九年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（浙江专用，新教材浙教版九上全册）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B选项，、右边为整式，但自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； C选项右边为整式，自变量最高次数为，且二次项系数不为，符合题意； D选项右边为分式，不是整式，不符合题意． 2．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】先从确定的数学结论入手判断必然事件，再验证其余选项． 【详解】解：A．年全年有天，故2025面全年有367天是不可能事件，不符合题意； B．任意三角形的内角和为，是必然事件，符合题意； C．下个月芒市是否下雨具有不确定性，是随机事件，不符合题意； D．射击运动员射击一次是否命中靶心具有不确定性，是随机事件，不符合题意． 3．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ， ， 四边形的面积， 与四边形的面积的比为． 5．下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质和三角形外心的定义逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A、B、D均为圆的基本性质，是真命题． C. 相等的圆心角所对的弧相等需以同圆或等圆为前提，该命题缺少条件，是假命题． 6．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得． 8．某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中 （单位：），则的长度是（     ）． A．37 B．37.5 C．38 D．38.5 【答案】B 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 9．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐一判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故结论①不正确； ∵顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， 故结论②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴的最大值是2， ∵一元二次方程没有实数根， ∴，故结论④正确； 综上，正确结论为②③④，共3个． 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 【答案】 或 【分析】点是线段的黄金分割点，未说明与的大小关系，需分两种情况，根据黄金分割点的定义计算的长度． 【详解】解：分两种情况讨论： 第一种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 把代入得： 解得 第二种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 ，即 又， 整理得 分母有理化解得 综上，的长为或． 12．在的“”中，任意填上“”或“”，可组成若干个不同的二次函数，其图象的顶点在x轴上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有填法的总数，再利用二次函数顶点在轴上的条件得到判别式等于0，统计符合条件的填法数量，最后计算概率． 【详解】解：三个“□”每个都有“”，“”两种填法， 因此总共有种不同情况，且所有情况的二次项系数都不为0，均为有效二次函数， ∵二次函数图象顶点在轴上，等价于判别式， 设二次函数为，则，，， 代入得：，整理得， ∵，， 要满足，需要和符号相同， ∴和同号共有2种情况，中间的符号有2种选择， ∴符合条件的情况总数为种， ∴所求概率为． 13．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】观察函数图象，确定二次函数与一次函数交点的横坐标，根据，即抛物线在直线的上方，找出对应的 的取值范围． 【详解】解：由图象可知，二次函数和一次函数的交点横坐标分别为和， 当时，即二次函数图象在一次函数图象的上方， 观察图象可知，当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围是或． 14．若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴与最小值点，结合最大值对应的自变量取值，根据抛物线开口方向即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． ∵二次函数的最小值为， ∴， 令，则， 解得，， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，且当时，对应函数值为， ∴， 综上，的取值范围为． 15．如图，以等边三角形的边为直径画，分别交于点，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，由图可知阴影部分面积由、、扇形的面积组成，由已知条件可得、都是等边三角形，扇形的圆心角，即可分别算出三部分面积，然后相加即可． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由图可知：． 16．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 【答案】 【分析】分别以为圆心，以不同格点到点的距离的长度为半径作圆，找到所有满足条件的格点数即可． 【详解】解：如图，当时，以为圆心，以的长度为半径作圆，满足条件的格点数为，分别为点， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴不满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∵， ∴不满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， 过点作于点， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∴， ∵， ∴满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∵， ∴，满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴，不满足题意， 综上所述，满足条件的格点有个. 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 【详解】（1）解：把代入中，得 解得， ∴；……（4分） （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线．……（4分） 18．（8分）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【详解】（1）解：设， 则， 代入得：，……（2分） 解得：， ．……（2分） （2）解：线段是线段，的比例中项， ，即， ， ，……（2分） 线段的长度为正数， ．……（2分） 19．（8分）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【详解】（1）解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：．……（2分） ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4．……（2分） （2）解： 甲            乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种，……（2分） ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）．……（2分） 20．（8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∴，即，……（2分） ∵于点， ∴， ∴， ∴点是的中点．……（2分） （2）解：如图，连接、， ∵于点，， ∴， ∵， ∴，……（2分） ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴．……（2分） 21．（8分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为，……（1分） 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为；……（2分） （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，……（1分） ∴， ∴点B的坐标为；……（1分） （3）解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：，……（1分） ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是．……（2分） 22．（10分）如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 【详解】(1)证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ，……（1分） ， ， ；……（1分） (2)解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接，取的中点，连接，   ……（1分） 由（1）得：， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即，……（1分） 在和中， ，，， ， ， ， ， ∴ ． ， ，，， ，即， ，即， ， 点N是的中点， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ，……（1分） ， ， ；……（1分） （3）解：如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，    由（2）知：，，． ， ． 又 ， ． ． ， ，即 ． ， ． 点 在 上，， ． ， ．……（1分） 又 ， ． ． 又 ， ，即点 是 的中点． 点 是 的中点， 是 的中位线，． ． ， ． ．……（1分） ，点 在 上， ． ． 又 ， ． ． ， ． ， ．……（2分） 23．（10分）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴把，代入得：， 解得，……（1分） ∴抛物线的解析式为； ∴抛物线的对称轴为， 把代入得： ， ∴抛物线的顶点坐标为；……（2分） （2）解：∵轴， ∴点与点A的纵坐标都为1； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴两点关于直线对称，……（1分） ∵， ∴两点与对称轴的距离为， ∴, 把点代入抛物线得：， 解得：；……（2分） （3）解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，则， 解得：，， 当，时，取得最大值， ∴， 解得或，……（2分） ∵， ∴， ∴； 当，时，取得最大值， ∴， 解得或， ∵， ∴， 综上，符合条件的的值为或．……（2分） 24．（12分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，的延长线交于点G，于点E，交于点F，于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明：在圆内接四边形中，， ∵， ∴，……（1分） ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；……（1分） (2)证明：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，……（1分） ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴，……（2分） 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；……（2分） （3）解：∵，， ∴由勾股定理得， ∴圆的半径为5， ∵， ∴， ∴，即，……（1分） 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 解得，……（2分） 在中，O、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，由，得， 解得， 即．……（2分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册全册。 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 3．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（     ） A． B． C． D． 5．下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 6．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 8．某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中 （单位：），则的长度是（     ）． A．37 B．37.5 C．38 D．38.5 9．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 12．在的“”中，任意填上“”或“”，可组成若干个不同的二次函数，其图象的顶点在x轴上的概率为______． 13．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 14．若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 15．如图，以等边三角形的边为直径画，分别交于点，若，则阴影部分的面积为______． 16．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 18．（8分）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 19．（8分）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 20．（8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 21．（8分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 22．（10分）如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 23．（10分）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 24．（12分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，的延长线交于点G，于点E，交于点F，于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 4 5 6 7 P 9 10 B W 公 C D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.2或3-5 13.x<-2或x>1 14.-4≤m≤-1 15、 16.8 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) (1)解：把A1,0代入y=x2+bx-3中，得0=1+b-3 解得b=2, y=x2+2X-3:…(4分) (2)解：“y=x2+2x-3=x+1-4 ∴顶点坐标为-1，-4，对称轴为直线x=-1.…(4分) 18.(8分) (1)解：设a+2--©5=kk≠0 346 则a=3k-2,b=4k,c=6k-5, 代入2a-b+3c=21得：23k-2-4k+36k-5=21,…(2分) 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：k=2, ∴.a=3×2-2=4,b=4×2=8,c=6×2-5=7.…(2分) (2)解：，线段x是线段a,b的比例中项， 是若则以-b .a=4,b=8, .x2=4×8=32,…(2分) ‘线段的长度为正数， .x=V32=42.…(2分) 19.(8分) (1)解：①频率的计算公式为：颜幸=参加沙包投燃人数 调查总人数 代入对应数据得：96÷200=0.48.…(2分) ②当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4. ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4.…（2分) (2)解： 分 A B D A (A,A (A,B (A,C) A,D B B,A B.B] B,C B.D c C,A C,B C,C) (C,D D D,A) D,B D,C D.D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种，…（2分) P(甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项日)=6=3 …(2分) 1681 20.(8分) (1)证明：，AB=DE, 2/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=DE, AB-BD=DE-BD,即AD=BE,·(2分) OD⊥AB于点C, .'.AD=BD, .BD=BE, .点B是DE的中点.…(2分) (2)解：如图，连接OA、OF, E O ,OD⊥AB于点C,AB=8, ∴AC=BC=号AB=4, …0A=5, 0C=0A2-AC=52-4=3.(2分) ..CD=OD-OC=0A-OC=5-3=2, .∠D=45°， ∴.△DCF是等腰直角三角形，CF=CD=2, 六0F=0C2+CF-3+2=V13(2分) 21.(8分) (1)解：由题意得顶点A2,2, 设 y=ax-22+2' 又，抛物线过点H0,1.5, .∴.1.5=4a+2, 0= 8 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :上边缘抛物线的函数解析式为y=- x-2+2,…1分 当y=0时，0=-x-2?+2, 8 解得X1=6,x2=-2(舍去)， ∴.喷出水的最大射程OC为6m;…(2分) (2)解：“y=- x-2+2, 对称轴为直线X=2, .点0,1.5的对称点为4,1.5， ∴.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4得到的，…(1分) ∴.0B=0C-4=6-4=2, .点B的坐标为2,0：…(1分) (3)解：.EF=0.5, .点F的纵坐标为0.5， 05=gx-2+2, 解得：x=2±23，…(1分) x>0, x=2+2V3, 抛物线开口向下，对称轴为直线x=2, .当X>2时，y随X的增大而减小， ∴.当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2V3, ,当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5, 当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2V3, ,·DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴.d的最大值为2+2V3-3=2V3-1, 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB, ∴.d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是2≤d≤23-1.…(2分) 22.(10分) 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：，'△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中， AB=BC ∠ABD=∠BCE, BD=CE ∴.△ABD≌△BCE SAS,.(1分) ∴.∠BAD=∠CBE, .'∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B, ∴.∠BFD=∠B=∠AFE=60°；…(1分) (2)解：CF⊥AD,理由如下： 如图，延长BE至M,使FM=AF,连接AM、CM,取FM的中点N,连接CN, N E.M …(1分) 由(1)得：∠AFE=60°， ∴.∠AFM=∠AFE=60°， ∴.△AFM是等边三角形， ∴.∠FAM=60°，AF=AM=FM, ∴.∠BAC=∠FAM=∠AMF=60 ∴.∠BAC-∠CAD=∠FAM-∠CAD, 即∠BAF=∠CAM,·(1分) 在△ABF和△ACM中， .'AB=AC,∠BAF=∠CAM,AF=AM, ∴.△ABF≌△ACMSAS, ∴.∠AFB=∠AMC=180°-60°=120°， ∴.∠CME=∠AMC-∠AMF=120°-60°=60°， ∴.∠AFM=∠CME, ∴.CM‖AF 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AEF一△CEM. CM CE ·AF-AE :BD号BC,BD=CE,Bc=AC C640即1 AE 2 .CM-1 AF2即AF=2CM, .∴.FM=2CM, .点N是FM的中点， .∴.FM=2FN=2MN, ∴.CM=MN=FN, 又.∠CMN=60°， .∴.△CMN是等边三角形， ∴.∠MCN=∠MNC=60°，CN=MN, ∴.CN=FN, ∴.∠NFC=∠NCF=30°，…(1分) .∴.∠FCM=∠NCF+∠MCN=30°+60°=90°， ∴.∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+30°=90°， ∴.CF⊥AD;…(1分) (3)解：如图，延长BE至M,使FM=AF,连接AM、CM,取AD的中点K,连接GK, F E B HD 由(2)知：AF=FM=2CM,CM‖AF,∠AFC=90°. CM‖AD, ∴.∠BDF=∠BCM」 又∠DBF=∠CBM, 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BDF一△BCM. DFBD ·CMBC :BD号BC CM3即CM=3DF. .DF_1 ∴.AF=2CM=6DF, ∴.AD=AF+DF=7DF. :点G在AC上，AG=FG, ∴.∠CAF=∠AFG. ,∠AFC=90°， ∴.∠CAF+∠ACF=90°.…(1分) 又∠AFG+∠CFG=90°， .∴.∠ACF=∠CFG. ∴.CG=FG 又AG=FG, ∴.CG=AG,即点G是AC的中点. :点K是AD的中点， GK是△ACD的中位线，AK=DK=号AD. .GK‖BC AD=7DF, 子0n FK=DK-DF=5DF.…1分) .GK‖BC,点H在BC上， .GK‖DH ∴.∠FDH=∠FKG. 又∠DFH=∠KFG, ∴.△DFH一△KFG. 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 : FH DE 所=8D DF 2 .FH_2 FG5 帝2 FG 5 …（2分) 23.（10分) (1)解：，抛物线y=ax2+bx+4经过点2,4， ∴把x=2,y=4代入得：4=a×2+b×2+4, 解得b=-2a,…(1分) ∴.抛物线的解析式为y=ax-2ax+4; 抛物线的对称轴为X=-20=1, 2a 把x=1代入y=ax2-2ax+4得： y=a×12-2a×1+4=a-2a+4=-a+4, ∴.抛物线的顶点坐标为1,4-a:…(2分) (2)解：AB‖X轴， ∴.点B与点A的纵坐标都为1： ,抛物线的对称轴为直线x=1, .A、B两点关于直线X=1对称，…(1分) AB=4, ∴A、B两点与对称轴的距离 AB=2: 2 .A-1,1 把点A-1,1代入抛物线y=aX-2ax+4得：1=a-12-2a-1+4 解得：a=-1；…（2分) (3)解：a=-1, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x2+2x+4=-x2-2x+4=-x-12+5 ∴抛物线开口向下，顶点坐标为1,5)，对称轴为直线x=1, 令y=3则-x-1P+5=3' 解得：X1=1-V2x,=1+2 当n+2≤1，x=n+2时，取得最大值， ∴-n+2-1+5=3 解得n=-1-/2或n=2-1,…(2分) .n+2≤1， .n≤-1， n=-1-2: 当n≥1，x=n时，取得最大值， -n-12+5=3 解得n=1+V2或n=1-2, .n≥1， ∴n=1+2, 综上，符合条件的n的值为-/2-1或V2+1.…(2分) 24.（12分) 【答案】(1)证明：在圆内接四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD=180°， .∠BCG+∠BCD=180°， ∴.∠DAB=∠BCG,…(1分) ,∠ACD=∠BCG,∠ACD=∠ABD, ,∠ABD=∠DAB, .AD=BD, ∴.△ABD是等腰三角形：…(1分) (2)证明：，∠DAB=∠BCG,∠ACD=∠BCG, ∴.∠DAB=∠ACD, .AC是⊙O的直径， 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADC=90°， ∴.∠ADE+∠CDE=90°，…(1分) DF⊥AC, .∠DEC=90, ∴.∠ACD+∠CDE=90, .∠ADE=∠ACD, .∠DAB=∠ADE, .AF=DF,…(2分) 连接OD、OF, .OA=OD,AF=DF,OF=OF, ∴.△AOF≌△DOF SSS, ∴.∠FAO=∠FDO, OH⊥AF,OE⊥DF, .∠OHA=∠OED=90°， .OA=OD. ∴.△OAH≌△ODE AAS, .OE=OH:…(2分) B (3)解：，AD=8,CD=6,∠ADC=90°， .由勾股定理得AC=10, .圆的半径为5， .∠DAE=∠CAD,∠AED=∠ADC, ∴△AED一△ADC, S品智证1分) m10-8 解得AE=6.4, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OH=0E=AE-A0=6.4-5=1.4, 六AH=8A02-0H=4.8' .BH=AH=4.8, .∠DAB=∠ABD=∠ACD=∠BCG,∠G=∠G, ∴△CBG~△DHB 能瓷 设BG=X,CG=y,则4.8+x6+y x=y 解得y-5 ,…(2分) 在△ABC中，O、H分别是AC、AB的中点， .OH是△ABC的中位线， .BC=2OH=2.8, 在Rt△BCG中，由BC2+BG2=CG2,得2.82+X= 5x2, 解得x=56 -15 即BG=56 5· …(2分) 11/11 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册全册。 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 3．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（     ） A． B． C． D． 5．下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 6．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 8．某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中 （单位：），则的长度是（     ）． A．37 B．37.5 C．38 D．38.5 9．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 12．在的“”中，任意填上“”或“”，可组成若干个不同的二次函数，其图象的顶点在x轴上的概率为______． 13．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 14．若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 15．如图，以等边三角形的边为直径画，分别交于点，若，则阴影部分的面积为______． 16．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 18．（8分）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 19．（8分）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 20．（8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 21．（8分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 22．（10分）如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 23．（10分）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 24．（12分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，的延长线交于点G，于点E，交于点F，于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $