精品解析：吉林吉林市第七中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

吉林市第七中学2026-2027学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既是轴对称图形也是中心对称图形； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形； C选项不是轴对称图形而是中心对称图形； D选项既不是中心对称图形也不是轴对称图形． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足二次项系数不为0，据此列不等式求解． 【详解】解：由题意得，解得． 3. 下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简B选项的表达式，再结合二次函数的定义逐一判断． 【详解】解：A．是反比例函数，不是二次函数； B． 化简得，是一次函数，不是二次函数． C．符合二次函数的定义，是二次函数． D． 分母含有自变量，不是整式函数，不是二次函数． 4. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：把代入， 得， ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限． 5. 已知的直径为，点在内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点在内， ∴， 四个选项中，符合要求． 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x=＜0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵﹣1＜＜0， ∴2a﹣b＜0，故②正确； ∵当x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故③正确； ∵当x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0，故④正确． 综上所述，正确的个数有4个． 故选D． 【点睛】考点：二次函数图象与系数的关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 8. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，4），点C的坐标是（1，3），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_______． 【答案】（-1，2） 【解析】 【分析】根据图形作线段AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解： 如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交点M，即为弧的圆 即圆心的坐标是（-1，2）， 故答案为（-1，2）． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，解题关键是数形结合． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ=14，则k的值为______． 【答案】-20 【解析】 【分析】由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+×|8|=14，然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP， ∴|k|+×|8|=14， ∴|k|=20， 而k＜0， ∴k=-20． 故答案为-20． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，解题的关键是知道在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题． 10. 已知关于的一元二次方程无实数根，则的图象不经过第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实根的条件推导的取值范围，结合一次函数的图象特征判断不经过的象限． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴解得， ∵一次函数的一次项系数，常数项， ∴该函数图象经过第一、三、四象限， ∴该图象不经过第二象限． 11. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先令，求出点，即可求出，再将点A沿着y轴向下平移2个单位长度，得到点F，连接，然后根据平移的性质说明四边形是平行四边形，可得，接下来说明当点F，C，E三点共线时，即点C是直线与抛物线的交点时，的值最小，再求出直线的关系式，最后联立可得答案． 【详解】解：令， 解得， ∴， ∴． ∵， ∴． 将点A沿着y轴向下平移2个单位长度，得到点F，连接， ∵点A沿着y轴向下平移2个单位得到点F， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线的对称轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵抛物线是轴对称图形， ∴， ∴， ∴当点F，C，E三点共线时，即点C是直线与抛物线的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ∴点． 由平移的性质可得点F的纵坐标为， ∴点． 设直线的关系式为，将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 在抛物线中，其对称轴为直线． 要使的值最小，则点C的坐标满足， 解得， ∴点． 三、解答题（12，13，14每题6分；15，16，17每题7分；18，19每题8分；20，21每题10分；22题12分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程求根公式是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， 方程有两个不等的实数根，即， 即． 13. 已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象上任取点和点．如果，那么和的大小关系是________（用“>”、“<”或“=”表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象的特征作答即可； （2）根据反比例函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵图象的一支位于第一象限， ∴图象的另一支位于第三象限，， ∴； 【小问2详解】 解：由反比例图象可知，当时，． 14. 如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆周角、弧的关系得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求抛物线与坐标轴交点坐标． 【答案】（1） （2）与y轴的交点坐标为，与x轴无交点 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式． （1）设顶点式，然后把代入求出即可得到抛物线解析式； （2）通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为0时的函数值得到抛物线与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 整理：，无实数解， 故抛物线与轴无交点， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的情况，利用根的判别式列出不等式求解； （2）根据根与系数的关系求解，然后根据的取值范围进行取舍． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵，代入得， ， 解得， ∵，且， ∴， 则， 即， ∴不符合题意，舍去， ∴． 17. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． （2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】（1） 如图，，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求作的三角形， 【解析】 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 18. 一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． （1）求a与k的值； （2）当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） （3）在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）由图像即可判断； （3）分点D在轴正半轴上时和负半轴上时两种情况，再分别求得点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当时，由图可知， 故答案为： 【小问3详解】 解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 19. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）①每个应降价3元；②每个应该降价2元，此时最大利润为360元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． （1）设每次降价的百分率为，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）①设每个应降价x元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论； ②设每个应降价x元，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据顶点式求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：设每个应降价x元， ①根据题意得：， 解得或， 售价不低于进价， 舍去， ， 每个应降价3元； ②设甲商品每天的销售利润为W元， 根据题意得 ，当时，W取最大值，最大值为360， 每个应该降价2元，此时最大利润为360元． 20. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． （1）线段的长为__________（用含的代数式表示）； （2）当点恰好落在边上时，则的值为__________； （3）求与之间的函数关系式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）证明和都是等腰直角三角形，利用全等三角形和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时，如图： ∵， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】旋转 90° 且 ，可得、，把旋转条件翻译成"两组平行"后，平行四边形的形状完全由 t 决定；分段点就是 R 落在 BC 上的时刻 t = 2，第二段用"整体减截角"即可． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，列函数关系式，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 21. （1）如图1，在中，，，点，在上，．为了探究，，之间的等量关系，现将绕点顺时针旋转90°得到，连接．经探究，，，之间的等量关系式是_______．（无需证明） （2）如图2，在中，，，点，在上，，．试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）， （2）， 证明：将绕点A顺时针旋转得到，连接． 由旋转的性质可得， ∴，，． ∴． 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，故． 在中，由勾股定理，得 ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用． （1）将绕A顺时针旋转90°后成，可证，故，旋转角，又，故，易证，故，因为中，，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段，，之间的等量关系式； （2）方法同（1），由可得，故，斜边，直角边，由勾股定理建立等量关系即可得答案． 【详解】（1）将绕A顺时针旋转90°后成，连接， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； 故答案为：； （2）略 22. 在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求点到直线的距离； （3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，此时的取值范围是____________________，这个定值为________； （4）在抛物线上找点，在轴上找点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）； （3），4； （4）、、、． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，再根据三角形的面积公式求解； （3）根据图象可得当抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （4）根据点的位置可知由以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则为边，不可能为对角线，若为边，则为对边，且，故，即，设，．由此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称，， 点， 过点作，垂足为， ，． ； 【小问3详解】 解：设点关于对称轴对称点，则，如图所示， 当点P在点C和点之间时，点与点C之间（包含点和点C）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， 此时的取值范围为：； 【小问4详解】 解：已知，，设，． 以为顶点的四边形是平行四边形． 若为对角线，则P、Q为另一组对角顶点，需，超过抛物线最大值9，舍去； 若为边，则为对边，且，故，即， 当时，，解得：， 当时，，对应，得； 当时，，对应，得； 当时，，解得：， 当时，，对应，得； 当时，，对应，得； 综上所述：Q的坐标为：、、、，共四个． 【点睛】垂直、平行条件一律先翻译成坐标关系；斜边上的高优先用等面积法；存在性问题必须分类，并检验是否漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第七中学2026-2027学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 5. 已知的直径为，点在内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 8. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，4），点C的坐标是（1，3），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_______． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ=14，则k的值为______． 10. 已知关于的一元二次方程无实数根，则的图象不经过第________象限． 11. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是__________． 三、解答题（12，13，14每题6分；15，16，17每题7分；18，19每题8分；20，21每题10分；22题12分） 12. 解方程：． 13. 已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象上任取点和点．如果，那么和的大小关系是________（用“>”、“<”或“=”表示）． 14. 如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 15. 抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求抛物线与坐标轴交点坐标． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值. 17. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． （2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 18. 一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． （1）求a与k的值； （2）当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） （3）在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 20. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． （1）线段的长为__________（用含的代数式表示）； （2）当点恰好落在边上时，则的值为__________； （3）求与之间的函数关系式． 21. （1）如图1，在中，，，点，在上，．为了探究，，之间的等量关系，现将绕点顺时针旋转90°得到，连接．经探究，，，之间的等量关系式是_______．（无需证明） （2）如图2，在中，，，点，在上，，．试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 22. 在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求点到直线的距离； （3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，此时的取值范围是____________________，这个定值为________； （4）在抛物线上找点，在轴上找点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $