精品解析：吉林省松原市宁江区三校2025—2026学年上学期期中测试九年级数学试题

九年级期中测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 2. 已知抛物线与轴的交点为，，则该抛物线的对称轴（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性得到点A和点B是抛物线上的对称点，所以点A和点B的对称轴即为抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0）， ∴该二次函数的对称轴为直线x=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x－x1）（x－x2）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．解决本题的关键是掌握抛物线的对称性． 3. 如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，，为圆心，，则长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的直径与半径的数量关系作答即可． 本题主要考查了圆的认识，根据图示得到是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：． 故选：C． 4. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故选：D． 5. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 6. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标都互为相反数，可以直接写出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 因此对称点的坐标是． 故答案为：． 8. 如图所示的花朵图案，至少要旋转______度后，才能与原来的图形重合． 【答案】45 【解析】 【分析】该图形被平分成8部分，因而每部分被分成的圆心角是45°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】花朵图案，至少要旋转360÷8=45度后，才能与原来的图形重合． 故答案为：45 考点：旋转角． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 9. 如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10. 山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 11. 鄂尔多斯动物园，是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区．景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程． 【详解】解： ， ， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 13. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，把点和代入函数解析式解答即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即，． 14. 如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】略 15. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． （1）请你在图中画出； （2）写出点的坐标． 【答案】（1）解如：图即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，理解题意正确作图是解题的关键． （1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到； （2）结合图形写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系可得，点的坐标为． 16. 手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 【答案】半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．根据题意，设半径，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设半径的长为， ∴， ∵弓形高， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 答：半径的长为． 17. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若方程有两个相等实数根，求的值． （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；（2）17． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个相等实数根， 方程根的判别式， 解得； （2）由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得或， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的周长为， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 由（1）已得：， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上，这个三角形的周长为17． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 18. 如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵四边形、四边形 均为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，，，即得到，，进而即可求证； （）由圆内接四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质可证，即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是的内接四边形，， ∴， ∵四边形、四边形 、均为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴． 19. 如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为； （2）发球机的弹射出口高度应调整为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 【小问2详解】 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 20. 如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）为何值时，在的垂直平分线上？ （2）为何值时，的长度为？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 21. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点逆时针旋转得到． 猜想验证 （1）如图，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状并说明理由． 问题解决 （2）如图，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与射线交于点，如果为等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）四边形为矩形， 证明：由旋转的性质可得， 又，， ， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定、平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，又因为，，得，即，又因为，故，证明四边形是平行四边形，因为，故证明四边形是矩形． （2如图，过点作 于点,得，又因为，带入数值可得，故，因为，得四边形是平行四边形, 即，故，，所以，可得． （3）当为等腰三角形时，有三种情况：第一种情况：当时，，又因为，故，，，所以，，又因为，故是斜边的中点，求得，即；第二种情况：当时，因为，，，所以，所以，即；第三种情况：当时，，过点作 于点，即，，，又，，所以，因为，所以；综上所述，线段的长为或或． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作 于点, ∵在中, ，， ， ， ， ， 由旋转可得. ， ∵四边形是平行四边形, ， ， ， ， ． （3）当为等腰三角形时，有三种情况 第一种情况：当时， 又， ， 又， 故是斜边的中点， ， 即． 第二种情况：当时， ，，， ， ． 第三种情况：当时，，过点作 于点，如图： 由上可得，，， 又，， ， ． 综上所述，线段的长为或或． 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，求的值． 【答案】（1）， （2）的面积最大值为 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【小问1详解】 解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线与轴的交点为，，则该抛物线的对称轴（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 3. 如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，，为圆心，，则长度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 6. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 8. 如图所示的花朵图案，至少要旋转______度后，才能与原来的图形重合． 9. 如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 10. 山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为______． 11. 鄂尔多斯动物园，是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区．景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，，求的值． 14. 如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． （1）请你在图中画出； （2）写出点的坐标． 16. 手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 17. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若方程有两个相等实数根，求的值． （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 18. 如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． 19. 如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 20. 如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）为何值时，在的垂直平分线上？ （2）为何值时，的长度为？ 21. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点逆时针旋转得到． 猜想验证 （1）如图，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状并说明理由． 问题解决 （2）如图，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与射线交于点，如果为等腰三角形，请直接写出线段的长． 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $