专题02 等差数列的通项、前n项和及其性质（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02等差数列的通项、前n项和及其性质 题型归纳 题型一等差数列的基本量运算与通项 题型二前n项和公式的应用 题型三两个等差数列前n项和之比 题型四等差数列的性质与奇偶项和 题型五S.的最值与单调性 题型六综合应用 题型专练 题型一：等差数列的基本量运算与通项 1.在公差不为0的等差数列an中，2a+ag=48,则() A.ag=16 B.a7=16 c.a6=16 D.a4=16 2.已知数列an}为等差数列，其中a6,a10为方程x2+4x+3=0的两根，则ag=() B.-2 c.3 3 3.在等差数列an中，a1+3a+a13=16,则3ag-a13的值为() A 32 B.12 c.24 D.48 4.已知等差数列-5，-9，-13，…，则下列属于该数列的项的是() A.-33 B.-23 C.-27 D.-39 5.60是等差数列4,6,8，…的() 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第31项 6.已知等差数列{an中，a1=1,a3=5,则数列an的前5项和S5=() A.20 B.24 C.25 D.30 7.已知等差数列an,a1=3,a7=15,则a4=( A.7 B.9 C.11 D.-9 8.已知等差数列an满足a2+ag=6,a6=4,则a4=() A.2 B.0 C.-1 D.-2 题型二：前n项和公式的应用 1.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,若a2+a4+a6=6,则S7= 2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若2a1+3a11=5,则S13=_ 3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=5,S-S2=27,则Sn= 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=35,S10=120,则a=() A.13 B.17 C.15 D.19 5.等差数列an的前n项和为Sn,满足：a1=1,a13=3,则S25=() A.72 B.75 C.60 D.100 6.已知S,为等差数列Q的前n项和，若Sg 5,则a,=() 1 A.5 c 7.在等差数列中，S1=22,则a6= 8.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a5十a6=4,Sg=9 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求数列an的通项公式和前n项和为Sn: (2)设bn=an,求数列bn的前n项和Tm. 题型三：两个等差数列前n项和之比 Sn_n+3 1.已知等差数列a,与等差数列b.的前n项和分别记为S,T,若广。n+4则 bs 的值为( ) 11 19 A.12 B.20 18 12 C.19 D.13 n 等差数列Q、b,的前n项和分别为Sn、T,且。2n+1则6( A.2 B.2 c 号 3.若S,表示等差数列，的前n项和，方则 S5_1 0=() 1 A.9 B.5 C.10 a4=() 4.等第数列ab,的前n项和分别记为5…T.若了。2n+4别o,+6 Sn 3n 3 A.15 .7 c D.6 Sn=2n a2+a8=() 5.已知等差数列a小，b.的前m项和分别为sT,若T3n+打则b,+b, 0 5 A.31 b.8 10 9 C.13 D.14 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ Sm-31n+101 6.圆a,与b.是两个等差数列，它们的前n项和分别为5，和工.若7，=n+3,则： 2= bo d5- 2bs a+au= (3)p:+bu a1+a4+a1= (4)b+ba+b 5)ba 6)求使。为整数的正整数n的集合。 题型四：等差数列的性质与奇偶项和 1.已知项数为奇数的等差数列Qn共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是( ) A.9 B.10 C.11 D.13 2.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数 为() A.39 B.9 C.19 D.29 3.等若数列a,中，已知公差d=号且a,+a,++ag=50,则0，+a:+中ao=(） A.50 B.75 c.100 D.125 4.已知等差数列an中，a3+a19=12,则a7+a1+a15= 5.设等差数列an的前n项和为Sn,若S30-S27=21,则a29=_ 32 6.一个等差数列a,的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S与前12项中奇数项的和S之比为27 416 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则公差d= 7.在项数为奇数的等差数列Qn中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是 题型五：Sn的最值与单调性 1.已知等差数列an的前n项和为Sn,公差为d且Sn为递减数列，若a,=-5,则d的取值范围是( ) A. B.-1,0 c.-1,0 D. 2.已知数0伪等装数列，若2<-山，口它的前加项S,右最大位，则使S>0成立的：的最大值为《 A.40 B.39 C.21 D.20 3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S12>0,S13<0,则使得Sn取得最大值的n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 4.等差数列ann∈N的公差为d,前n项和为Sn,若a1>0,d<0,S3=Sg,则当Sn取得最大值时，n= () A.4 B.5 c.6 D.7 5.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=15,S16=0,则当Sn取最大值时n的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 6.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a1<0,a2=0,则满足Sn≤an的n的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知等差数列a的首项a=11,公差d=- 4，当la最小时，n= 8.设Sn为等差数列an的前n项和，已知a3=-6,当n=4或5时，Sn取得最值，则an的公差d= 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：综合应用 1.在△ABC中，角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列，若7sinA=3sinC,则△ABC的 面积为() A.33 3V3 B. 4 c.153 2 0.53 4 2.已知公差不为0的等差数列an满足a5+2ag=0,若Sg=Skk≠9，则k=（) A.7 B.6 C.5 D.4 y 1_+1+…+ 1 3.若等差数列an满足a1o3= ,则4+24+2 405+2 4.已知无穷等差数列an的各项均为正整数，且ag=2024,则a1的最小值是 1 5.若方程x2-2x+mx2-2x+n=0的四个根组成一个首项为4的等差数列，则lm-n=（) A.2 B.1 c.4 0.2 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=a6+5,a2n=2an+1. (1)求数列an}的通项公式； (2)求数列|a,-8}前n项和Tm 616面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02等差数列的通项、前n项和及其性质 题型归纳 题型一等差数列的基本量运算与通项 题型二前n项和公式的应用 题型三两个等差数列前n项和之比 题型四等差数列的性质与奇偶项和 题型五S.的最值与单调性 题型六综合应用 题型专练 题型一：等差数列的基本量运算与通项 1.在公差不为0的等差数列an中，2a5+ag=48,则() A.ag=16 B.a7=16 C.a6=16 D.a4=16 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,因此等差数列的通项为an=a1+(n-1)d, 故a5=a1+4d,ag=a1+7d, 因此2a5+ag=2a1+8d+a1+7d=3a1+15d. 故3(a1+5d)=48,即a6=16 2.已知数列an}为等差数列，其中a6,Q10为方程x2+4x+3=0的两根，则ag=() B.-2 c.V3 A 【答案】B 【解析】由根与系数的关系及等差中项的性质求ag 数列an}为等差数列，其中a6,a10为方程x2+4x+3=0的两根， 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题，根据韦达定理可得a6+a10=-4, 由等差数列的中项性质得Q6+Q10=2ag=-4,所以Qg=-2 3.在等差数列an中，a1+3a7+a13=16,则3ag-a13的值为() 32 A.5 B.12 C.24 D.48 【答案】A 1 【分析】利用等差数列下标和性质a1+a13=2a7,代入条件化简求出a7= 5,再将3ag~a13用通项展开 化简得2a7,代入Q即可算出结果. 【解析】设数列an的公差为d, 因为an是等差数列，所以a1+a13=2a7, 由a,+3a,+ag=16，可得5a,=16,解得a,=1 所以3a,-ag=3a,+8d-a,+12d=2a,+12d=2a+6d=2a,=32 4.已知等差数列-5，-9，-13，…，则下列属于该数列的项的是（) A.-33 B.-23 C.-27 D.-39 【答案】A 【解析】因为数列-5，-9，-13，…为等差数列，且a1=-5,d=-9--5=-4, 所以an=-5+n-1×-4=-4n-1 对A,由-4n-1=-33→n=8,所以-33为该数列的第8项； 对B,由4n-1=-23今n= 2,不是整数，所以-23不是该数列中的项： 对c由-4n-1=-27→n=13 ,不是整数，所以-27不是该数列中的项： 对D,由-4n-1=-39→n=19 ，不是整数，所以-39不是该数列中的项 5.60是等差数列4,6,8，…的() A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第31项 2/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【解析】等差数列4,6,8，.…的通项公式为an=2n+2, 令2n+2=60,得n=29,则60是等差数列4,6,8，…的第29项 6.己知等差数列{an中，a1=1,a3=5,则数列an的前5项和S5=() A.20 B.24 C.25 D.30 【答案】C 【解析】设等差数列{an的公差为d, 由a3=a1+2d得5=1+2d,所以d=2. 于是a5=a1+4d=1+8=9, s,-5〔a+a5×10 2 25 7.已知等差数列an,a1=3,Q7=15,则a4=() A.7 B.9 C.11 D.-9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解 【解析】等差数列a,a1=3,a,=15,则a,=01十=9 2 故选：B 8.已知等差数列an满足a2+a8=6,a6=4,则a4=() A.2 B.0 c.-1 D.-2 【答案】A 【解析】.数列an为等差数列，a2+ag=6,a6=4, ∴.a+a4=a2+a8,得a4=a2+aga=6-4=2. 题型二：前n项和公式的应用 1.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,若a2+a4+a6=6,则S,= 【答案】14 3/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】因为数列a是等差数列， 所以a2+a4+a6=3a4=6,所以a4=2, 所以S, 7×a1+a=7×a4=14. 2 2.己知Sn是等差数列{an}的前n项和，若2a1+3a1=5,则S13= 【答案】13 【解析】设等差数列an公差为d, 则2a1+3a11=2a1+3a1+10d=5a1+30d=5 化简得a1+6d=1,即a,=1, 等差数列前n项和公式：S,-na+o 2 所以S13 13(a,+a_13×2a=13a7, 2 代入a2=1,得S13=13×1=13 3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=5,S5-S2=27,则Sn= 【答案】n2+2n 【分析】由等差中项求得a4,再由等差数列项之间的关系求得公差，即可求得首项，然后由等差数列前 n项和公式求得结果， 【解析】因为S,-S2=a3+a4+a5=3a4=27,所以a4=9, 设a,的公差为d则d=a4,0=2.则a,=a,-d=3, S.=na+n-1d-3n+n-n=n+2n. 2 4.己知等差数列{a,}的前n项和为Sn,若S,=35,S1o=120,则ag=() A.13 B.17 C.15 D.19 【答案】B S5= 5a1+a =5a3=35 2 a3=7 【解析】由 10la+a0-5a,+ag=120 得 a8=17 S10 5.等差数列an的前n项和为Sn,满足：a1=1,a13=3,则S25=() 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.72 B.75 C.60 D.100 【答案】B 【分析1由S5-a105×25=25Qg,代入即得解 2 【解析】由a13=3可得： S25= 1+025×25 2a3×25=25a3=75, 2 故选：B 6.已知S,为等差数列an的前n项和，若SB=号，则a,=(》 A 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可， 【解析】解：由等差数列的性质可得S13 13a1+a3=13a,= 3 2 5 0, 故选：A. 7.在等差数列中，S11=22,则a6= 【答案】2 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可求解 【解析】等差数列中，S1=22,所以S1= 1a+am=1a。=2,所以a,=2 2 故答案为：2 8.己知等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a6=4,Sg=9 (1)求数列an的通项公式和前n项和为S: (2)设bn=an,求数列bn的前n项和Tn 【答案】(1)an=2n-9,Sn=nn-8】 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2T,=D8-n,1sn≤4，n∈N n2-8n+32,n≥5，n∈N 【分析】(1)由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求得a5,进而求得as后可得公差d,从而求 得an,a1,然后由前n项和公式得结论： (2)确定{an}中项的正负，按正负分类进行求和. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为Sg 9a+a=9a,=9,所以a,=1, 2 又因为a5+a6=4,所以a6=3,所以d=a6-a5=3-1=2, 所以a,=a,+n-5jd=1+n-5j×2=2n-9,s,-na,ta=nln-8 2 (2)由(1)知，an=2n-9,Sn=nn-8, 当1≤n≤4，n∈N时，an<0:当n≥5，n∈N时，an>0, 当1≤n≤4，neN时，Tn=b+b2+…+bn=-a1+a2+…+an=-Sn=n8-nl: 当n≥5，neN时，Tn=b1+b2+…+bn=-a1+a2+a3+a4+a+a6+…+an =-S4+Sn-S4=Sn-2S4=nn-8+2×16=n2-8n+32, 综上可得，数列b,的前n项和T,=n8-m,1≤n≤4，n∈N n2-8n+32,n≥5，neN 题型三：两个等差数列前n项和之比 Sn_n+3 as 1.已知等差数列a,与等差数列b,的前n项和分别记为S,T,若子n+4则 的值为( 11 19 A.12 B. 20 C.1a o号 【答案】D 【分析】等差数列中S2m-1=2n-1a,把“项之比”化成“和之比”. 9l0ta=9a1, 【解析】Sg=一2 9(bi+bol=9bs. 2 0=S9=9+3-12 所以6T)9+413 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sn as=(） 2.已知等差数a小b,.的前n项和分别为S、T,且元2n+T则 n 1 1 A.2 B.2 c月 【答案】C Sa=-n 【解析】由愿知7，=2n+设S,=An,I,=An2n+1,A≠0，n∈N, aan=S-Sn-1=A(2n-1),bn=Tn-Tn-1=A(4n-1), a5-A2×5-1_9_3 故6A4×4-1155 3.若Sn表示等差数列an的前n项和， S=1 S0=） A.9 B. c品 1-3 D 【答案】C 【分析】可知S10=3S5,且S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15也为等差数列，根据等差中项可得 S1s=6S5,S20=10S5,即可得结果 【解折]因为S-S03S,且S0,mSnS=25 又因为Sn为等差数列an的前n项和，则S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15也为等差数列， 可得2S10-Ss=S15-S10+S5,即4S=S15-3S+S5,则S15=6S5, 且2(S15-S10=S0-S15+S10-S5,即26S5-3S5=S20-6S5+3S5-S5, 可得6S5=S20-4S5,即S20=10S5, S10=3S3=3 所以s010s,0 a4=(） 4等差数列ab,的前n项和分别记为S,T若，2十4测6，+b于 4 心 A.15 B.7 7/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21 C.32 D. 6 【答案】D 【分析】根据下标和性质，结合求和公式求解即可。 3n 3×7_21_7 【解折】因为T。2+4所以7：2义7+486 a4 7×2a4 7a1+a7 2 2 S2_7 所以b,+b2 b1+b1414b1+b14 14b1+b14 T461 2 2 3 故选：D Sn=2n a2+ag=(） 5.已知等差数列a,b,的前n项和分别为5.1，若宁3n+则8，+b 0 5 A. 31 B.8 10 9 C.13 0.14 【答案】D a2+a8 Sn=2n 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对6，+b,合理变形为T,再结合T。一3+1代入求解即可。 【解析】因为等差数列an,{bn的前n项和分别为Sn,Tn, 9(a1+ag】 2 所以我们为，+。进行变形，得到 a2+a8ai+ag 69 b3+b7b1+b99(b1+bg) s' 2 Sn=2n Sg-18_9n0,+aa=9 因为了.3n+:所以了，284，即6，+b,4:放0正确 故选：D 6.设0与b.是两个等差数列.它的前n项和分别为5，和工若立+3 Sn=31n+101 则 0b9 05一 b 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a1+a1= (3),+bi 哈8会 an= 5) 为整数的正整数n的集合， (6)求使b 57 【答案】(1)5 (2)38 兴 531+4 n+1 (6{1,3} 【分析】根据等差数列的性质求解即可。 【解析】(1)因为等差数列an,{bn的前n项和分别是Sn,Tn,所以 a9-S17-31:17+101_628_157 b9T17 17+3 205： Sn-31n+101 2)若宁n+3,不妨设5，=n31n+101,T。nn+3引，n≥2时， an=Sn-Sn-1=n(31n+101)-(n-1)(31n+70)=62n+70, Q5=62×5+70=38 同理可得b,=2n+2,则62×4+2 a+a1=05=S1=31×11+101=221 (3)b,+b:b,T=11+37 a1+a4+a7-a4-S7-31×7+101_159 (4)b,+b4+b7b4T,7+35 (5) Q-S2m4-31(2n-1)+101_62n+70-31n+35_31(n+1+4-31+4 b,T2n-12n-1+3 2n+2n+1n+1 +1 （6)结合5)易如当为鉴数，受为整数 9/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为初为正整数，片以当n+1-2时，n=1.此时会-3，当n+1=4付，n=3,光 dn=32 为整数的正整数n的集合为1,3引 因此符合b 题型四：等差数列的性质与奇偶项和 1.已知项数为奇数的等差数列an共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是( A.9 B.10 C.11 D.13 【答案】c n+lx a+an) 【解析】由题意，S存=a,+a,+a,++0,= 2 =n+1x(a:+an 4 "ata.小-lx刘o,tn-”片×a+a 2 Sg=a2+a4+a6+…+an-1= 2 4 S=n+1=7乃 所以sgn-160 所以n=11. 2.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数 为() A.39 B.9 C.19 D.29 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为2n-1,利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与n的 关系，求出n,即可求出项数。 【解析】设等差数列的项数为2n-1, 设所有的奇数项和为5，则5-nQ+a山三n0 2 设所有的偶数项和为T,则T= (n-1)az+azn-21=n-1)an 2 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T_n-1-261-9 5=“n=29010,解得n=10. 故此数列的项数为2n-1=19, 3.等考数列a,中，已知公d=2且a+a;++a0=50,则0，+a:++ao=() A.50 B.75 c.100 D.125 【答案】B 【分析】将50个偶数项分别与其前一项奇数项对应，利用等差数列相邻项之差均为公差，把偶数项之 和转化为已知的奇数项之和求解. 【解析】 a+a4++a1m=a1+d+a,+d+…+ag+d=a1+a+…+ag+50d=50+50×号=75 4.已知等差数列an中，a3+a1g=12,则a7+a11+a15= 【答案】18 【分析】设等差数列a的公差为d,根据题意，结合等差数列的通项公式，即可求解 【解析】设等差数列an的公差为d, 因为a3+a19=2a1+20d=12,可得a1+10d=6, 又由a2+a11+a15=3a1+30d=3(a1+10d)=3×6=18 5.设等差数列an的前n项和为Sn,若S30-S2=21,则a9= 【答案】7 【分析】先化简，再应用等差数列下标和性质求解 【解析】等差数列an的前n项和为Sn,若S30-S27=21 则a28+a29+a30=21,所以3a29=21. 则a29=7」 2 6.一个等差数列a,的前12项的和为354，前12项中偶数项的和Sg与前12项中奇数项的和S之比为2 则公差d= 【答案】5 S得+S奇=354， Sg=192, 【解析】由题意，可知 Sg=32 S奇27 S奇=162. 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 前12项中偶数项共6项，奇数项共6项， a-a=d,a4-a3=d,a6-a=d,as-a-=d,ao-ag=d,a2-an=d, 故Sg-S奇=6d=192-162,.d=5 7.在项数为奇数的等差数列an中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【解析】设等差数列an的项数为2n+1, S奇=a1+a3+…+a2n+1= a1+a2n+1n+1 2 L_n+1an*+1, Sg=a2+a4+a6…+a2n= nd2+dznl=ndn 3 S在=n+1=220 所以 n165,解得n=3,所以项数2n+1=7, 所以此数列的中间项为Q4,又S奇-S偶=a4, 所以a4=220-165=55为所求中间项. 题型五：Sn的最值与单调性 1.己知等差数列an的前n项和为Sn,公差为d,且Sn为递减数列，若a,=-5,则d的取值范围是( A. B.-1,0 5 c.-1,0 0 0 【答案】C 【分析】根据数列前项和为S为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出 公差的范围，判断结果即可， 【解析】因为an为等差数列，且a,=-5,所以an=-5+n-7d 因为数列Sn为递减数列，即当n≥2时，有Sn-Sn-1<0,即an<0, 即an从第二项开始，各项均为负数， 当d>0时，数列an为递增数列，当n足够大时，必有an>0成立，不符合题意， 当d≤0时，数列an为常数数列或递减数列，只需a2<0即可， 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可知a2=-5+2-7d<0,解得d>-1, 综上，d∈-1,0 故选：C 2.己知数列an为等差数列，若 L<-1,且它的前n项和S,有最大值，则使S,>0成立的n的最大值为（ 0 ) A.40 B.39 C.21 D.20 【答案】B 【分析1由<-1可得02<0，结合等差数a,的前u项和S,有最大值可得数列0，为递减数 a20 Q20 列，进而得到a20>0,a21+a20<0,再结合等差数列的前n项和公式求解即可. 【解折1由4<-1，得+1=0型<0 d20 a20 Q20 因为等差数列an的前n项和Sn有最大值，所以数列an的公差d<0,为递减数列， 则a20>0,a21+a20<0, 所以Sg 39a,+a=390m>0,5n40la,ta=2010nt0a0, 2 所以使Sn>0成立的n的最大值为39. 3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S12>0,S13<0,则使得Sn取得最大值的n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】利用等差数列an的前n项和为Sn的性质求解本题 【解析】S12=6a6+a7>0,S3=13a,<0,故a6>0,a,<0, 所以，当n=6时，Sn最大 4.等差数列ann∈N的公差为d,前n项和为Sn,若a1>0,d<0,S3=Sg,则当Sn取得最大值时，n= () A.4 B.5 c.6 D.7 13118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】由S3=Sg可知a+a,=0,又a1>0,d<0,即a6>0,a,<0. 【解析】根据题意，等差数列an中，S3=Sg,则Sg-S3=a4+a5+a6+a,+ag+ag=0, 又由{0n为等差数列，则a4+ag=a5+ag=a6+a,=0, 又由a1>0,d<0,则a6>0,a,<0,则当n=6时，Sn取得最大值， 故选C 5.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=15,S16=0,则当Sn取最大值时n的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【分析】根据题意求出an的公差，进而求出通项公式，然后令Qn≥0，求出n的范围即可得到答案. 【解析1设等差数列a,的公差为d则16a+1615d=0,解得d=-2,÷ 2 17 a,=15-2(n-1)=17-2n,由am之0解得n≤之，∴当S,取最大值时n的值为8. 故选：B 6.设等差数列an的前n项和为Sn,己知a1<0,a2=0,则满足Sn≤an的n的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】应用等差数列的下标和性质结合求和公式计算判断求解 【解析】等差数列an,由a1<0,a2=0可知，d=a2-a1=-a1>0, 所以a,=(n-2)d.S= n(a+an)_n(-d+(n-2)d)_n(n-3)d 2 2 2 不等式S,≤a,即nn,3ds(n-21d, 2 因d>0,不等式化为n(n-3)≤2(n-2).整理得n2-5n+4≤0，解得1≤n≤4， 因为n为正整数，所以n的最大值为4， 所以满足Sn≤an的n的最大值为4. 7.已知等差数列a的首项a=11,公差d=.3 4,当a最小时，n= 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式an,由通项公式得a的单调性，进而根据单调性判断最值. 【解析】由题意，a,=a,+n-1d=-3n+47 4 4，n∈N -n+ 0,0,得和+早0，解得n≥智=15+号 3 3 所以当n≤15时，an>0,此时an单调递减： 当n>15时，an<0,此时an单调递增： 3x15+47=.0 又ab=- +号克a。-子×16+号-京则ael 4 因此当an最小时，n=16, 故答案为：16 8.设Sn为等差数列an的前n项和，已知a3=-6,当n=4或5时，Sn取得最值，则an)的公差d= 【答案】3 【分析】利用等差数列前n项和的二次函数特征确定对称轴，结合已知的a3的值列方程求解公差d. 【解析】等差数列an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=-6, 前n顶S,=na+nn,1d=nl-6-2d+nn-1d_dn 2+-6.5d n,n∈N, 2 22 2 因为当n=4或5时，S取得最值，所以对于二次函数fm=号+-6：5号n,其图象的对称轴为 x=4+59 22 6.5d 则一 2=9 2.d 2, 解得d=3 2 题型六：综合应用 1.在△ABC中，角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列，若7sinA=3sinC,则△ABC的 面积为() A.3V3 3V3 B. 4 c.153 15V3 D. 2 4 15118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】使用余弦定理解出角C,使用三角形的面积公式求解。 【解析】因为a,b,c成公差为2的等差数列，所以c=a+4, 7sinA=3sinC,即7a=3c,解得a=3,b=5,c=7, 由余法花理得0osC-。-经”专C∈10，.所G= 2ab2×3×5 所以△ABC的面积为：亏absin C=×3×5×sin3=4V3. 2.已知公差不为0的等差数列an满足a5+2ag=0,若Sg=Skk≠9，则k=() A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d≠0， 由a+2ag=0得a1+4d+2a1+7d=0,化简得a1=-6d, 所以an=-6d+(n-1d=n-7d, 前n项和：S,=2a,+n-1d=dnn-l3 2 由Sg=Sk得 ×-4dkk-13d 2巴，化简得k-4k-9=0,且k≠9， 故k=4 1_+1+…+ 1= 3.若等差数列a,满足a1os-2则4+240+24晒+2 1 2025 【答案】4 【分析】根据题意，利用等差中项的性质，当p+q=2×1013时，得到a,+a,=2a1013=1,化简求得 1 11 4+24+22:结合倒序相加法，即可求解 、1 【解析】由等差数列an满足a1o32: 根据等差数列的性质，可得对于p,q∈N,当p+q=2×1013时，a,+a,=2a1o13=1, 11 4+4+4 49+40+4=1 则4+24+24*0+2-4+24+44+249+240+42 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设S2025= 1 1 1 4s+2,则S2025= 1 1 十…十 +.+1 41+2492+2 40m5+2404+2401+2' 两式相加，可得2S2025=2025× 2解得S025-2025 4 4.己知无穷等差数列an的各项均为正整数，且Qg=2024,则a1的最小值是 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列a的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得。 【解析】若等差数列an的各项均为正整数， 则数列an是严格递增数列， 于是公差d∈N', 因此a1=ag-8d=2024-8d为正整数， 因为a1关于d单调递减，而2024=252×8+8， 则当d=252时，a1取得最小值为8 故答案为：8 5.若方程x2-2x+mx2-2x+n=0的四个根组成一个首项为4的等差数列，则m-n=() 3 A.2 B.1 c 【答案】D 【分析】先设出两个方程的根分别为X1,X2和x3,X4,由韦达定理及等差数列的前4项可得等差数列的前 1357 四项分别为44'4,4，再由韦达定理配对组合并求出m,几，从而可得所求值. 【解析】设两个二次方程x2-2x+m=0、x2-2x+n=0的根分别为X1,X2和x3,X4, 由韦达定理可得：X1+X2=2,X3+X4=2,因此四个根的和为X1+X2+X3+X4=4 因为已知四个根组成一个首项a1=4的等差数列，设公差为d, 白等差数列前4项和公式：5，=40+4父31=1+6d=4,解得d号 1357 因此四个根按顺序为：44？4？4° 17118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17 3.5 根据两组根的和都为2，可知配对方式只能是4和4为一组、4和4为另一组。 由韦达定理，两根之积分别对应m和n,则可取m 4416,n=3×515 1×7-7 4416 故m-n= 7-15=1 16162 6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=a6+5,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列la,-8}前n项和Tm 【答案】(1)an=2n-1(n∈N'). (2)Tn=乙(n∈N'). 【分析】(1)求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项a1和公差d的方程组，解出基本量后代 入通项公式即可；(2)含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值， 分别用等差数列求和公式计算分段结果 【解析】(1)设等差数列an}的公差为d, 4a1+6d=a1+5d+5 由题意 a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1' 解得a1=1,d=2, 所以an=2n-1(n∈N'). (2)设bn=an-8=2n-9, 所以bn+1-bn=2,所以数列bn}是以-7为首项，2为公差的等差数列. 再设cn=an-8=i(n∈N*). 当1≤n≤4，n∈N*时， T,=c,t+c,t+c,=-(b,+b,++h.=-[-7n+nn1x2]=-n+8n, 2 当n≥5，n∈N'时， Tn=C1+c2+…+Cn=-(b1+b2+…+b4)+(b5+b6+…+bn） =-2(b1+b2+…+b4)+b1+b2+…+bn)=n2-8n+32. 所以Tn=i(n∈N). 18/18可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02等差数列的通项、前n项和及其性质 题型归纳 题型一等差数列的基本量运算与通项 题型二前n项和公式的应用 题型三两个等差数列前n项和之比 题型四等差数列的性质与奇偶项和 题型五S.的最值与单调性 题型六综合应用 题型专练 题型一：等差数列的基本量运算与通项 1.c 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 题型二：前n项和公式的应用 1.14 2.13 3.n+2n 4.B 5.B 6.A 7.2 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.【答案】(1)an=2n-9,Sn=nn-8. 2)7n= n8-n,1≤n≤4，n∈N n-8n+32,n≥5，n∈N 题型三：两个等差数列前n项和之比 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 57 6. 【答案】(1)5 (2)38 愕 531+4 n+1 (6)1,3} 题型四：等差数列的性质与奇偶项和 1.C 2.C 3.B 4.18 5.7 6.5 7.55 题型五：Sn的最值与单调性 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.C 7.16 8.3 题型六：综合应用 1.D 2.D 3.2025 4 4.8 5.D 6.【答案】(1)an=2n-1(n∈N‘). (2)Tn=t(n∈N'). 3/3