2026-2027学年沪教版数学九年级上册期中练习卷（一）

2026-2027沪教版九年级上期中练习卷（一）（解析版） 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 1．抛物线 平移，使顶点移到点 的位置，所得新抛物线的表达式是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【解析】抛物线 的顶点是原点 ，平移后顶点为 ，即向左平移 个单位、向上平移 个单位， 所以新抛物线的表达式为 ． 2．在三角形纸片 中，，，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与 相似的是（　　） 【答案】D 【解析】剪下的三角形与原三角形有一个公共角，要相似，夹这个角的两边必须成比例． (D) 中剪下的是 ：，， 是公共角，且 ，，所以 ． 其余三个选项中夹公共角的两边都不成比例（如 (A) 中 ，而 ，不相等），故不相似． 3．抛物线 与 轴交于 、 两点，且 ，则 的值是（　　） A．　　B． 或 C．　　D． 或 【答案】B 【解析】设 、，则 ，， ． 由 得 ，解得 或 ．此时 ，两解都符合题意． 4．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（　　） 【答案】D 【解析】抛物线 恒过原点，对称轴为直线 ；直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ． (A) 抛物线开口向上得 ，而直线向下倾斜得 ，矛盾； (B) 抛物线开口向上（）且顶点在 轴左侧，得 ，而直线与 轴交于负半轴，得 ，矛盾； (C) 抛物线开口向下得 ，而直线向上倾斜得 ，矛盾； (D) 抛物线开口向下（）、顶点在 轴右侧（），直线向下倾斜且交 轴于正半轴，与 、 完全一致． 5．如图，在 和 中，， 与 交于 ，连接 、，当 、、 三点共线时，下列选项中不一定相似的是（　　） A． 与 　　B． 与 C． 与 　　D． 与 【答案】D 【解析】由 得 ，(A) 一定相似； 由相似得 ，所以 ，又 ，得 ，(B) 一定相似； 由 ，，得 ，(C) 一定相似； 而 与 只有公共角 ，其余两角与对应边都不一定成比例，故不一定相似． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 6．已知线段 cm，cm，如果 是 、 的比例中项，那么线段 等于________cm． 【答案】 【解析】 是 、 的比例中项，则 ，即 ，所以 （cm）． 7．已知线段 上有一点 ，点 是线段 的黄金分割点，若较长的线段 为 ，则线段 的长为________． 【答案】 【解析】 是 的黄金分割点且 ，所以 ， 于是 ． 8．已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是 、，那么另外一个三角形的最大内角是________°． 【答案】 【解析】这个三角形的三个内角为 、、；相似三角形对应角相等， 所以另一个三角形的三个内角也是 、、，最大内角为 ． 9．已知二次函数 的图象全部位于 轴下方，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】图象全部位于 轴下方，需 且 ， 解得 ． 10．已知二次函数 的图象经过点 和 ，若图象上点 ，点 ，比较 和 的大小________． 【答案】 【解析】图象经过 、 两点，故对称轴为直线 ，开口向上． 点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，离对称轴越远函数值越大， 所以 ． 11．如图，在平面直角坐标系中， 与 是以原点 为位似中心的位似图形，，则 与 的位似比为________． 【答案】 【解析】位似图形的对应边之比等于位似比，由 得 ， 所以 与 的位似比为 （即 ）． 12．如图，两条直线被三条平行线 、、 所截，分别相交于点 、、、、、，若 ，那么当 时， 的长为________． 【答案】 【解析】三条平行线截两条直线，得 ， 所以 ， 故 ． 13．在 中，、 分别是 、 边上一点，连接 ， 交于点 ，若 ，，则 ________． 【答案】 【解析】过点 作 ，交 于点 ． 由 得 ，即 ； 又 ，设 ，则 ，． 由 得 ，即 ． 14．如图，在 中，、 分别是 、 的中点，连接 ， 交于点 ， 交 于点 ，那么 ________． 【答案】 【解析】设 ． 是 的重心，所以 ． 在 中， 在 上且 ，又 ， 所以 ，且 ． 于是 ， 故 ． 15．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，点 是此函数图象上在第一象限内的一动点，当 时，点 的坐标为________． 【答案】 或 【解析】令 得 、；令 得 ． 直线 为 ，即 ，． 设 ，则 到直线 的距离 ． 由 得 ． 若 ，则 或 ，得 、，都在第一象限； 若 ，则 （负根舍去），此时 ，点 不在第一象限，舍去． 所以 或 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 90 分） 16．已知二次函数 的图像如图所示，顶点为 ，抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于 和 两点． （1）求此抛物线的表达式； （2）结合图像填空：①关于 的一元二次方程 的解是________；②不等式 的解集为________． 【答案】（1）；（2）① 或 ；② 或 【解析】（1）设 ，把 代入得 ，， 所以 ． （2）① 直线 与抛物线交于 、 两点，所以方程 的解为 或 ； ② 抛物线与 轴交于 、，开口向下，所以 的解集为 或 ． 17．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，，，． （1）如果 ，求线段 的长； （2）设 的面积为 ，求 的面积（用 的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为 ，，且 ， 所以 ，相似比为 ，故 ． （2）由 得 ； 又 ，所以 ， 得 ，故 ． 18．作图题： （1）已知线段 ，在线段上求作一点 ，使得 ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，点 、点 、点 、点 都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔画图（保留作图痕迹）在边 上作出点 ，使得 与 相似． 【答案】见解析 【解析】（1）作法：① 过点 作射线 （不与 重合）；② 在射线 上从 起依次截取 条相等的线段，端点依次为 、、、、； ③ 连接 ；④ 过 作 ，交 于点 ． 点 即为所求，此时 ． （2）因为 ，，所以 ；要使 ，只需 ， 而 ，故 ，即 是 的中点． 作法：取格点 （在 左侧 格、下方 格）和格点 （在 右侧 格、下方 格）， 画直线 交 于点 ，点 即为所求（、 关于 的中点对称，故 过 的中点）． 19．如图，在 中， 是边 上的高，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上， 在边 上， 交 于点 ．已知 ，，，求矩形 的面积． 【答案】（即 ） 【解析】设 ，．因为 ，所以 ，且 ． 由 得 ，所以 ，解得 ． 于是 ，，矩形 的面积 ． 20．如图， 为 边 上一点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，且 ． （1）求证：； （2）如果 ，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由 得 ，又 ， 所以 ，得 ． 因为 、、 共线，、、 共线，所以 ． 在 中 ，而 ， 所以 ，在 中 ，即 ． （2）由（1），又 ，所以 是 的垂直平分线，得 ． 在 中，；在 中，， 而 ，所以 ，即 ． 21．2023 年 5 月 8 日，国产大飞机 C919 商业首航完成，12 时 31 分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．当两辆消防车喷水口 、 的水平距离为 米时，两条水柱在抛物线的顶点 处相遇，此时相遇点 距地面 米，喷水口 、 距地面均为 米．若两辆消防车同时后退 米（两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变），按照图中所示建立平面直角坐标系，此时两条水柱相遇点 距地面多少米？ 【答案】 米 【解析】按图中坐标系，、、．设抛物线为 ， 把 代入得 ，，即 ． 两车同时后退 米后，喷水口为 、，设新的相遇点为 ， 因水柱形状不变，新抛物线为 ，把 、 代入得 ，， 所以 ，解得 ，进而 ． 所以 距地面 米． 22．如图，抛物线 经过点 ，点 ． （1）求这条抛物线的表达式； （2） 是抛物线对称轴上的点，连结 、，如果 ，求点 的坐标； （3）将抛物线沿 轴向下平移 个单位，所得新抛物线与 轴交于点 ，过点 作 轴交新抛物线于点 ，射线 交新抛物线于点 ，如果 ，求 的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）把 、 代入得 ，，， 所以 ． （2）对称轴为直线 ，设 ．由 、 得 ，，． 到 轴的距离为 ，到直线 的竖直距离为 ，当 时 ． 由 得 ；当 时 为钝角，而 为锐角，不合题意． 所以 ． （3）平移后 ，与 轴交于 ；对称轴为 ，由 轴得 ． 由 且 在射线 上，知 在 、 之间且 ，即 的坐标是 的 倍， 所以 ． 把 代入新抛物线得 ，解得 ． 23．如图，矩形 中，，，在 边上取一点 ，将 翻折，使点 落在点 处，折痕为 ， 交于点 ． 【特例感知】（1）如图 1，若点 恰好落在边 上，求证：； 【变式求异】（2）如图 2，若点 是 的中点，点 落在矩形内部，求点 到 的距离； 【化归探究】（3）如图 3，若 ， 交 于点 ，求 的长． 图 1 图 2 图 3 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】（1）由翻折得 ，，且 ．设 交 于点 ． 因为 ，所以 ；在 中 ，， 所以 ，又 ，所以 ． （2），，，所以 ． 由 得 ， 所以点 到 的距离为 ． （3），，，， 由 得 ，． 过 作 于 ，则 ，， 所以 ，． 因为 ，所以 ，， 故 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027沪教版九年级上期中练习卷（一） 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 1．抛物线 平移，使顶点移到点 的位置，所得新抛物线的表达式是（　　） A．　　B． C．　　D． 2．在三角形纸片 中，，，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与 相似的是（　　） 3．抛物线 与 轴交于 、 两点，且 ，则 的值是（　　） A．　　B． 或 C．　　D． 或 4．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（　　） 5．如图，在 和 中，， 与 交于 ，连接 、，当 、、 三点共线时，下列选项中不一定相似的是（　　） A． 与 　　B． 与 C． 与 　　D． 与 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 6．已知线段 cm，cm，如果 是 、 的比例中项，那么线段 等于________cm． 7．已知线段 上有一点 ，点 是线段 的黄金分割点，若较长的线段 为 ，则线段 的长为________． 8．已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是 、，那么另外一个三角形的最大内角是________°． 9．已知二次函数 的图象全部位于 轴下方，则 的取值范围是________． 10．已知二次函数 的图象经过点 和 ，若图象上点 ，点 ，比较 和 的大小________． 11．如图，在平面直角坐标系中， 与 是以原点 为位似中心的位似图形，，则 与 的位似比为________． 12．如图，两条直线被三条平行线 、、 所截，分别相交于点 、、、、、，若 ，那么当 时， 的长为________． 13．在 中，、 分别是 、 边上一点，连接 ， 交于点 ，若 ，，则 ________． 14．如图，在 中，、 分别是 、 的中点，连接 ， 交于点 ， 交 于点 ，那么 ________． 15．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，点 是此函数图象上在第一象限内的一动点，当 时，点 的坐标为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 90 分） 16．已知二次函数 的图像如图所示，顶点为 ，抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于 和 两点． （1）求此抛物线的表达式； （2）结合图像填空：①关于 的一元二次方程 的解是________；②不等式 的解集为________． 17．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，，，． （1）如果 ，求线段 的长； （2）设 的面积为 ，求 的面积（用 的代数式表示）． 18．作图题： （1）已知线段 ，在线段上求作一点 ，使得 ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，点 、点 、点 、点 都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔画图（保留作图痕迹）在边 上作出点 ，使得 与 相似． 19．如图，在 中， 是边 上的高，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上， 在边 上， 交 于点 ．已知 ，，，求矩形 的面积． 20．如图， 为 边 上一点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，且 ． （1）求证：； （2）如果 ，求证：． 21．2023 年 5 月 8 日，国产大飞机 C919 商业首航完成，12 时 31 分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．当两辆消防车喷水口 、 的水平距离为 米时，两条水柱在抛物线的顶点 处相遇，此时相遇点 距地面 米，喷水口 、 距地面均为 米．若两辆消防车同时后退 米（两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变），按照图中所示建立平面直角坐标系，此时两条水柱相遇点 距地面多少米？ 22．如图，抛物线 经过点 ，点 ． （1）求这条抛物线的表达式； （2） 是抛物线对称轴上的点，连结 、，如果 ，求点 的坐标； （3）将抛物线沿 轴向下平移 个单位，所得新抛物线与 轴交于点 ，过点 作 轴交新抛物线于点 ，射线 交新抛物线于点 ，如果 ，求 的值． 23．如图，矩形 中，，，在 边上取一点 ，将 翻折，使点 落在点 处，折痕为 ， 交于点 ． 【特例感知】（1）如图 1，若点 恰好落在边 上，求证：； 【变式求异】（2）如图 2，若点 是 的中点，点 落在矩形内部，求点 到 的距离； 【化归探究】（3）如图 3，若 ， 交 于点 ，求 的长． 图 1 图 2 图 3 学科网（北京）股份有限公司 $