专题11 解直角三角形及其应用9大题型45题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪科版

专题11解直角三角形及其应用 基础·固本强基 题型1已知两边解直角三角形（重点） 题型2已知一边一锐角解直角三角形（重点） 提升·进阶突破 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长和面积（重点） 题型4仰角、俯角实际测量问题（高频重点） 题型5方向角（方位角）解直角三角形应用（重点） 题型6坡度坡比解直角三角形应用（重点） 题型7其他解直角三角形应用（重点） 拔高·压轴破难 题型8解直角三角形与四边形综合（重难点） 题型9动点背景下解直角三角形分类讨论（重难点） 基础·固本强基 题型1已知两边解直角三角形（共5小题） 【模型】已知两边解Rt△模型：在，已知两边，先用勾股定理求第三边；再用三角函数求锐角 【步骤】①找准直角，分清已知两条边是斜边、直角边；②勾股定理求出第三条边长；③选择合适三角函数，求出锐角度数；④整理结果 【易错】分不清斜边与直角边，勾股定理公式用反；三角函数对边邻边混淆；没有注明直角前提 1．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）在中，，求b的长及的度数． 【答案】， 【分析】根据三角函数求出的正弦值，得出的度数，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 则， ， ． ． 2．（26-27九年级下·全国·期中）一题多解法  如下图，在中，，，．求的长． 【答案】4 【分析】过点作，交的延长线于点．再根据勾股定理，三角函数给出相应的解答即可． 【详解】解：如图①，过点作，交的延长线于点． ， ， ， ，． 在中，根据勾股定理，得 ， ． 一题多解法如图②，过点作，交的延长线于点． ， ，． 设，则， ， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 解得 （负值已舍去），． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，是基础知识要熟练掌握． （1）先求出，再根据等角对等边，得，运用勾股定理进行求出，即可作答． （2）运用勾股定理进行求出，再根据的余弦值求出的度数，运用直角三角形的两个锐角互余求出，即可作答． 【详解】（1）解： ∴， 即 ∴ ， ∴（负值已舍去）， （2）解：∵， ， （负值已舍去）， ， ， ∴ ∴， 5．（25-26九年级上·全国·期中）在中，的对边分别为a，b，c，已知，解这个直角三角形． 【答案】 ∵， ∴. ∵， ∴ ∴． 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 根据勾股定理求出c，再根据正弦求出，则此题可解． 【详解】略 题型2已知一边一锐角解直角三角形（共5小题） 【模型】已知一边一锐角解Rt△模型：，已知一条边、一个锐角，两锐角互余求另一角，三角函数求剩余边长 【步骤】①确定直角、已知边、已知锐角；②利用算出另一个锐角；③选用三角函数列式求剩下两条边；④规范书写结果 【易错】三角函数比值搞反；角度互余计算出错；边长计算时近似取值过早导致误差 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）解直角三角形：已知：，，，求a 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形，根据在直角三角形中，，代入计算求出a即可． 【详解】解：在中，，如下图， ， ，， ， ． 7．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，分别为的对边，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形．根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可求解． 【详解】解：∵， ． 即． 8．（2025·广东江门·一模）在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据题意得到，求出，得到，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，于点，已知，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查解直角三角形，先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，已知，求的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值．先作于点D，根据直角三角形的性质和锐角三角形函数，即可得到，，进而得出答案． 【详解】解：作于点D，如图， ∵， ∴，，， ∴． 提升·进阶突破 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长和面积（共3小题） 【模型】化斜为直构造模型：通过作垂线，把斜三角形、多边形分割成多个直角三角形，利用解直角三角形计算边长、面积再求和差 【步骤】①观察图形，过顶点作高，分割出直角三角形；②标注已知角度、边长；③分别解每个直角三角形；④拼接、加减求出目标边长或者总面积 【易错】辅助线作法不合理；分割后角度看错；面积加减的时候重复或者漏算部分图形 11．（2027九年级下·全国·期中）一题多解法如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【答案】这块土地的面积为 【分析】解法一：延长，交于点，先求出，，再根据三角函数求出，，最后根据即可求解；解法二：过点作，交的延长线于点，作于点，先求出，，再根据三角函数求出，，结合题意可得四边形为矩形，则，进而得到，根据三角函数求出，最后根据即可求解． 【详解】解：解法一： 如图①，延长，交于点， ，，， ，， 在中，， ． 在中，， ， ； 故这块土地的面积为． 解法二： 如图②，过点作，交的延长线于点，作于点， ， ， ， ，． ， 四边形为矩形， ， ． ，，， ， ， 故这块土地的面积为． 12．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 13．（26-27九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过作于，构造两个直角三角形：在Rt中用角性质求出；在Rt中由设、，用勾股定理建立求解． 【详解】解：过作于． 在中，， ∴（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半）， 在中，， ∴设，（）， 由勾股定理，， ∴，， ∴． 题型4仰角、俯角实际测量问题（共5小题） 【模型】仰角俯角测量模型：水平线、视线、铅垂线围成直角三角形，仰角/俯角是视线和水平线夹角 【步骤】①观察图形，过顶点作高，分割出直角三角形；②标注已知角度、边长；③分别解每个直角三角形；④拼接、加减求出目标边长或者总面积 【易错】辅助线作法不合理；分割后角度看错；面积加减的时候重复或者漏算部分图形 14．（26-27九年级下·全国·课后作业）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，） 【答案】这栋楼的高度约为 【分析】先解直角三角形求出，的长，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度约为． 16．（26-27九年级上·湖南永州·期中）综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离的长为； (2)建筑物的高度约为． 【分析】利用中的正弦求解即可； 过点作于点，先判断四边形是矩形，求出，证明，得到，，最后在中，利用求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 答：点到地面的距离的长为； （2）解：过点作于点，如图，则， 根据题意，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：建筑物的高度约为． 17．（26-27九年级上·全国·期中）如图，善思小组在楼顶的D处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数为，测得商业大厦底部M的俯角的度数为，已知，，，试求商业大厦的高．（精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】商业大厦的高为 【分析】过点D作构造矩形，得到，再分别在两个直角三角形中用正切求出、，相加即可得到． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 答：商业大厦的高为． 18．（2026九年级上·全国·期中）白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解； （2）过点D作，垂足为点F，利用三角函数解，，即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 在中，， ， 的长约为． （2）解：如图，过点D作，垂足为点F， 由题意，得． 在中，， ． 设， ． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：白鹭塔的高度约为． 19．（25-26九年级上·山东泰安·期中）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为28米． 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 题型5方向角（方位角）解直角三角形应用（共5小题） 【模型】方位角化斜为直模型：方位角以正北正南为基准，过观测点作正北、正南线，再作垂线构造直角三角形 【步骤】①画出十字方向标，标出方位角；②作水平、竖直辅助线，转化为内角；③确定Rt△，解三角形求距离；③作答 【易错】方位角基准搞错（当成正东正西）；图中内错角、余角推导错误；两个观测点方位混淆 20．（26-27九年级上·重庆涪陵·期中）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 21．（26-27九年级上·重庆巴南·期中）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，分别在含的和中，求得和，得到的长，最终在中利用勾股定理求得的长度即为配送点到配送点的距离； （2）设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，根据快递员甲和快递员乙的速度之比为，得到路程之比为，即，设快递员甲离中转站的距离，则，，在中，利用勾股定理列方程求解，进而求得快递员甲离中转站的距离． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， AI 由题意得：，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 答：配送点到配送点的距离为． （2）解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则， ， 在中，， ，化简得， 解得：，． 当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． 22．（26-27八年级上·重庆·期中）如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 23．（26-27九年级上·重庆·期中）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 24．（26-27九年级上·重庆·期中）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 题型6坡度坡比解直角三角形应用（共5小题） 【模型】坡度坡比模型：坡度（为坡角，铅直高度，水平宽度，不是斜边） 【步骤】①读懂，转化为；②画出坡面直角三角形；③结合已知边长，解直角三角形；④求出坡高、水平宽、坡面长 【易错】误认为坡度是坡面长比高度；把坡角的对边邻边搞反；坡度比值顺序颠倒 25．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答：摩天轮的高度为95米． 26．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 27．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，根据三角函数得出，过点作，于点，根据三角函数得出，，，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 依题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：居民楼的高为． 28．（26-27九年级上·山东淄博·期中）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1) (2)千米 (3)①米；②约米 (4)米 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 29．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 题型7其他解直角三角形应用（共5小题） 【模型】实际场景转化模型：将其他实际情景（折叠、支架、零件等）抽象为直角三角形，利用边角关系求解 【步骤】①提取题干几何信息，画几何简图；②找到或者构造直角三角形；③利用三角函数、勾股定理计算；④回归实际问题作答 【易错】实物转几何图时角度、长度对应出错；忽略实际情境中的取舍要求 30．（2027九年级下·全国·期中）图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，利用含角的直角三角形，即可求解； （2）①由平行四边形的判定与性质，即可判断； ②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， ，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ． （2）解：①如图，由平移的性质可知，，， 四边形为平行四边形， ， 同理可得，四边形为平行四边形， ， ． ②如图，连接．在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 拔高·压轴破难 题型8解直角三角形与四边形综合（共3小题） 【模型】四边形分割模型：对平行四边形、矩形、菱形、梯形作高，拆分为直角三角形+矩形，结合四边形性质+解Rt△计算 【步骤】①利用四边形性质得到等角、等线段；②作高分割出直角三角形；③解直角三角形求出线段；④结合四边形公式求边长、周长、面积 【易错】四边形性质记错；分割后线段之间的等量关系梳理不清；多个直角三角形之间公共边找错 31．（26-27九年级上·重庆涪陵·期中）已知菱形中， (1)如图1，当时，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，过点D作，连接，且，连接，请探索线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，当时，连接，点是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明如下： 证明：如图，延长到点，使，连结， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． (3)的最小值是 【分析】（1）利用菱形的性质得到，，推出，进而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，，最后由直角三角形斜边上中线的性质求出； （2）延长到点，使，连结，根据菱形的性质可证明，得出，再证明，即可得到，得到，即可证得； （3）过点在直线的上方作，过点作于，交于，过点作于，由菱形的对称性得到，则，当点运动到时，的值最小，此时的值等于，通过解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 点F是线段的中点， ． （2）略 （3）解：如图，过点在直线的上方作，过点作于，交于，过点作于， 四边形是菱形， 两点关于对称， ， ， ， ， ， 当点运动到时，的值最小，此时的值等于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 即的最小值是， 的最小值是． 32．（2026·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，，．点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、，延长交射线于点． (1)下列线段中，始终与线段相等的是________； ①    ②    ③ (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的长； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)③ (2) (3)或 (4)的长为或或 【分析】（1）由矩形的性质和轴对称的性质可得，根据等角对等边得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和（1）的结论可得，利用勾股定理求出，从而得到，最后根据正切函数的定义进行计算即可； （3）分点在点的左侧和右侧两种情况，根据矩形的性质，结合（1）中结论，利用勾股定理求解即可； （4）设，当点在点的左侧时，利用可证明，可得，作于点，可证明四边形是矩形，可得，，在中，利用勾股定理构造方程，即可求解出的值，当点在点的右侧时，同理可得，进而得到，利用勾股定理求出，即可求出的值；综上，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∵在点的运动过程中，线段、线段与线段不一定相等， ∴始终与线段相等的是线段． （2）解：如图， 由（1）可知，， 点与点重合， ． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，， ． 在中，． （3）解：①如图，当点在点的左侧时， 四边形是矩形， ，． ， ， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，，， ． 在中，， 由（1）可知，， ； ②如图，当点在点的右侧时， 同理可得， 在中，， ． 综上所述，或． （4）解：设， 如图，当点在点的左侧时，作于点． 在和中，， ， ， ． 四边形是矩形， ． ， ， 四边形是矩形， ，， ． 在中，， ， 整理，得， 解得或． 当时，点和点重合且是的中点，点是的中点，满足，符合题意； 如图，当点在点的右侧时， 和中，， ， ． ，，， ． 在中，， ． 综上所述，的长为或或． 33．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）已知正方形，点，，分别在边，，上，连接，． (1)若于点． ①如图1，过作于，求证：； ②如图2，将向下平移，当点与重合时，若为的中点，连接，求的值； (2)如图3，若，，且，请你求出的度数． 【答案】(1) ①∵正方形，于 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质和平行线的性质得出，则，根据垂直定义和三角形内角和定理得出，然后根据余角的性质证明即可； ②过点H作于点M，不妨设，勾股定理，直角三角形的面积公式，分别计算，，计算比值即可． （2）以点D为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据坐标系，解析式的确定，交点坐标的确定，勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】（1）①略． ②过点H作于点M， ∵E为的中点，不妨设 ∵正方形， ∴，， ∴， ∵于点H， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，以点D为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵，且， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为； 由此得， 解得， 故点， ∴， 设直线与x轴的交点为P， ∴点， ∴，， ∴， 过点E作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标系的应用，待定系数法，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式是解题的关键． 34．（2026·河北廊坊·二模）【综合与实践】某数学小组研究如何将一个三角形裁剪拼接成一个特殊四边形． 【理论支持】如图1，是的边的中点，为边上任一点（不与点重合），延长至点，使，连接． (1)求证：； 【动手操作】 (2)解答（1）后该小组发现，在图1中只需将剪下来拼到处，就可得到一个与等面积的梯形，根据这样的理论，解决下列问题． ①如图2，小组将沿剪一刀后，将两块图形拼成平行四边形，则与之间的数量关系为__________； ②如图3，小组发现将剪两刀后，可将得到的三块图形拼成矩形，小组内的珍珍已画好其中的一条剪切线（，分别为，的中点），请你将另一条剪切线和拼成的矩形画在图3上（画出一种方法即可）； ③如图4，在中，，，分别是边，的中点，小组同学将剪拼成直角梯形，，，求的值． 【答案】(1)证明：∵点D是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)①；②；③ 【分析】（1）由点D是的中点得到，根据“”即可证明； （2）①根据题意可得，，即可推出； ②过点A沿着与垂直的方向剪一刀，将分为两个直角三角形，即和，分别放在和处即可； ③过点A作于点P，证明四边形为矩形，得到．在中，由得到，结合N是的中点，可得出．在中，，即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：①沿剪一刀后，将两块图形拼成平行四边形， ∴，， ∴； ②∵点D，E分别是，的中点， ∴， 由剪切与拼接可得，， ∴，，，，， ∴， ， ∴点M，E，D，N在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ③过点A作于点P， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵在中，， ∴． ∵N是的中点， ∴． ∵在中，， ∴． 35．（24-25九年级上·重庆垫江·期中）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的中线，连接，点H是的中点，连接，试猜想、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点Q是的中点，点P是上一点，将沿翻折，得到，点D、P在运动过程中，当最短时，请直接写出的面积． 【答案】(1) 证明：如图， ∵， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，，即， ∴； (2) 解：猜想：，理由如下： 如图，在线段上截取，连接，取的中点，连接， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理得出，由旋转的性质可得，即可得证； （2）在线段上截取，连接，取的中点，连接，证明得出，，再证明是等边三角形得出，结合，即可得解； （3）由（2）可得：，由全等三角形的性质可得，，，设，则，以为直径作，连接并延长交于，连接交于，则，，，求出，，，进而得出，，由勾股定理得出，推出当时，有最小值，即的最小值为，此时取得最小值，作于，解直角三角形得出、的长，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可得：， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， 如图，以为直径作，连接并延长交于，连接交于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴当时，有最小值，即的最小值为，此时取得最小值， 作于， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型9动点背景下解直角三角形分类讨论（共5小题） 【模型】动点直角存在性模型：动点运动过程中，分情况讨论哪个角为直角，构造直角三角形，结合三角函数、勾股定理列方程 【步骤】①标记动点、运动速度，用含t代数式表示线段；②分类：分别讨论三个顶点为直角顶点；③每种情况构造Rt△，列方程求解；④检验t取值是否在线段范围内 【易错】直角顶点分类不全漏情况；动点线段表达式写错；解出t之后不检验，保留超出范围的增根 36．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒个单位的速度向终点C运动，连结，点Q是的中点，以为边作正方形，使点M和点C在直线同侧． (1)________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求t的值； (3)当点N落在上时，求t的值； (4)当点N到直线的距离与点Q到直线的距离相等时，t的值为________． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为2或5． 【分析】（1）根据即可解答； （2）当时，易得，再利用勾股定理求解即可； （3）过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，，易证可得，；再证明可得，，进而得到即可确定时间t； （4）分点N在上方和下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴， ∴； （2）解：如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，即， ∵， ∴，即， 解得：或， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，， ∴， ∴． （3）解：如图：过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． （4）解：如图，当点N在上方时，过作于J，过作于K，则；连接，设交于G， ∵点到直线的距离与点到直线的距离相等， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，点N和点G重合， 由（2）当时，， ∴当时，点到直线的距离与点到直线的距离相等； 如图：当点N在边下方时，分别过点Q、P、N作的垂线，垂足分别为F、L、G，与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． 综上，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为2或5． 37．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连接，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线的距离的倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解； （2）先求出，根据，结合（1）中结论，即可得出答案； （3）根据正方形的性质得出点落在上，设，则，，在中，根据正弦函数及余弦函数的定义得出，，在中，利用三角函数得出，，进而得出，解方程求出值，即可得出答案； （4）当、在异侧时，过点作于，过点作于，设交于，可证明，可得，设，则，，利用勾股定理得出，即可求出，结合（3）中结论可得，进而求出，得出，根据“三线合一”的性质求出，利用三角函数即可求出的长；当、在同侧时，过点作于，过点作于，设交于，可证明，得出，进而求出，可得，设，则，，可得，进而得出 ，解方程求出的值，即可求出的长，综上，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图①，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∵，， ∴． （3）解：如图②， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵时， ∴点落在上， 设， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ， 解得，即． 正方形的边长为． （4）解：如图③，当、在异侧时，过点作于，过点作于，设交于， ∵点到直线的距离是点到直线的距离的倍， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由（3）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 如答图④，当、在同侧时，过点作于，过点作于，设交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴，即． 综上所述，的长为或． 38．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点Q，以为边作菱形，点N在线段上．设点P的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点Q在边上时，的长为________；（用含x的代数式表示） (2)当点M落在边上时，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明为等腰三角形，即可解答； （2）根据菱形的性质推出是等边三角形，再列方程即可解答； （3）分多种情况，画出图形，利用等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当点Q在边上时， ，， ， ； （2）解：当点落在上时，如图， 由（1）知． 四边形是菱形， ，， ． ， 是等边三角形， ， ， ； （3）解：当点从点运动到点时，用时，即的取值范围为． 当或3时，． 由（2）知，当点落在上时，． 当点在线段上，且点在内部（包含边界）时，，此时，如图，过点作于点． ， ， ， ； 当点在线段上，且点在外部时， 如图，过点作于点， ， ， ， ， 当点运动到点时，，即， 解得， 当点在线段上，且点在外部时，， 如图，设交于点，交于点． ， 和均是等边三角形， ， ， ， ， 过点作于点，则， ， ； 当点在线段（不含点，）上时，，此时点与点重合，如图，易知此时是等边三角形，且， 同上原理可得等边三角形的面积为． 综上所述， 39．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动，过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． (1)整个运动过程中，的最大值为______； (2)当点E与点C重合时，求的长； (3)若点D在边上，当是直角三角形时，求的值； (4)点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【答案】(1)3； (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）过点A作于点M，根据三角形面积公式求出，即为的最大值根据，求出； （2）当点C与点E重合时，由题意得，，根据求即可． （3）作于，由，得，再由得，，从而．折叠后，，利用和相似三角形分类讨论直角情形． （4）利用、关于对称得，，按、位置分三种情况求． 【详解】（1）解：作于点， ，， ， ，， ， ， ． 当与重合时，最大，最大值是3； （2）解：折叠后与关于直线对称， ，， 与重合， ， ， ， ． （3）解：设，则，， 作于，由已知，，， 当在上（），在线段上或延长线上， ， ①若： ， 又， ， ， ， 即， 解得，， ∴， ②若： ，， 又， ， ， ， 即， 解得，， ； 综上，或． （4）解：、关于直线对称， ，， ， ， 到的距离为，，， ，到距离， ， 当在上，在线段上时， 即， ， ， ， ； 当在上，在延长线上， 即， ， ，， ； 当在线段上时，分得的三角形为，翻折后的对称点为， 故，， 此时在上，，在左侧， ，， ， ； 综上，或或． 40．（26-27九年级上·江苏常州·期中）【活动背景】 如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； ③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处； ④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．） 【问题解决】 测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，． (1)_________；点到点的距离为_________． (2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点作平行于的水平线以及垂直于的垂线交于，利用平行线性质、光的反射定律算出，代入求出；在中，由、求出，再利用三角形外角性质和等角对等边得到． （2）先根据反射角算出，算出，得到，结合推出，得到平分，由等腰三角形三线合一得，在中代入，求出，用得到土坑深度． 【详解】（1）解：如图，过点作水平线，作，垂足为，交于点． ， ． 由题意无人机显示距离水平地面高度为15m， ． ， ． ，根据光的反射定律，反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角， ． 同理，， ． ， ． 在中，，，， ， ． 是的外角， ， ， ． （2）解：由光的反射定律可知， ， ． ， ， ，即是的平分线． ， ． 在中，，，， ． ， ． 答：土坑的深度约为． 41．（2026·吉林四平·模拟预测）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．过点作于点，过作于点则构造了、和矩形，进而利用三角函数计算线段的长即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过作于点 四边形为矩形， ， 在中，， ， 答：新建公路的长约为． 42．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】画幅的面积约为 【分析】连接，过点A作于F，则，先证明四边形是矩形，得到， ，再求得，，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得，进而可求解． 【详解】解：连接，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴画幅的面积约为． 43．（2026·江西抚州·一模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（参考数据：，，，）． (1)求图②点到支撑脚的垂直距离．（结果精确到） (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作交延长线于，先算出长度，再用得到总垂直距离；利用求出，在中用正弦函数求； （2）过作延长线于，在中利用余弦求出，再结合原图计算旋转角度． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ， ， 在中，， ， ， 代入数据： ， 由题意，座面高， 点到的垂直距离． （2）解：过点作直线，垂足为， 已知点到点的水平距离为， ， 在中，， ， 由参考数据，得， 图②中，图③中， 旋转的度数． 44．（2026·山东聊城·二模）2026年春晚，武术节目《武BOT》精彩亮相，人形机器人与武术演员同台竞技，精准完成鲤鱼打挺、太极推手等高难度武术动作．如图为该节目某一精彩瞬间的几何示意图：机器人的一条腿垂直立于地面上，初始状态下，其另一条腿的小腿与大腿相互垂直．当小腿向上踢起至位置时，与恰在同一直线上．已知，，，． (1)求点到地面的距离； (2)求机器人的小腿从旋转至的位置时，点上升的竖直高度． [（1）（2）两问结果均保留至，参考数据：，] 【答案】(1)点到地面距离约 (2)点上升竖直高度约 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，构造出含特殊角的直角三角形，再利用平角定义和直角三角形内角和求出，在中用三角函数算出的长度，再用加上得到，最后由，得出的长度就是点到地面的距离； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用、、都与垂直，所以三者互相平行，先算出、，结合、得到、，在和中用三角函数分别算出、的长度，最后由点上升的竖直高度即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴即为点到地面的距离． 答：点到地面距离约． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 点上升竖直高度． 答：点上升竖直高度约． 1/40 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11解直角三角形及其应用 题型图谱·导航总览 题型1已知两边解直角三角形（重点） 基础固本强基 题型2已知一边一锐角解直角三角形（重点） 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长和面积（重点） 题型4仰角、俯角实际测量问题（高频重点） 提升进阶突破 题型5方向角（方位角）解直角三角形应用（重点） 题型6坡度坡比解直角三角形应用（重点） 题型7其他解直角三角形应用（重点） 题型8解直角三角形与四边形综合（重难点） 拔高压轴破难 题型9动点背景下解直角三角形分类讨论（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1已知两边解直角三角形（共5小题） 【模型】己知两边解Rt△模型：在Rt△ABC,∠C=90°，己知两边，先用勾股定理求第三边；再用三角 函数求锐角 【步骤】①找准直角，分清已知两条边是斜边、直角边；②勾股定理求出第三条边长；③选择合适三角函 数，求出锐角度数；④整理结果 【易错】分不清斜边与真角边，勾股定理公式用区：.三角函数对边邻边混淆：没有注明真角前提 1.(26-27九年级上湖南岳阳期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=3V6,a=3V3,求b的长及∠B的 度数. 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27九年级下.全国期中)一题多解法如下图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6, BC=219.求AB的长. B 题多解法如图②，过点B作BE⊥AC,交CA的延长线于点E 、、A .∵∠BAC=120° B C 图② ∴.∠BAE=180°-120°=60°，∴.∠ABE=30 设AB=2X,则AE=ABsin∠ABE=2xsin30°=x, BE=ABcos∠ABE=2xcos30°=/3x, ∴.CE=AC+AE=6+x. 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得 BC2=BE2+CE2. 即(2/19=(3x+(6+x 解得X=2 (负值已舍去)，.AB=2x=4. 3.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=11,CD=6, tanA=2,求： D B (四BD的长： (2②inB的值。 4.(25-26九年级上江苏无锡期中)在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c, 2/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由下列条件解直角三角形. (1)∠A=45°，b=10V3 (2)a=V6,c=2V2 5.(25-26九年级上.全国期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a, b,c,已知a=52,b=5V6,解这个直角三角形. 题型2已知一边一锐角解直角三角形（共5小题） 【模型】已知一边一锐角解Rt△模型：Rt△ABC,∠C=90°，已知一条边、一个锐角，两锐角 互余求另一角，三角函数求剩余边长 【步骤】①确定直角、己知边、己知锐角：②利用∠A+∠B=90°算出另一个锐角：③选用三角函数列 式求剩下两条边：④规范书写结果 【易错】三角函数比值搞反；角度互余计算出错：边长计算时近似取值过早导致误差 6. (25-26九年级上甘肃张掖期中)解直角三角形：己知：∠C=90°，c=83,∠A=60°，求a 7.(25-26九年级上.全国期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，a,b,c分别为 ∠A,∠B,∠C的对边，c=10,解这个直角三角形. 8.(2025广东江门一模)在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、C,且 a=只V3,∠A=30°，解这个直角三角形. 9.(2024-陕西渭南：二模)如图，在△ABC中，CD1AB于点D,已知∠A=30°，BC=5,anB=三 求AC的长， 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上山东菏泽.期中)在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=10,求AB的长. 提升进阶突破 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长和面积（共3小题) 【模型】化斜为直构造模型：通过作垂线，把斜三角形、多边形分割成多个直角三角形，利用解直角三角 形计算边长、面积再求和差 【步骤】①观察图形，过顶点作高，分割出直角三角形：②标注己知角度、边长：③分别解每个直角三角 形：④拼接、加减求出目标边长或者总面积 【易错】辅助线作法不合理；分割后角度看错；面积加减的时候重复或者漏算部分图形 11. (2027九年级下·全国·期中)一题多解法如图，一块四边形土地ACDB,其中∠ABD=120°， AB⊥AC,BD⊥CD,AB=30V3m,CD=503m.求这块土地的面积（结果保留根号）. D 12.(2026山东菏泽.模拟预测)如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡.AB的坡角为42°， 坡长为300米，AD的坡角为60°，坡长为150米，CD的坡比i=1:2V2. B (1)求坡顶A到水平面BC的距离； (2)求斜坡CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，V3≈1.73） 4/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.2527九年级上山东济宁期中)如图，在△ABC中，∠A=30,QsB-手AC=18.求6C的 长 B 题型4仰角、俯角实际测量问题（共5小题） 【模型】仰角俯角测量模型：水平线、视线、铅垂线围成直角三角形，仰角/俯角是视线和水平线夹角 【步骤】①观察图形，过顶点作高，分割出直角三角形：②标注己知角度、边长：③分别解每个直角三角 形；④拼接、加减求出目标边长或者总面积 【易错】辅助线作法不合理；分割后角度看错；面积加减的时候重复或者漏算部分图形 14. (26-27九年级下·全国·课后作业)舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞 技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）·在舞狮表演 中，梅花桩AB,CD,EF垂直于地面，且B,D,F在同一直线上（如图②所示），如果在桩顶C处测得 桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1m,两桩的距离BF为2m. B D 图① 图② (1)舞狮人从A跳跃至C,随后再跳跃至E,所成的角∠ACE= (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长（结果精确到0.01m,参考数据：tan35°=0.7002，tan47°≈1.0724 15.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为34°， 看这栋楼底部的俯角β为65°，热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数 据sin34°≈0.559，cos34°≈0.829，tan34°≈0.675，sin65°0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 000000 ▣口0口▣口 00000可 00000▣ 口日口口日g 16.（26-27九年级上湖南永州期中)综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高 度.如图，建筑物DC前有个斜坡AB,已知∠BAH=C,AB=20m,C,A,H在同一条水平直线上. 某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌项部E的仰角为 22°，广告牌DE=2m. 22 B 45 H A (1)求点B到地面的距离BH的长； (2)求建筑物DC的高度（结果保留整数.（参考数据：sina=0.60,cos a=0.80,tanc=0.75, tan22°≈0.40) 17.(26-27九年级上·全国·期中)如图，善思小组在楼顶的D处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数为 14°，测得商业大厦底部M的俯角的度数为37°，已知DA⊥AM,NM⊥AM,AM=80m,试求商业 大厦的高MN.(精确到1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°0.80，tan37°≈0.75， sin14°≈0.24.cos14°≈0.97，tan14°≈0.25) 18.(2026九年级上·全国期中)白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”一一长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层 密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色.某数学兴趣小组要利用测角 仪测量白鹭塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的景观桥，已知CD=1002-3m,∠DCE=30' 点E、C、A在同一条水平直线上.在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为5°，在景观桥D处测得塔顶部 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B的仰角为27 27° 309 45° (1)求DE的长： (2)求白鹭塔AB的高度.（精确到1m,参考数据： sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，V3≈1.732) 19.(25-26九年级上山东泰安·期中)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某 电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这 架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力 发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方63米的点B处测得P点的俯角为37°，求该 风力发电机塔杆PD的高度，（参考数据：sin53°≈ ,00s53°≈3 an53% 3 B 图1 图2 题型5方向角（方位角)解直角三角形应用（共5小题） 【模型】方位角化斜为直模型：方位角以正北正南为基准，过观测点作正北、正南线，再作垂线构造直角 三角形 【步骤】①画出十字方向标，标出方位角；②作水平、竖直辅助线，转化为内角：③确定Rt△，解三角形 求距离；③作答 【易错】方位角基准搞错（当成正东正西）；图中内错角、余角推导错误，两个观测点方位混淆 20. (2627九年级上·重庆涪陵期中)重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4A级旅游景区.景区内有A、B、C、D,4个景点，如图，景点B位于景点A的正东方向12千米处，AB 是一条横向公路，景点C位于景点B的正北方向，景点D位于景点A的北偏东30°方向10千米处，景点D又 位于景点C的西北方向（北偏西45°）.（参考数据：V2≈1.41,3≈1.73，V6≈2.45） 北 D 西→东 南 45 309 A B (1)请求出BC之间的距离：（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点A沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点D沿着某条直线匀速运 动.己知小李的速度与小王的速度之比为3：2，两人同时出发，在公路AB上某处会合.请问：小李和小王 会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 21.(26-27九年级上重庆巴南期中)某城市快递公司设有中转站A,以及三个配送点B,C,D.如图， A,B,C,D在同一平面内.已知配送点B位于中转站A的北偏西60°方向6km处，配送点C位于中转站 A的正北方向，且位于配送点B北偏东30°方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，中转站A与 配送点D点的距离为16km. →东 南 30 B 60 (1)求配送点C到配送点D的距离； (2)快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递.已知快递员 甲和快递员乙的速度之比是1：2，当两快递员的直线距离恰好为4V5km时，求快递员甲离中转站A的距离. 22.（26-27八年级上·重庆期中)如图是某景区的平面示意图，景点C位于景点A的正南方向7km处，景 点B位于景点A的南偏西60°方向，且与景点A的距离AB=4km. 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 60 →东 (1)求BC的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效 通信半径是6km.智能巡检机器人从景点A出发，沿道路A→C→B→A的方向匀速行驶一周进行巡检， 巡检过程中能与设置在景点B的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度.（结 果保留小数点后一位，参考数据：V2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24，V6≈2.45) 23.(26-27九年级上·重庆期中)为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合 16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》·甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼.如图， 他们从点A出发，目的地在点A的东北方向1800m处点C,点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东 60°方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西15°方向.（参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73， 96≈2.45) 北 西 》东 60 南 45 (1)求AB的长度（结果保留根号）： (2)甲乙两人同时从点A出发跑步前往点C,甲选择路线A一B→C,乙选择路线A→D→C,已知甲的 速度为每分钟150m,乙的速度为每分钟200m,请通过计算说明甲和乙谁先到达点C, 24.(26-27九年级上重庆期中)中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公园设置了 如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向， D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，DC=2V2千米，BC=1千米. 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 D 西 →东 南 45 30 A B (1)求AB的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从D、B打卡点同时出发，小中以4km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打 卡点，小国以2km/h的速度从B打卡点沿B→A方向跑步至A打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千 米后恰好与小国相距2V2千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：2≈1.41,3≈1.73） 题型6坡度坡比解直角三角形应用（共5小题） 【模型】坡度坡比模型：坡度i=h:l=tana(a为坡角，h铅直高度，l水平宽度，不是斜边) 【步骤】①读懂i,转化为tna;②画出坡面直角三角形；③结合已知边长，解直角三角形；④求出坡 高、水平宽、坡面长 【易错】误认为坡度是坡面长比高度：把坡角的对边邻边搞反；坡度比值顺序颠倒 25. (2026四川宜宾模拟预测)如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮 有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮.图②是它的平面示意图，MN是摩天轮的直 径，兰兰从C点沿着坡度i=1:V3的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D,登上摩天轮吊舱后，在摩天轮 顶端M测得地面上点A的俯角为30°，测得地面上点B的俯角为45°，已知A、B两点的距离为74米， DN‖AC,MN⊥DN(A,B,C在同一条直线上).（参考数据：V2≈1.41,3≈1.73） M C B A 图① 图② (1)求D点到地面的距离： (2)求摩天轮的高度MN(结果保留整数)· 26.（26-27九年级上河北石家庄期中)如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中BC‖AD,坝顶宽 10/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=10米，斜坡AB=60米，坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1:3,坝高BE⊥AD于点E. B C i=1:3 A30° D E (1)求坝高BE: (2)求水库坝底宽AD的长. 27.(26-27九年级上吉林长春.期中)如图，某居民楼AB后有一座小山CD,其坡度：i=1:只3，山坡上 点E处有一凉亭，测得小山坡脚C点与居民楼水平距离BC=25m,与凉亭距离CE=20m,某人在点E处 用自制的测角仪测得居民楼A点的仰角为45°，求居民楼AB的高.（结果保留根号） D E 水平面 28.(26-27九年级上山东淄博期中)手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景 区C去爬山，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶 段距离到达风景区C,嘉淇发现风景区C在A地的北偏东15°方向上， 609 L45 459 A 图1 图2 图3 ()∠C的度数为 (2)A'C两地的距离为一千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区C后，从山脚J点出发，沿坡度为1：3的坡面J兀行至L点处时，他们的垂直高度上升了 25米，再从L点处沿坡角为45的坡面L1,以20米/分的速度到达山顶I点时，用了30分钟，如图2所示. ①L点到J点之间的水平距离为米： 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②山顶I点处的垂直高度K是 ----米.(/2≈1.414，结果保留整数) (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高.如图3， 嘉淇将无人机在塔、树上方的Q处悬停，测得塔顶O的俯角为37°，树顶S的俯角为60°，树高ST为12米， 无人机竖直高度PQ为60米，T,P,R在一条直线上，且P点到塔底R的距离比到树底T的距离多8米，求 塔高OR.(结果保留根号.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 29.(25-26九年级下·甘肃嘉峪关期中)如图，在坡顶的A处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑 物BC,某同学沿着坡度为i=5:12的斜坡AP攀行26米到达了点A,点A距建筑物BC底端C为5米，在坡 顶A处又测得该建筑物的顶端B的仰角为76°，求建筑物顶部B到PQ的距离（精确到0.1m).(参考数据： sin76°≈0.97，c0s76°≈0.24，tan76°≈4) B 题型7其他解直角三角形应用（共5小题） 【模型】实际场景转化模型：将其他实际情景（折叠、支架、零件等）抽象为直角三角形，利用边角关系 解 【步骤】①提取题干几何信息，画几何简图；②找到或者构造直角三角形；③利用三角函数、勾股定理计 算；④回归实际问题作答 【易错】实物转几何图时角度、长度对应出错：忽略实际情境中的取金要求 30.(2027九年级下·全国期中)图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点B(可以上下调整高 度)离地面CD的初始距离BC=160cm.设花洒臂与墙面的夹角为Q,可以扭动花洒臂调整角度，且花洒 臂长AB=30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面120cm处淋浴， B B E 160cm 160cm C 120cm D C 120cm D(E) 图① 图② 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当=30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE, (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE,使点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点B向下移动.移动的距离BF与小华的身高DE之间有什么数量关系？请直 接写出你的结论： ②活动调节点B不动，只要调整的大小，如图②.试求Q的度数.（结果保留一位小数，参考数据： /3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75) 拔高压轴破难 题型8解直角三角形与四边形综合（共3小题) 【模型】四边形分割模型：对平行四边形、矩形、菱形、梯形作高，拆分为直角三角形+矩形，结合四边 形性质+解Rt△计算 【步骤】①利用四边形性质得到等角、等线段；②作高分割出直角三角形：③解直角三角形求出线段：④ 结合四边形公式求边长、周长、面积 【易错】四边形性质记错：分割后线段之间的等量关系梳理不清：多个直角三角形之间公共边找错 31.(26-27九年级上·重庆涪陵期中)已知菱形ABCD中， B B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠DAB=60°时，过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,点F是线段CE的中点，连接BF, 若CD=4,求线段BE、BF的长度： (2)如图2，当∠DAB=60°时，过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,过点D作DM⊥DC,连接MC, 且∠MCE=30°，连接ME,请探索线段BE，DM,EM之间的数量关系，并证明： 3)如图3，当∠DAB=30°时，连接AC,点Q是对角线AC上的一个动点，若AB=2V26,求 QB+QC+QD的最小值. 32.(2026吉林模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=6.点E在边AB上，点A关于直线 DE的对称点为点F,连接DF、EF,延长EF交射线DC于点G, 13/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B (1)下列线段中，始终与线段DG相等的是 ①BE②DE③GE (2)当点G与点C重合时，求tan∠ADE的值： (3)当CG=1时，求AE的长； (4)连接BG,当BG=DE时，直接写出线段AE的长 33.(26-27九年级上湖南长沙期中)已知正方形ABCD,点E,F,G分别在边CD,BC,AD上，连 接AE,GF. G H G E 0 E 图1 图2 图3 (1)若AE⊥GF于点H ①如图1，过G作GM⊥BC于M,求证：∠MGF=∠DAE; ②如图2，将GF向下平移，当点C与D重合时，若E为CD的中点，连接HC,求 的值： CH (2)如图3，若AB=6,AG=CF=1.5,且CE=2DE,请你求出∠AHG的度数 34.(2026河北廊坊二模)【综合与实践】某数学小组研究如何将一个三角形裁剪拼接成一个特殊四边 形 【理论支持】如图1，D是△ABC的边AC的中点，E为边AB上任一点（不与点A重合），延长ED至点 F,使DF=DE,连接CF. 14/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D F 图1 (1)求证：△ADE≌△CDF; 【动手操作】 (2)解答(1)后该小组发现，在图1中只需将△ADE剪下来拼到△CDF处，就可得到一个与△ABC等面 积的梯形BCFE,根据这样的理论，解决下列问题， ①如图2，小组将△ABC沿ED剪一刀后，将两块图形拼成平行四边形BCFE,则DP与BC之间的数量关 系为 D 图2 ②如图3，小组发现将△ABC剪两刀后，可将得到的三块图形拼成矩形，小组内的珍珍已画好其中的一条 剪切线ED(E,D分别为AB,AC的中点)，请你将另一条剪切线和拼成的矩形画在图3上（画出一种 方法即可)； E 图3 ③如图4，在△ABC中，∠C=30°，M,N分别是边AB,AC的中点，小组同学将△ABC剪拼成直角 EF 梯形EFGH,EHFG,∠ANH=∠E=90°，求 的值。 CG 15/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B G 图4 35.(24-25九年级上.重庆垫江期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D是边AB上 一动点，连接CD,将CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE E D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ACD=∠ADE: (2)如图2，CG是△ABC的中线，连接EG,点H是EG的中点，连接DH,试猜想DH、BD、AC的数量 关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，若AC=2,点Q是CG的中点，点P是BC上一点，将△PCQ沿PQ翻折， 得到△PCQ,点D、P在运动过程中，当CE最短时，请直接写出△ABE的面积. 题型9动点背景下解直角三角形分类讨论（共5小题） 【模型】动点直角存在性模型：动点运动过程中，分情况讨论哪个角为直角，构造直角三角形，结合三角 函数、勾股定理列方程 【步骤】①标记动点、运动速度，用含t代数式表示线段；②分类：分别讨论三个顶点为直角顶点；③每 种情况构造Rt△，列方程求解；④检验t取值是否在线段范围内 【易错】直角项点分类不漏情况：动点线段表达式写错：解出t之后不检验：.保留超出范围的增根 36.(2026吉林模拟预测)如图，在△ABC中，AC=82,BC=12,∠C=45°，点P从点A出发， 以每秒2个单位的速度向终点C运动，连结BP,点Q是BP的中点，以PQ为边作正方形PQMN，,使点 M和点C在直线PQ同侧. 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()pC= (用含t的代数式表示)： (2)当BP⊥AC时，求t的值： 3)当点N落在BC上时，求t的值： (4)当点N到直线BC的距离与点Q到直线BC的距离相等时，t的值为 37.(2025吉林长春模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.点D是边BC上的一点（点 D不与点B、C重合)，作射线AD,在射线AD上取点P,使AP=BD,以AP为边作正方形APMN,使 点M和点C在直线AD同侧. (1)当点D是边BC的中点时，求AD的长： (2)当BD=4时，点D到直线AC的距离为 (3)连接PN,当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长； (4)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC的距离的3倍，则CD的长为 (写出一个即可) 38.(2026吉林模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6Cm.动点P从点 A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动.以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线 ACB相交于点Q,以PQ为边作菱形PQMN,点N在线段PB上.设点P的运动时间为xs,菱形PQMW 与△ABC重叠部分图形的面积为yam2 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D N B A B 备用图 (1)当点Q在边AC上时，PQ的长为 cm;(用含x的代数式表示) (2)当点M落在边BC上时，求x的值： (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 39.(26-27九年级上吉林长春期中)如图，在△ABC中，BC=8,∠C=45°，S△A=12.点P从点 B出发，沿BC方向向终点C运动，过点P作PD⊥BC交折线BA-AC于点D(点D不与点A重合)， PD将△ABC分成两部分，将所得的三角形部分沿PD翻折，得到△PDE! (1)整个运动过程中，DP的最大值为 (2)当点E与点C重合时，求DP的长； (3)若点D在BA边上，当△ADE是直角三角形时，求DP的值： 3 (4)点E关于直线AC的对称点为点F,当点F到直线BC的距离为二时，直接写出线段PC的长. 40.(26-27九年级上江苏常州期中)【活动背景】 如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开 展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点A,使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上： ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方： ③调整反射镜与水平线的夹角日，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好射到坑底最右端F处： ④在线段AD上确定一点B,使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好射到坑底最左端G处， (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内.根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入 射光线与镜面的夹角.) 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 水平线-c 反射镜 B/D E T77777777777777777777☑ 777777777777 7777777777 G 【问题解决】 测得∠CAB=30°，∠CBD=60°，0=22.5°，且此时无人机显示距离水平地面高度为15m, DE=12m. (ㄥGCF= -o:点A到点B的距离为 (2)计算土坑的深度.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin22.5°0.38， cos22.5°≈0.92，tan22.5°0.41,2≈1.41,3≈1.732，结果精确到0.1m) 41.(2026吉林四平.模拟预测)综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往A村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度： 【问题背景】如图，A村到公路的乡村小路为A→B→C,为进一步方便通行，现准备新建一条公路AD, 连接A村和公路！(CD所在的直线为l). B 100 工26° D 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等 【测量过程】测得AB=500m,BC=200m,∠BAD=26°，∠BCD=100°，∠ADC=90°，且点 A,B,C,D在同一平面上. 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据： sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49. 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路AD的长. 42.(2026江苏徐州中考真题)汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗.小桐 到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记 作ABCDE(如图)，已知BC=ED=100Cm,CD=80cm,∠BCD=∠EDC=90°，∠ABC=120, ∠AED=105°，求画幅ABCDE的面积（精确到1cm2),(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27，V21.4,V3≈1.7) 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43.(2026江西抚州.一模)某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题.图①是 “躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式.已知座面AB与支撑脚CD平行，座面 AB=50cm,座面高EF=40cm,背垫BG=60cm,∠ABG=100°.（参考数据：sin80°≈0.98， cos80°≈0.17，sin20°≈0.34，c0s20°≈0.94). IG G BE C F 图① 图② 图③ (1)求图②点G到支撑脚CD的垂直距离.（结果精确到0.1cm) (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为106.5cm,求背垫BG旋转的度数， 44.(2026山东聊城二模)2026年春晚，武术节目《武B0T》精彩亮相，人形机器人与武术演员同台竞 技，精准完成鲤鱼打挺、太极推手等高难度武术动作.如图为该节目某一精彩膦间的几何示意图：机器人 的一条腿AB垂直立于地面MN上，初始状态下，其另一条腿的小腿CD与大腿AC相互垂直.当小腿CD 向上踢起至CE位置时，CE与AC恰在同一直线上.已知AB=60cm,AC=32cm,CD=28cm, ∠CAB=130°. E M 5 (1)求点C到地面MN的距离： (2)求机器人的小腿从CD旋转至CE的位置时，点D上升的竖直高度， 20/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [(1)(2)两问结果均保留至0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77] 21/21