第21章 二次函数与反比例函数期中复习基础训练 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

九年级上二次函数与反比例函数期中复习基础训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将二次函数化为的形式，则，的值分别为（     ） A． B． C． D． 2.若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 4.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 5.（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 6.（26-27九年级上·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 9.（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 12.（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 13.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 14.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在二次函数（）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）的值为__________； （2）设的图象与轴交点为，（）．若，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线的顶点坐标； （2）如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 16.（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求该二次函数的最大值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． （1）当时，求的取值范围； （2）求的面积． 18.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线过与 且有最大值． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与轴交于点，，在抛物线上存在一点使的面积为，求出点的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）直接写出y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 20.（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 六、解答题（本题满分12分） 21.（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 七、解答题（本题满分12分） 22.（2026·安徽马鞍山·三模）已知二次函数（为常数）的图象分别记为，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3． （1）求的值． （2）若点在上，点在上． ①当时，求的最大值； ②当时，无论取任何实数，始终都有成立，求的值． 八、解答题（本题满分14分） 23.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上二次函数与反比例函数期中复习基础训练 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将二次函数化为的形式，则，的值分别为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：.∵顶点式为， ∴，．故选：B 2.若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【详解】由抛物线平移得到，且对称轴是直线：设抛物线的解析式为：，过点，得到解得：，所以抛物线的解析式为：故选：D 3.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【详解】解：∵反比例函数，，∴图象分布在第二、四象限，故A选项正确； ∵，当 时，随的增大而增大，故B选项正确；当时，，故图象经过点，故C选项正确；对于D选项，若，则，此时成立；但若，则，故不一定成立，因此D选项不正确．故选：D． 4.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵当时，，当时，，∴方程的一个根在与之间，∵，即对应的函数值更接近，∴该方程的一个近似根为．故选：B 5.（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【详解】解：对于二次函数，令，则，∴二次函数的图象与y轴的交点为，∵对于一次函数，令，则，∴一次函数的图象与y轴的交点为，∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ．则不等式可变形为，即，∴由图象可得，它的解集是．故选：C 6.（26-27九年级上·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，，， ，，解得：，，， 点的坐标是，点的坐标是，如下图所示，轴于点， 点的坐标是，，．故选：C 7.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，由直线从左下到右上可知即，矛盾，故本选项错误；B、由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，因故，由直线从左下到右上可知 即，与轴交于正半轴可知，一致，故本选项正确； C、由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，因故，由直线与轴交于正半轴可知，矛盾，故本选项错误； D、由抛物线开口向下可知，由直线从左上到右下可知 即，矛盾，故本选项错误.故选：B 8.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形，，， ，，在与中， ，，，，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，， ，，解得（负值不合题意，已舍去）， ．故选：C 9.（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的交点位于原点上方，，故结论①错误； ∵抛物线与轴有两个交点，，故结论②正确；对称轴为直线， ，即，故结论③正确；当时，对应的点在轴下方的抛物线上，，故结论④正确；对称轴为直线，与时的函数值相等， 当时，，当时，，故结论⑤正确；抛物线开口向下， 当时，函数取得最大值，，即，故结论⑥正确．综上所述，正确的结论有5个．故选：C 10.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：连接，∵四边形是矩形，点M是的中点，∴，， ∴．当点P与点B重合时，此时；当点P与点M重合时，运动时间是，则，∴，解得． 当时，即线段在上运动时，；当时，即线段在，上运动时， 可知，则，， ∴； ，抛物线开口向上，当时，；当时，即线段在上运动时，．所以图B符合题意故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限，，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如1． 12.（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 【详解】解：二次函数（n为常数），该函数的对称轴为直线，图象开口向上，当时，函数值的最大值与最小值之和为15，当时取得最小值，当时取得最大值，， 解得或8，，． 13.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设，∵，∴是等腰三角形， ∴，∵， ∴，，，∴， ∵，∴，∵轴于点，∴设， ∵点位于第二象限，∴，，∴，解得：． 14.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在二次函数（）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）的值为__________； （2）设的图象与轴交点为，（）．若，则的取值范围是__________． 【详解】解：（1）∵点在二次函数的图象上， ∴把，代入解析式得：，整理得：，∵二次函数对称轴为，代入得：． （2）由得二次函数解析式为，∵该函数图象与轴交点为，， 根据根与系数的关系可得：，，∵，∴， 代入得：，∵，∴， 三边同除以得：，平方得：，整理得：，∵，∴． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线的顶点坐标； （2）如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵ ，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线的表达式为，代入，得，解得．故平移后的抛物线的表达式为． 16.（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求该二次函数的最大值． 【详解】（1）解：把点和代入，得 ，解得该二次函数的解析式是． （2）解：，该抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而减小，又， 当时，该二次函数有最大值，最大值为． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． （1）当时，求的取值范围； （2）求的面积． 【详解】（1）解：点在一次函数上，，，， 在反比例函数上，，，，联立方程组 ，，解得，当时，， ，，结合图象，当时，的取值范围是或． （2）解：一次函数，当时，，直线与轴交点，， ∴． 18.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线过与 且有最大值． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与轴交于点，，在抛物线上存在一点使的面积为，求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵ 与 ，∴对称轴为，∵抛物线的最大值为，∴顶点坐标为， ∴，把点代入，解得：，∴． （2）解：∵抛物线与 轴交于点 ，，∴，解得：，， ∴，设点，∴，，解得：，∴； ①当时，，整理得：， ，无解，不符合题意； ②当时，，解得：，；∴点的坐标为：或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）直接写出y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设，将代入得：  ，  解得：， ． （2）解：由题意可得：，，∴抛物线开口向下，对称轴是直线，又∵，当时，有最大值，， 答：W与x之间的函数表达式为，售价为70元时获得最大利润，最大利润是元． 20.（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：，∴， ∴，∴反比例函数解析式为，联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设，把代入直线得：，解得：， ∴，∵，∴根据两点间距离公式可得：，，，当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴，解得：（不符合题意，舍去），∴； 当时，由勾股定理可得：，∴， 解得：，∴；综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 六、解答题（本题满分12分） 21.（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：，把代入，得，解得，∴函数表达式为：． ②当时，，由题意得，， 当时，整理得，，令， 当时，，解得，， ∴的解集为；当时，整理得，，令，当时，，解得，， ∴的解集为或； 由题意得，，综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，，解得，（舍去），∴丙的平均速度为（米/秒）． 七、解答题（本题满分12分） 22.（2026·安徽马鞍山·三模）已知二次函数（为常数）的图象分别记为，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3． （1）求的值． （2）若点在上，点在上． ①当时，求的最大值； ②当时，无论取任何实数，始终都有成立，求的值． 【详解】（1）解：二次函数（为常数）的图象分别记为， 的对称轴为直线，的对称轴为直线，的对称轴在的对称轴的右侧， ，解得，的顶点纵坐标为，的顶点纵坐标为， 且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3，，化简得 ， ． （2）解：①由（1）得，，点在上， ．点在上，且，， 当时，取得最大值． ②由①得， 当时，， 由题意，对任意成立，即，化简得，上式对任意恒成立， 且，解得，综上，． 八、解答题（本题满分14分） 23.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：令，则，令，则，，∴，， ∴，∵，∴，∴，设抛物线， 代入，得，，∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则，∴， ∵轴，∴点C到的距离为，点B到的距离为，∴， ∵∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在．设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得，∴， ∵，∴．∴，∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得（舍去），．∴，∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∵轴，即轴，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得，（舍去），∴，∴，综上所述，M的坐标是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $