4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 目 录 1 题型01 利用等差数列的性质计算 1 题型02利用等差数列的性质计算 2 题型03等差中项的应用 4 题型04等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 4 题型05等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 6 题型06由递推关系证明数列是等差数列 7 9 9 9 题型01 利用等差数列的性质计算题型01 1.（25-26高二上·福建·阶段检测）等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 2.（25-26高二下·安徽安庆·期末）在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】在等差数列中，有，得， 则的公差为． 3.（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知等差数列中，，，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】法一：（等差中项法） 由等差中项可得，所以. 法二：（通项公式法） 由解得，所以. 题型02利用等差数列的性质计算题型02 4.（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【详解】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 5.（安徽省部分重点高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试卷）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为， 根据等差数列性质可知，得. 故， 由，将、代入得，解得. 另解：设等差数列的公差为，， 由得，即， 结合，两式相减得，代入得. 6.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知等差数列满足，，则公差为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，且， 解得. 题型03等差中项的应用题型03 7.（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由等差数列的性质得，则， 故的公差为. 8.（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差中项可得：，即. 9.（25-26高二下·河南洛阳·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【详解】利用等差数列的性质可得. 题型04等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算题型04 10.（25-26高二下·辽宁·期末）已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】设等差数列公差为，则有， 由，则， 则时，，成立，“”是“”成立的充分条件. 时，有，即可推出或的结论， 故“”不是“”成立的必要条件.故A正确. 11.（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知等差数列满足，，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由题意得：，又，所以，又，所以， 所以，所以. 12.（25-26高二上·江苏无锡·期末）在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】A 【详解】由得公差: 首项，故。 由得， 因此：当时，；当时，， ,，， ，，， 可见在时取到最大正值， 当时，，随着增大单调递增，无最小项. 故选：A 题型05等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用题型05 13.（25-26高二下·贵州遵义·期中）在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质，得， 又，所以，代入，得， 所以，因此等差数列的通项为， 所以. 14.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）设是等差数列，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】举一反例：，，，满足，而，A错； 由A中反例，，而，B错； 当时，C错； 是等差数列，若，则公差，数列各项均为正，因为，所以，D对. 15.（25-26高二下·云南曲靖·期末）若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（    ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】C 【详解】设该数列的首项为，由题意知，. 因为，所以. 题型06由递推关系证明数列是等差数列题型06 16.（25-26高二下·江西吉安·期末）已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 则是首项为2，公差为1的等差数列，即， ， 时，，符合上式， 故， 已知，则， 设的前项积为，则， 故． 17.（25-26高二下·北京石景山·期末）已知数列是各项均为正数的无穷数列，前项和为满足.给出下列三个结论：① ；  ② 数列是等差数列； ③数列中存在无穷多项小于.其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意的，， 当时，则，因为数列各项均为正数，所以， 所以，即，所以，故①对； 假设数列是等差数列，由可得，则数列为递减的等差数列， 由是无穷数列，则必定存在使得，所以假设错误，故②错； 假设数列中存在有穷多项小于，设最后一项小于的为， 则当时，， 取，则， 因为，所以， 显然矛盾，所以数列中存在无穷多项小于，③对. 18．（2026·重庆万州·模拟预测）在数列中，已知，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由可得， 则数列为等差数列，因，得， 则数列的公差， 于是， 故. 1.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知各项均不相同的数列满足，则（    ） A．2027 B．2028 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由可得数列为等差数列， 设公差为，则，， 于是， 又因，可得，则有， 故. 2.（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 3.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法1：特征方程为，解得. 设通项为，代入，得，解得， 故. 法2：因为，所以， 因为，，所以数列是以为首项的常数列， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则. 4.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 5.（26-27高三上·河南南阳·开学考试）在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知联立可解得 所以， 所以， 因为， 所以的公差． 6.（2025高三上·全国·竞赛）考虑由个正整数组成的递减数列，它满足以下两个条件： 数列前3项的平均值（算术平均值）是2025. 对于所有，数列前项的平均值比前项的平均值小1. 问的最大可能值是多少？（    ） A．1013 B．1014 C．1016 D．2016 E．2025 【答案】B 【详解】根据数列前3项的平均值是2025，所以， 设为数列前 k 项和，由题意，当 时，， 则设从 开始是公差为的等差数列，且， 所以当 时，，即 ， 那么当 时， ， 首先要满足 ，且所有项为正整数， 先保证 ，，即，解得， 同时要满足，先求 ， 因为数列是递减正整数列，要小于，大于，且 ， 取最大可能值，，则 ，满足 ， 当 时， 且，满足递减； 若 ，，不满足正整数条件； 结合数列递减且为正整数的条件求 n 的最大值为. 1.（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 2.（25-26高二下·四川泸州·期末）已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，设其公差为， 若数列是递减数列，可得； 若，则，所以数列是递减数列； 综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件. 3.（2026·湖南益阳·模拟预测）已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】A 【详解】由得； 由，得， 联立两式作差得，解得公差，代回，得首项， 故 . 4.（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 【答案】D 【详解】已知是公差为1的等差数列，故对任意，有 . 由题设，可得，同理. 将代入的表达式，得： ， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为1的等差数列. 属于奇数项，首项，奇数项通项为：对，. 令，解得，所以. 1.（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 2.（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 目 录 1 题型01 利用等差数列的性质计算 1 题型02利用等差数列的性质计算 2 题型03等差中项的应用 4 题型04等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 4 题型05等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 6 题型06由递推关系证明数列是等差数列 7 9 9 9 题型01 利用等差数列的性质计算题型01 1.（25-26高二上·福建·阶段检测）等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 2.（25-26高二下·安徽安庆·期末）在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知等差数列中，，，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型02利用等差数列的性质计算题型02 4.（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 5.（安徽省部分重点高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试卷）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知等差数列满足，，则公差为（     ） A．1 B．2 C． D． 题型03等差中项的应用题型03 7.（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高二下·河南洛阳·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 题型04等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算题型04 10.（25-26高二下·辽宁·期末）已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 11.（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知等差数列满足，，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 12.（25-26高二上·江苏无锡·期末）在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 题型05等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用题型05 13.（25-26高二下·贵州遵义·期中）在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 14.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）设是等差数列，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15.（25-26高二下·云南曲靖·期末）若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（    ） A．13 B．15 C．17 D．20 题型06由递推关系证明数列是等差数列题型06 16.（25-26高二下·江西吉安·期末）已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的积为（     ） A． B． C． D． 17.（25-26高二下·北京石景山·期末）已知数列是各项均为正数的无穷数列，前项和为满足.给出下列三个结论：① ；  ② 数列是等差数列； ③数列中存在无穷多项小于.其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·重庆万州·模拟预测）在数列中，已知，若，，则（    ） A． B． C． D． 1.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知各项均不相同的数列满足，则（    ） A．2027 B．2028 C．2 D．1 2.（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 3.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 5.（26-27高三上·河南南阳·开学考试）在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 6.（2025高三上·全国·竞赛）考虑由个正整数组成的递减数列，它满足以下两个条件： 数列前3项的平均值（算术平均值）是2025. 对于所有，数列前项的平均值比前项的平均值小1. 问的最大可能值是多少？（    ） A．1013 B．1014 C．1016 D．2016 E．2025 1.（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（25-26高二下·四川泸州·期末）已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2026·湖南益阳·模拟预测）已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 4.（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 1.（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 2.（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $