精品解析：云南省多校2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026年秋季学期第一次月考 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第一册第一章和第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 16 D. 18 8. 某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. 所有平面四边形的内角和都是 B. 平行四边形的对角线相等 C. 有些实数是无限不循环小数 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 10. 如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和3，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则_____. 13. 已知，则集合的子集的个数是______． 14. 若命题“，”是假命题，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，或，求： （1）； （2）. 16. （1）比较与的大小； （2）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值． 17. 已知集合，集合. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. （1）若集合中只有一个元素，求实数a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围． 19. 要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b． （1）若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小． （2）若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期第一次月考 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第一册第一章和第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空集的性质，结合数集的符合表示逐一判断即可. 【详解】对于A，因为是任何集合的子集，N是自然数集，则A正确； 对于B，因为含有元素，不是空集，故B错误； 对于C，因为R是实数集，则，故C正确； 对于D，因为Q是有理数集，则，故D正确. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义知. 故选：A. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】“，”的否定是：，， 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解出不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由，即，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，化简，两式相除为非负等价于两式相乘为非负且分母不为0，解不等式即可. 【详解】不等式可化为，等价于，解得或， 所以原不等式解集为或. 故选：D 6. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质，推导出的取值范围. 【详解】因为， 可得， 所以， 即； 故选：A. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 8. 某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. 所有平面四边形的内角和都是 B. 平行四边形的对角线相等 C. 有些实数是无限不循环小数 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称量词的概念，排除选项C，再对其它选项一一判断真假得到答案. 【详解】对于A，所有的平面四边形的内角和都是，故A是真命题； 对于B，平行四边形的对角线不一定相等，故B是假命题； 对于C，不是全称量词命题； 对于D，由线段垂直平分线的性质可知D是真命题. 故选：AD. 10. 如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质或特殊值法逐项分析即可. 【详解】选项A：取，，则，故A错； 选项B：取，则，故B错； 选项C：取，，，，则，，故C错； 选项D：由题意可知. 由于，所以，所以， 则，故D正确． 故选：ABC． 11. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和3，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得方程的根为和，利用根与系数的关系可判断AB；结合解一元一次不等式及一元二次不等式的方法可判断CD. 【详解】由题可得方程的根为和， 对于A：，可得，，可得，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，即，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D：，即，即， 即，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故答案为： 13. 已知，则集合的子集的个数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】由题可得，根据含有个元素的集合有个子集求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，所以集合的子集的个数是. 14. 若命题“，”是假命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由特称命题与全称命题的真假关系转化命题，分离参数，借助基本不等式求最值，求解参数的范围. 【详解】命题“，”是假命题， 因此其否定“，”是真命题，即不等式在上恒成立. 分离参数得，即在上恒成立. 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为4. 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，或，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）先求出，再根据并集的定义求解即可. 【小问1详解】 由，或， 则. 【小问2详解】 由，或， 则或，， 所以或. 16. （1）比较与的大小； （2）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值． 【答案】（1）（2）最小值为7，此时． 【解析】 【详解】（1）， 故； （2）因为，所以， ， 当且仅当时等号成立，解得，即的最小值为7，此时， 故当时，取得最小值. 17. 已知集合，集合. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由题意确定，列出不等式组，即可求得答案； （2）根据可列出不等式，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得， 由是的充分条件知， 从而有，解得. 故的取值范围为. 【小问2详解】 ，且， 或， 解得或，故的取值范围为或. 18. （1）若集合中只有一个元素，求实数a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）集合仅含一个元素，分二次项系数为0和不为0两类讨论，求出的值； （2）对二次项系数分类讨论，先验证二次项系数等于0的情形；再结合开口方向与判别式求出的范围即可. 【详解】（1）由集合中只有一个元素， 当，即时，，符合题意： 当，即时，，解得. 综上，实数的值为或. （2）若，即. 当时，原不等式化为，恒成立，符合题意； 当时，原不等式化为，不符合题意，舍去； 若，要使恒成立， 需要满足，解得，即. 综上，的取值范围为. 19. 要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b． （1）若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小． （2）若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？ 【答案】（1）当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小 （2）高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512 【解析】 【分析】（1）设每一栏长x，宽为y，则有，所以，利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得，，，利用基本不等式求解即可． 【小问1详解】 设每一栏长x，宽为y，由题意可得，故， 所以， 当且仅当时等号成立， 此时， 所以当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小； 【小问2详解】 由题意可得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时栏高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $