后上下方向改变，不与原图重合，不是中心对称图形，不符合题意． D选项，有5条对称轴，是轴对称图形；但花瓣数为奇数，旋转半周不重合，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式（，为常数），据此依次判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，故此选项不符合题意； B．符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； C．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意； D．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 4. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 5. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作于点E，设，根据，建立方程求出k的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点E，设， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即 ∴， ∴ ∴． 6. 如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐一判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故结论①不正确； ∵顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， 故结论②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴的最大值是2， ∵一元二次方程没有实数根， ∴，故结论④正确； 综上，正确结论为②③④，共3个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特征，推导对应点的横、纵坐标取值． 【详解】解：平面直角坐标系中，关于原点对称的两点的横、纵坐标均分别互为相反数， ∵ 已知点的坐标为，其关于原点对称的点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数， ∴所求点的坐标为． 8. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程无实数根的条件为判别式小于0，只需通过判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴判别式， 展开整理得， 解得， 因此的取值范围是． 9. 如图，与关于点O成中心对称，且与在一条直线上．若，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中心对称的性质得到，，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称，且与在一条直线上 ∴， ∴ ∴ ∴． 10. 真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，函数图象经过点， 将代入得， 解得， 函数关系式为， 当时，． 11. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据对称性可得，再设点B的坐标，并代入二次函数关系式求出坐标，即可得出答案． 【详解】∵正方形和抛物线都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴， ∴． 设点B的坐标为， ∵点B在二次函数的图象上， ∴， 解得，(舍)， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数图像的性质，求阴影部分的面积，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，． 13. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得，，即可求解； （2）根据旋转的性质得，，根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 14. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限． （1）求m的取值范围； （2）若点、、在该反比例函数的图象上，请直接写出函数值、、的大小关系（用“”连接）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴在每一个象限内，随着值的增大而减小， ∵点、、在该反比例函数的图象上， ∴，即. 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）解： 如图所示； （2） 如图所示，点坐标为． 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【小问1详解】 坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； 【小问2详解】 略． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式： （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 17. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）将该抛物线向上平移______个单位长度后，所得抛物线与坐标轴一共有两个公共点． 【答案】（1）解析式是 （2）3或4 【解析】 【分析】（1）已知顶点坐标，最简便的方法是设二次函数的顶点式，然后代入已知点求出系数a． （2）根据图象平移规律“上加下减”设出平移后的解析式，平移后的抛物线与坐标轴（x轴和y轴）的公共点个数取决于抛物线的位置，需要分类讨论：一种是抛物线与x轴相切（1个交点）且与y轴相交（1个交点）；另一种是抛物线经过原点（此时与x轴、y轴交于同一点，算作1个公共点，且与x轴有另一个交点）． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 将点代入解析式，得： 解得 所以，这个二次函数的解析式为． 【小问2详解】 设将抛物线向上平移m个单位长度，则平移后的解析式为． 若所得抛物线与坐标轴一共有两个公共点，分两种情况讨论： ①当抛物线与x轴相切时，顶点在x轴上，即，解得； ②当抛物线经过原点时，将代入解析式，得，解得； 综上，将该抛物线向上平移3或4个单位长度后，所得抛物线与坐标轴一共有两个公共点． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点，与边交于点，轴，． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，建立等式，求解即可． （2）过点作轴于点．确定，继而得到．设向下平移的距离为，则平移后点的坐标为，代入反比例函数的表达式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得． ， ． 反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：如解图，过点作轴于点． ， ，． 在中，． ， 轴， ． 设平移的距离为，则平移后点的坐标为． 将代入，得， 解得． 平移的距离为； 19. 某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长． （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）求这个苗圃园可围建的最大面积． 【答案】（1）x的值为12 （2）最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用与二次函数的最值，解题的关键是列面积表达式并结合墙长确定变量范围． （1）据面积列方程，结合墙长验根； （2）列二次函数表达式，根据函数自变量取值范围求最值． 【小问1详解】 解：由题意，平行于墙的边长为， 则面积方程为：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 墙长为， ，即， 舍去，取． 答：的值为12． 【小问2详解】 解：设苗圃园面积为，则． 由墙长限制得：， 解得：． ，二次函数开口向下，对称轴为， 在内，随的增大而减小， 当时，． 答：苗圃园可围建的最大面积为． 20. 如图1是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2所示的抛物线，已知，抛物线最低点到的距离为，以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与轴垂直． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若、两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点、均在抛物线上），且点、到的距离均为，求、两点之间的水平距离． 【答案】（1） （2）、两点之间的水平距离 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求的值，再作差即可求解. 【小问1详解】 解：∵，抛物线最低点到的距离为， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 即：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∴， 答：、两点之间的水平距离． 21. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 【答案】（1）4，3 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （2）过点作，垂足为H．由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当点B在线段上时，当点B在线段外时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上的一点，连接，过点作轴交于点，设点的横坐标为． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）求的长（用含有的代数式表示）； （3）连接，当的面积为时，求点E的坐标； （4）作轴，且点的横坐标为，以为邻边构造矩形，当矩形的边与抛物线有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）或 （4）当时，矩形的边与抛物线有三个交点 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将直线的解析式求出来，再根据平行轴于的直线上的点横坐标相等，将点表示出来，再根据两点间的距离求解； （3）将的面积表示出来，再根据条件证明，从而得到的值，再利用求解； （4）根据题意作图，利用数形结合判断出点在什么位置矩形的边与抛物线有三个交点，从而解出答案． 【小问1详解】 解：将点，分别代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得， ∴点的坐标为； 设直线的解析式为， 将点分别代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为； ∵点的横坐标为，且点在第一象限的抛物线上， ∴点的坐标为，， ∵轴， ∴点的横坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：令直线与轴交于点，交轴于点， ， ， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或． 【小问4详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当点关于对称轴对称，如下图所示， ， 矩形与抛物线只有两个交点； 当点在抛物线对称轴上或右侧，即时，如下图所示， ， 矩形与抛物线只有两个交点； ∴要使矩形的边与抛物线有三个交点， 需点在抛物线对称轴的左侧，且点在点关于抛物线对称轴对称的点右侧，如下图所示， ， 点关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $