5.3.1函数的单调性（分层作业，10大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 5.3.1函数的单调性 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求不含参函数的单调性 题型02 利用导数求函数的单调区间 题型03 原函数与导函数图象的关系 题型04 利用函数单调性比较大小 题型05 利用函数单调性解不等式 B组 能力进阶 题型01 已知函数的单调性求参数 题型02 函数图象的识别 题型03 证明不等式 C组 思维拔高 题型01 求含参函数的单调性 题型02 单调性相关的新定义问题 求不含参函数的单调性题型01 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由导数符号与区间单调性的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若时，则在区间上单调递增，充分性成立； 若在区间上单调递增，则时，且不恒成立，必要性不成立； 所以“时，”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高三上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断. 【详解】对于A，函数为指数函数，不具备奇偶性，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 由于为偶函数，故B错误； 对于C，函数，由正切函数的性质可知为奇函数， 且在单调递增，故C错误； 对于D，函数的定义域为， 由，故函数为奇函数， 因为， 所以函数在单调递增，故D正确. 故选：D. 3．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：，不是偶函数，A错误. 选项B：函数是余弦函数，在区间不单调，B错误. 选项C：函数的定义域为，且， 函数为偶函数. 又，当时，，，， 则，函数在区间上单调递增，C正确. 选项D：函数的定义域为，函数不是偶函数，D错误. 5．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质和导数逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为， 又，所以为减函数，故A错误； 对于B，，， 二者不相等，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为， ，为奇函数； ，为增函数，故D正确. 故选：D. 6．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】令，则恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充分非必要 【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例. 【详解】在函数在区间上可导的条件下， 由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性， 反之：例举，此时，满足“对任意的成立”， 但是此时不是严格增函数，故非必要性， 所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 8．（25-26高三上·北京·月考）设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是____________．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 【答案】（不唯一） 【分析】根据幂函数的性质结合条件可得所求的. 【详解】取，则，满足①； 在时成立，满足②， 的定义域为，，故是偶函数，满足③. 故函数可以是. 故答案为：（答案不唯一） 利用导数求函数的单调区间题型02 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为， ，令，得， 故的单调增区间为. 2．（24-25高二下·广西南宁·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 3．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．(0，3) D． 【答案】C 【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果. 【详解】函数的定义域为：， 因为， 令并且，得：， 所以函数的单调递减区间为(0，3). 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题. 4．（24-25高二上·云南曲靖·月考）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 5．（25-26高二下·河南新乡·期末）函数的单调递增区间为________． 【答案】 【分析】利用导数求函数的单调性即可． 【详解】因为函数，定义域为， 所以． 解，得， 所以函数的单调递增区间为． 6．已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 7．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 8．（24-25高三上·福建·月考）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：①；②；③（以上三式中均为常数，且）. (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？ (2)若.求出所选函数的解析式（注：函数定义域是，其中表示8月1日，表示9月1日，以此类推）. (3)在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌. 【答案】(1)选模拟函数 (2)f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5） (3)月、月 【分析】（1）根据题中价格的变化趋势可选择合适的函数模型； （2）由，代入所选函数，如此即可求出的值，问题即可解答； （3）运用导数确定出函数的单调性，然后结合题目信息分析即可解答题目. 【详解】（1）因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数. （2）对于， 由，可得，. 又，所以， 所以. （3）因为， 所以， 令，得. 所以函数在内单调递减， 所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌. 原函数与导函数图象的关系题型03 1．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与单调性关系确定． 【详解】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，． 故选：C． 【点睛】本题考查导函数与单调性的关系，一般由确定增区间，由确定减区间． 2．如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 【答案】C 【分析】根据导数的正负依次判断单调性即可. 【详解】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0， 在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间上小于0， 在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误. 故选：C. 3．（25-26高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率， 由图知，. 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 5．（25-26高二下·河北·月考）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 6．已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：D． 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，再由二次函数的图象性质即可判断. 【详解】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 8．（24-25高二下·湖北襄阳·月考）笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用电脑软件将，两个函数图象画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域及函数值符号，分析函数在上的单调性及切线斜率的变化，即可得出合适的选项. 【详解】因为，， 所以函数的图象为“心形线”中轴及下方的部分． 由，得，可得，解得. 所以函数的定义域为，且， 由题图可知函数在上单调递增，即当时，，故排除B，C， 又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，故函数的值先减小后增大， 故只有A选项符合题意，D选项不符合题意. 故选：A． 利用函数单调性比较大小题型04 1．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据可得，即可得在上单调递减，进而可求解. 【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故， 故选：A 2．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设函数，根据题意，求得为单调递增函数，得到，进而得出答案. 【详解】由题意，设函数，则， 因为，可得，所以为单调递增函数， 可得，即，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的四则运算，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据题意，构造新函数，求得的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力. 3．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数,对求导后结合导数与单调性关系分析的单调性，进而可比较函数值大小. 【详解】令,则, 当时,单调递增, 当时,单调递减, 因为, 所以, 所以 故选:C 4．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而判断函数值大小，即可得解. 【详解】设，， 则，且，，， 则当且时，，当时，， 即函数在和上单调递减，在上单调递增， 则， 即， 又，，， 则， 故选：C. 5．已知函数，，若，，则的大小为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，确定函数的单调性，然后确定这三个数之间的大小关系，最后利用函数的单调性判断出的大小关系. 【详解】，所以是上的增函数. ， 所以，故本题选C. 【点睛】本题考查了利用导数判断出函数的单调性，然后判断函数值大小关系.解决本题的重点是对指数式、对数式的比较，关键是对指数函数、对数函数的单调性的理解. 6．已知函数对任意，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造函数，求导后结合已知条件可得在上单调递增，然后逐个分析判断即可 【详解】解：令，则， 因为函数对任意，满足， 所以时，， 所以在上单调递增， 对于A，因为，所以，，得，所以A错误， 对于B，因为，所以，即，得，所以B正确， 对于C，因为，所以，即，得，所以C错误， 对于D，因为，所以，即，即，所以D错误， 故选：B 7．已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 8．已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，令，利用导函数可得，再令，利用导函数求单调性即可求解. 【详解】由题意可得，，， 令，则， 因为当时，单调递增， 所以，即， 令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为且， 所以， 故选：A 利用函数单调性解不等式题型05 1．已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性，根据单调性解不等式. 【详解】令 ， 则， 因为，所以， 即为减函数， 又 ， 故， 则不等式 等价， 即， 解得， 故不等式的解集为． 故答案为: . 2．已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导函数小于0，得到偶函数在上单调递减，从而对不等式变形后得到，解出解集. 【详解】因为当时，，故偶函数在上单调递减， 故变形为：， 所以，显然不满足不等式， 解得：，故. 故选：B 3．已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 4．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可. 【详解】构造函数，对任意实数，都有， 则， 所以，函数为偶函数，. 当时，，则函数在上单调递减， 由偶函数的性质得出函数在上单调递增， ，即， 即，则有， 由于函数在上单调递增，，即，解得， 因此，实数的最小值为，故选A. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 5．（25-26高二下·北京·月考）已知定义在R上的函数满足，且，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意知，故函数在R上单调递增， 因为，所以，解得， 即实数m的取值范围是. 6．已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式. 【详解】由得，， 所以在上为减函数， 由得， 解得或. 故答案为： 7．已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】根据导函数图象可得函数的单调性，结合单调性分段解不等式即得. 【详解】在区间上的函数是偶函数， 由图知在单调递增，单调递减. 不等式， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以不等式的解集为. 故答案为： 8．已知函数 ， 则不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】由题可得函数为奇函数，利用导数可得的单调性进而即得. 【详解】因为，定义域为R， 故为奇函数，又， 所以为增函数， 由，可得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 已知函数的单调性求参数题型01 1．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，根据函数在区间上单调递增，由恒成立求解 【详解】∵函数在内单调递增， ∴当时，恒成立， 即， ∴， 即a的取值范围为， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，属于基础题. 2．若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可. 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 3．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围． 【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1， ∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1， 由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点， ∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3， ∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）． 故选D． 【点睛】本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了函数与方程思想．属于基础题． 4．（24-25高二下·北京·期末）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得到，构建函数，在单调递增，等价转换，利用导数可得结果. 【详解】当时，，即， 所以函数在单调递增，所以在恒成立， 则在恒成立，所以在恒成立，所以. 故选：A 5．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，则在有根，且根的两侧异号即可. 【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得. 故选：C. 6．已知函数，当时，______；若在上单调递增，则实数a的取值范围是______. 【答案】 0 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 7．已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________. 【答案】 【分析】先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围. 【详解】函数在R上是减函数， 则 当时，在上不能恒成立，所以不成立； 当时，在上恒成立， 需，解得 即a的取值范围为 故答案为：. 【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题. 8．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】在定义域上存在单调递减区间，即在上有解，进而求的范围. 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 函数图象的识别题型02 1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的奇偶性和在上的单调性，即可唯一确定正确选项. 【详解】设，则的定义域是，同时，故是奇函数，排除B选项； 当时，，，所以当时，；当时，. 故在上递增，在上递减，能够体现在上先递增后递减的图象只有D选项. 故选：D. 2．（24-25高二下·安徽·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B. 【详解】由题意得，函数的定义域为，， 所以当或时，当或时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C； 当时，，所以，故排除B. 故选：D. 证明不等式题型03 1．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数． (1)若函数在上为减函数，求实数的取值范围． (2)求证：当时，． 【答案】(1) (2)当时，可得，则， 即在上单调递增， 则，，故得证. 【分析】（1）将函数单调问题转化为恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围即可. （2）构造函数并利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在上为减函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，令， 由余弦函数的性质得，则有,故. （2）略 2．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减 (2) ． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； （2）只需证明函数的最大值即可，从而可以构造一个关于的函数，结合导数来证明即可. 【详解】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2）略 3．设函数． (1)设函数，求的单调区间； (2)求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 证明：由（1）得，在时，取得最小值，所以恒成立， 所以在为增函数，又因为， 当时，，所以； 当时，，所以， 当时，， 综上， 【分析】（1）先求导得出的解析式，再对函数求导，求出导函数的零点，然后列表得出的单调区间； （2）结合（1）可以判断在为增函数，结合，分、、三类讨论，即可得证. 【详解】（1）因为，的定义域为， ， 令，得，与在区间上的情况如下： x 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）略 4．（24-25高二下·湖北·月考）已知. (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，. 【答案】(1) (2)，.证明： 要证时， . 先证.设，求导， 令，. 当时，，，，递增，，递增，，所以. 再证.设，求导. 时，；时，，在递减，递增，，所以. 由上述两个结论可得.原命题得证. 【分析】（1）递增则，分离出，设求导判断单调性，根据单调性求范围得范围. （2）先根据条件确定、值，再证时.先构造，通过多次求导判断单调性，证. 再构造，求导判断单调性，证，结合两式得结论. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以其导数恒成立，即. 设，对求导得. 在上，，所以，单调递减. 则，所以. （2）由得，由得，则. 证明略. 5．（25-26高三上·海南·月考）已知函数． (1)若函数单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，利用题干信息证明：，． 【答案】(1) (2)证明如下： 若，则， 由（1）可知函数在内单调递增， 当时，，则， 令，则， 整理可得， 即，，，， 相加可得， 整理可得，，证毕. 【分析】（1）根据题意可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解； （2）根据题意结合（1）的单调性可得，令可得，利用累加法分析证明. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 若函数单调递增，则在内恒成立， 可得在内恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，且， 所以实数的取值范围为. （2）略 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减. (2) 由（1）知，当时，在上单调递减， 又，所以，即，因此， 因此要证明 即证明， 只需证明， 即证：， ，即证 令， 则， 因此在上单调递增，，则， 即，得证. (3) 由（2）知：，令，有 …… 累加得 即得：. 【分析】（1）求出导函数，分类讨论的值，得到的单调性； （2）当时，结合(1)得到，可将问题转化为为证明，令，结合导数研究单调性即可证明； （3）由（2）知：，令，有，，……，，利用累加法即可证明. 【详解】（1）由， ①当时，，因此在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； ③当时，，因此在上单调递减. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是由单调性得到以及，令，结合累加法证明. 7．已知函数，． (1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围； (3)设m，n为正实数，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)，n为正实数，且，要证，只需证 即证只需证 设，， 则在上恒成立， 即函数在上是单调递增， 又，，即成立， 也即成立. 【分析】（1）求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程； （2）由(1)知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围； (3)利用分析法证明，要证，只需证 ，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论． 【详解】（1），． 是函数的极值点，，解得， 经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意 此时切线的斜率为，切点为， 则所求切线的方程为 （2）由(1)知 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以不等式在区间上恒成立 即在区间上恒成立， 当时，由可得， 设，，， 当且仅当时，即时，， 又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增， 且，， 所以当时，恒成立， 即，也即 则所求实数a的取值范围是 （3）略 【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质． 8．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 【答案】(1)或 (2) 当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. (3) 为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数. 先证明一些结论作为准备工作： ①设，则对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，. ②设，则. 所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ③设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ④由于，故，所以. 由于，，故. 所以，即，从而. 将和结合，即得. 最后，由于，故. 所以 . 从而原命题得证. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断函数单调性； （3）利用导数证明一些不等式作为准备工作，然后根据已知条件得到的表达式，即可证明相应结论. 【详解】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造的恰当的函数以证明相应不等式. 求含参函数的单调性题型01 1．（24-25高二下·天津·月考）已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. （2）求导，分和讨论，求出单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以所求切线的斜率为. （2）由，，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【答案】(1)； (2) 当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 3．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1 (2)当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再根据切线过点，可求的值. （2）求导，在函数的定义域内讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. 【详解】（1）由，有，， 可得曲线在点处的切线方程为， 整理为， 代入原点，有，可得， 故实数的值为1. （2）由，. ①当时，在上恒成立，可得函数的增区间为，没有减区间； ②当时，令，可得，故函数的减区间为，增区间为. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 4．（24-25高二下·广东珠海·联考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2) 当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 6．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 7．（25-26高三下·云南·联考）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解； （2）求出函数的导数，讨论参数a的取值范围，确定导数的正负，即可确定函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）由得， 当时，，令，则， 当时，，则；当时，，则； 故在单调递增，在单调递减； 当时，令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 综合上述可知： 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增, 单调性相关的新定义问题题型02 1．（25-26高二上·北京·期末）对于定义域为的函数，若存在使得在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可知单峰函数先增后减且只有一个极值点，且是极大值点，依次对四个选项逐一分析即可得答案． 【详解】对于选项A，由可得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 又因为具有周期性，所以函数会有多个增减区间，所以选项A不是单峰函数； 对于选项B，，所以， 所以函数是单调递增函数，所以选项B不是单峰函数； 对于选项C，,所以, 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以选项C是单峰函数； 对于选项D, ,由一次函数图象可知，函数是单调递增函数, 所以选项D不是单峰函数. 故选：C 2．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间； 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有， 则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么 ①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有； ②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有 其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数． 根据以上内容，完成如下问题： (1)求函数的凹的区间和凸的区间； (2)若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)函数的凹的区间是和，凸的区间是. (2) (3)证明：， 构造函数， 令，解得， 易知函数在上单调递增，在上单调递减. 所以， 因此，，当且仅当时取等号. 构造函数， 令，则， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此，当且仅当时取等号. 综上， 【分析】（1）根据题意，求二阶导，并判断正负，得出函数的凹的区间和凸的区间； （2）由凹凸性得出，进而分离参数，将问题转化为，利用导数得出最值，进而得出实数的取值范围； （3）等价变形，构造函数和，利用导数证明，，从而得出答案. 【详解】（1）， 令，解得或；令，解得. 因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是. （2）， 在区间上图象是凹的，，即. 所以，即. 令， 即函数在上单调递减. 所以， 因此，实数的取值范围是. （3）略 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立问题求参数范围时，关键在于分离参数，将问题转化为最值问题，从而得出参数的范围. 3．设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”. (1)已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”； (2)若是上的“距增函数”，求的取值范围； (3)已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围. 【答案】(1) 因为，所以，所以在上单调递增. 对于任意正实数，所以， 所以是上的“距增函数”. (2) (3) 【分析】（1）根据函数导数判断函数单调性，结合增函数得证明是上的“距增函数”； （2）根据“距增函数”的定义，可得，解不等式求得的取值范围； （3）根据是定义在上的“2距增函数”，有，对分类讨论结合函数的单调性求得的取值范围； 【详解】（1）略 （2）因为是上的“距增函数”，所以， 即，化简得， 所以无解，即， 解得（舍去）.所以的取值范围为. （3）因为是定义在上的“2距增函数”，所以. ①若，则. 因为在上单调递增，所以恒成立. ②若，则. 因为，所以. 令，则，即. 令函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. ③若，则. 由（2）可得，要使得是定义在上的“2距增函数”，则必须满足. 当时，. 综上，的取值范围为. 4．定义：记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)求证：为区间上的凹函数； (2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 【答案】(1) 由题意得，，记的导函数为（下同）， 则，所以在区间上单调递增， 所以为区间上的凹函数. (2) (3) 由题意得，. 当时，，符合题意， 当时，因为，则，则即证， 即证， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 故当时，，即成立. 当时，由（1）知在上单调递增， 又，所以，使得， 所以，因为，所以，所以. i）当时，，即证， 设，则， 所以在上单调递减， 所以. ii）当时，，即，即证， 设，则， 令， 则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 则，则在上单调递增， 故当时，. 综上，当时，. 【分析】（1）求出函数的导函数，利用为区间上的凹函数的定义证明； （2）求出函数的导函数，利用为区间上的凹函数的定义求解； （3）由题意得到，分，，讨论证明； 【详解】（1）略 （2）由题意得，，则， 令，则，故. 令，则， 故在上单调递增，故， 则，故，故实数的取值范围为. （3）略 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由时，根据在上单调递增，利用零点存在定理，得到，使得，再分和而得证. 5．把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【答案】(1) ，因为， 所以是以为公比的等比数列； (2)不存在， (3) 必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【分析】（1）首先求的导数，再根据等比数列的定义，即可证明； （2）首先求和集合，再利用导数讨论函数的单调性，由，讨论得到取值范围； （3）首先证明必要性，若函数为偶函数，根据偶函数的性质，证明，再证明充分性，若对于任意正实数，均有，分和两种情况证明. 【详解】（1）略 （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3.1函数的单调性 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求不含参函数的单调性 题型02 利用导数求函数的单调区间 题型03 原函数与导函数图象的关系 题型04 利用函数单调性比较大小 题型05 利用函数单调性解不等式 B组 能力进阶 题型01 已知函数的单调性求参数 题型02 函数图象的识别 题型03 证明不等式 C组 思维拔高 题型01 求含参函数的单调性 题型02 单调性相关的新定义问题 求不含参函数的单调性题型01 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 8．（25-26高三上·北京·月考）设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是____________．（写出一个即可） ①；②当时，；③是偶函数． 利用导数求函数的单调区间题型02 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西南宁·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．(0，3) D． 4．（24-25高二上·云南曲靖·月考）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 5．（25-26高二下·河南新乡·期末）函数的单调递增区间为________． 6．已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 7．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 8．（24-25高三上·福建·月考）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：①；②；③（以上三式中均为常数，且）. (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？ (2)若.求出所选函数的解析式（注：函数定义域是，其中表示8月1日，表示9月1日，以此类推）. (3)在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌. 原函数与导函数图象的关系题型03 1．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 3．（25-26高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．（25-26高二下·河北·月考）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖北襄阳·月考）笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用电脑软件将，两个函数图象画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（    ）    A．   B．   C．   D．   利用函数单调性比较大小题型04 1．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若，，则的大小为 A． B． C． D． 6．已知函数对任意，满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 利用函数单调性解不等式题型05 1．已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京·月考）已知定义在R上的函数满足，且，则实数m的取值范围是______． 6．已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为________ 7．已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为_____. 8．已知函数 ， 则不等式的解集是___________. 已知函数的单调性求参数题型01 1．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 3．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京·期末）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，当时，______；若在上单调递增，则实数a的取值范围是______. 7．已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________. 8．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 函数图象的识别题型02 1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 证明不等式题型03 1．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数． (1)若函数在上为减函数，求实数的取值范围． (2)求证：当时，． 2．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 3．设函数． (1)设函数，求的单调区间； (2)求证：． 4．（24-25高二下·湖北·月考）已知. (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，. 5．（25-26高三上·海南·月考）已知函数． (1)若函数单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，利用题干信息证明：，． 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 7．已知函数，． (1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围； (3)设m，n为正实数，且，求证：． 8．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 求含参函数的单调性题型01 1．（24-25高二下·天津·月考）已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 2．（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 3．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 4．（24-25高二下·广东珠海·联考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 6．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 7．（25-26高三下·云南·联考）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 单调性相关的新定义问题题型02 1．（25-26高二上·北京·期末）对于定义域为的函数，若存在使得在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间； 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有， 则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么 ①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有； ②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有 其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数． 根据以上内容，完成如下问题： (1)求函数的凹的区间和凸的区间； (2)若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围； (3)证明：． 3．设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”. (1)已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”； (2)若是上的“距增函数”，求的取值范围； (3)已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围. 4．定义：记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)求证：为区间上的凹函数； (2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 5．把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $