精品解析：云南省曲靖市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

曲靖市第二中学2026级高一上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先把全称量词改为存在量词，范围不变，再否定结论即可. 【详解】∵命题：， ∴否定为. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为，即，可得， 对于函数,需使, 的定义域为. 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合间的包含关系求解即可. 【详解】由，得， 解得， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 6. 已知集合，，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求解即可. 【详解】. 因为，集合中已有元素2，所以，即或. 当时，，满足，故满足题意； 当时，. 当时，集合不满足互异性，舍去； 当时，，满足，故满足题意. 综上，的取值集合为. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由可得矩形的高，进而可得矩形的面积，再结合面积的范围可得边的范围. 【详解】如图，过作于，交于，则. 因为，所以，因此，即， 得，，所以矩形花园的面积， 又因为矩形的面积不小于，所以， 即，，解得. 因此的取值范围为． 8. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示出集合，再利用补集的定义即可判断． 【详解】由题意得 ， ， 所以， 故． 二、多选题 9. 下列集合表示图中阴影部分的为（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据韦恩图及交并补的意义求解. 【详解】对于A：中含有中的元素，与阴影部分不符，A错误； 对于B：阴影部分由在集合中且不在集合中的元素组成，即，B正确； 对于C：表示不在集合A中或不在集合B中的元素组成的集合，与阴影部分不符，C错误； 对于D：表示在集合中但不在集合中的元素组成的集合，与阴影部分相符，D正确. 10. 如图所示，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ） A. 有且仅有一个实数解 B. C. D. 时的解集是 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数图象确定函数解析式可写为，取解方程判断A，再根据二次函数的性质判断BC，根据一元二次不等式的解与二次函数图象的关系判断D． 【详解】因为二次函数的图象的对称轴为， 点坐标为，所以点的坐标为， 所以可以据此求出二次函数， 若，则可解出或，故A错误； ，即，故B正确； 显然有两个不同实数解，于是，故C错误； 的解集显然是，故D正确. 故选：BD. 11. 已知a，b，c为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 三、填空题 12. 已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论求解不等式的解集. 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得， 综合得不等式的解集是， 故答案为：. 【点睛】本题考查分段函数不等式，关键要对分类讨论，从而确定，是基础题. 13. 已知集合，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，进而得到和是方程的两个实数根，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组求 ，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，， 所以和是方程的两个实数根， 则，解得，， 所以. 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合，若不是完美集合，则称是不完美集合.集合的所有非空子集中的不完美集合有______个． 【答案】 【解析】 【详解】集合有9个元素，非空子集共个. 因为含0或含（其倒数不在集合中）的子集都不完美， 完美子集只能由组合，共个，其中非空7个， 所以不完美集合有个. 四、解答题 15. （1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：且，即，故， 所以. 【解析】 【详解】（1）， 故； （2）略 16. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【详解】（1）解不等式，即，得，即， 不等式则，解得或，即或， 所以或，． （2）由（1）及，得或． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点. （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值. 【答案】（1）； （2）；最小值为. 【解析】 【分析】（1）代入的坐标即可求抛物线表达式； （2）求出点坐标，得到直线方程，则点到直线的距离为的高，利用的面积取得最大值时，高也是最大值，即可求出点的坐标，再将转换成点到直线的距离，再利用几何关系，三点共线时距离和最小，即可求的最小值. 【小问1详解】 因为抛物线过点，所以. 将代入解析式，得，则. 所以抛物线表达式为. 【小问2详解】 令，则，解得，则. 所以. 因为，所以，则直线方程为. 联立直线与抛物线得，解得或. 所以. 直线方程，设，. 点到直线的距离为 因为，所以，所以. 所以. 因为为定值，所以最大，只需取得最大值. ， 则当时，取得最大值，即取得最大值. 此时，即. 过作直线，即，它与轴的夹角为. 所以点到直线的距离为. 所以. 当与到的垂足三点共线，且该直线垂直于时，上式取得最小值，最小值等于点到直线的距离为. 取最小值时，过作的垂线，其斜率为，方程为. 令，解得，即. 19. 已知函数. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若方程在上恰有一解，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有个正整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出函数在上的最大值，使得最大值小于等于即可； （2）将方程化为，根据判别式分类讨论根的个数以及根的范围即可求解； （3）将不等式因式分解后，分类讨论解集，根据题意得到解集的取值范围即可求解. 【小问1详解】 若，恒成立， 由于，在上最大值为，所以，解得， 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 方程等价于， 当判别式，即时，此时方程为，在内恰有一解； 当判别式，即时，要使方程在内只有一个根， 则设，若时，方程在内恰有一解，即，解得； 若时，即，解得，方程为，根为，满足条件； 若时，即，解得，方程为，解得是重根，满足条件； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 不等式化为，即， 当，即时，解集为，已知不等式恰有个正整数解， 由于且，若正整数解为，则，无解； 若正整数解为，则，解得； 若正整数解为，则，解得；若正整数解为，则，无解； 以此类推，均无解；所以，要使不等式恰有个正整数解，则需或； 当，即时，解集为空集，不符合题意； 当，即时，解集为，不等式恰有个正整数解，则，即，矛盾，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市第二中学2026级高一上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列集合表示图中阴影部分的为（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ） A. 有且仅有一个实数解 B. C. D. 时的解集是 11. 已知a，b，c为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知函数，则不等式的解集是______. 13. 已知集合，，且，则__________． 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合，若不是完美集合，则称是不完美集合.集合的所有非空子集中的不完美集合有______个． 四、解答题 15. （1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 16. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点. （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值. 19. 已知函数. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若方程在上恰有一解，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有个正整数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $