5.3.1函数的单调性课时练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1　函数的单调性 一、基础落实 1.函数f(x)=x-2ln(2x)在以下哪个区间上单调递增(　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,4) D.(3,5) 2.函数f(x)=(x-2)ex在下列哪个区间上单调递减(　　) A.(1,+∞) B.(0,2) C.(0,1) D.(-1,2) 3.已知函数f(x)=x(ex-e-x),则f(x)(　　) A.是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减 B.是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增 C.是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减 D.是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增 4.已知定义在区间(0,)内的函数f(x)的导函数为f'(x),且有f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=f(),b=f(),c=2f(),则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a 5.(多选题)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象大致如图所示,下列结论正确的是(　　) A.f(x)在区间(-∞,2)上单调递增 B.f(x)在区间(-1,5)内单调递增 C.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0 D.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为4 6.已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的减区间为(,1),则a=　　　　　.  7.函数f(x)=sin 2x+2cos x在区间(0,π)内的单调递减区间为　　　　　.  8.已知函数f(x)=ln x+x2. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数h(x)=f(x)-3x的单调递增区间. 二、素能提升 9.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)是函数f(x)的导函数,f(x)+(xln x)f'(x)>0,则下列不等关系正确的是(　　) A.f()<0 B.f()<0 C.f(3)>2f(9) D.f(3)log23>f(2) 10.函数f(x)=的单调递减区间是(　　) A.(-1,0) B.(-1,+∞) C.(-1,0),(0,+∞) D.(-∞,-1) 11.(多选题)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列不等式正确的是(　　) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(d)>f(e) 12.若函数f(x)图象上任意一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=ln x0-2,则f(x)的单调递增区间是　　　　　.  13.如图为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为　　　　　.  14.已知函数f(x)=,g(x)=esin x+ecos x. (1)求曲线y=f(x)平行于直线y=x+2的切线方程; (2)讨论函数g(x)在区间[0,π]上的单调性. 15.设函数f(x)=xekx(k≠0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求实数k的取值范围. 16.已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,试讨论f(x)的单调性. 参考答案 一、基础落实 1.D 解析 函数定义域为(0,+∞),f'(x)=1-2··2=1-,由f'(x)>0,可得x∈(2,+∞),故函数的单调递增区间为(2,+∞),因此f(x)在(3,5)上单调递增,故选D. 2.C 解析 函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x-1)ex,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,故选C. 3.D 解析 因为f(x)=x(ex-e-x)的定义域为R,定义域关于原点对称,且f(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,又因为f'(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x),当x>0时,则ex>1,e-x∈(0,1),可得ex-e-x>0,ex+e-x>0,则f'(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故选D. 4.A 解析 令g(x)=,则g'(x)=>0,即g(x)在区间(0,)内单调递增, 又a==g(),同理b=g(),c=g(), 因为,所以a<b<c. 故选A. 5.BD 解析 由导函数f'(x)的图象可知当x<-1时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,当-1<x<2时,f'(x)>0,f(x)在区间(-1,2)上单调递增,A错误; 由图象可知当-1<x<5时,f'(x)>0,则f(x)在区间(-1,5)上单调递增,B正确; 由于f'(2)=4,根据导数的几何意义可知y=f(x)在x=2处的切线的斜率为4,C错误,D正确,故选BD. 6.3 解析 由题意可得f'(x)=2x-a+<0,解集为(,1),所以方程2x2-ax+1=0的两根分别为和1,则+1=,解得a=3. 7.() 解析 由题意知f'(x)=2cos 2x-2sin x=2(1-2sin2x)-2sin x<0, 即2sin2x+sin x-1>0,(2sin x-1)(sin x+1)>0, 因为sin x>0,所以sin x>, 所以在区间(0,π)中,<x<, 则f(x)=sin 2x+2cos x在区间(0,π)上的单调递减区间为(). 8.解 (1)f(x)=ln x+x2(x>0),则f'(x)=+2x. 则f'(1)=1+2=3,又f(1)=ln 1+1=1, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3(x-1)+1,即3x-y-2=0. (2)h(x)=f(x)-3x=ln x+x2-3x(x>0), 则h'(x)=+2x-3=(x>0), 由h'(x)>0可得0<x<或x>1, 则函数h(x)=f(x)-3x的单调递增区间为(0,)和(1,+∞). 二、素能提升 9.D 解析 令g(x)=ln x·f(x),x∈(0,+∞), 则g(1)=0,g'(x)=·f(x)+ln x·f'(x)=>0, 所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 因为>1,所以g()>g(1), 即ln·f()>0, 又ln>0,所以f()>0故A选项错误; 因为0<<1,所以g()<g(1), 即ln·f()<0,即-2f()<0, 所以f()>0,故B选项错误; 因为3<9,所以g(3)<g(9),即ln 3·f(3)<ln 9·f(9),即f(3)<2f(9),故C选项错误; 因为3>2,所以ln 3·f(3)>ln 2·f(2),即·f(3)=log23·f(3)>f(2),故D选项正确. 故选D. 10.C 解析 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 又f'(x)=-=-, 由-<0,解得x>-1且x≠0, 因此单调递减区间是(-1,0)和(0,+∞),故选C. 11.CD 解析 由题图知,当x∈(-∞,c)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,c)上单调递增,因为a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),C选项正确; 当x∈(c,e)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(c,e)上单调递减, 因为c<d<e,所以f(c)>f(d)>f(e),D选项正确,故选CD. 12.(e2,+∞) 解析 由题意得f'(x)=ln x-2,令f'(x)=ln x-2>0,解得x>e2,所以f(x)的单调递增区间是(e2,+∞). 13.(-∞,-)∪(0,) 解析 由题中函数的图象可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞),单调递减区间为(-),所以当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-)时,f'(x)<0,由x·f'(x)<0,可得所以x∈(-∞,-)∪(0,). 14.解 (1)由题意得f'(x)=. 设切点为(x0,y0),由于直线y=x+2的斜率为1, 所以切线的斜率也等于1,即=1,得+x0=1. 设φ(x)=ex+x,则φ'(x)=ex+1>0在R上恒成立,所以φ(x)在R上单调递增,而φ(0)=1, 所以方程φ(x0)=1有唯一解x0=0,此时f(0)=0,故曲线y=f(x)平行于直线y=x+2的切线只有一条,即在点(0,0)处的切线为y=x. (2)由题意得,g'(x)=esin xcos x-ecos xsin x=()esin x+cos x=esin x+cos x[f(cos x)-f(sin x)],而esin x+cos x>0,因此g'(x)的正负与f(cos x)-f(sin x)的正负一致, 由f'(x)=知,当-1≤x≤1时,f'(x)≥0, 所以f(x)单调递增,即f(cos x)>f(sin x)等价于cos x>sin x, 则f(cos x)<f(sin x)等价于cos x<sin x. 因为x∈[0,π],所以当x∈[0,]时,cos x>sin x,即g'(x)>0; 当x∈[,π]时,cos x<sin x,即g'(x)<0,故函数g(x)在区间[0,]上单调递增,在区间[,π]上单调递减. 15.解 (1)f(x)的定义域为R,由f'(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0). 若k>0,则当x∈(-∞,-)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(-,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 若k<0,则当x∈(-∞,-)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(-,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上所述,当k>0时,f(x)的单调递增区间为(-,+∞),单调递减区间为(-∞,-); 当k<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-),单调递减区间为(-,+∞). (2)由(1)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即0<k≤1时, 函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增. 若k<0,则当且仅当-≥1,即-1≤k<0时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增. 综上可知,当函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,实数k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 16.解 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1+. 令g(x)=x2-ax+2,Δ=a2-8. ①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0,都有f'(x)>0, 此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; ②当Δ=0,即a=2时,当且仅当x=时,有f'(x)=0,对定义域内其余的x都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; ③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不相等的实根,x1=,x2=,0<x1<x2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(x1) 单调递减 f(x2) 单调递增 故f(x)在区间(0,)和区间(,+∞)内单调递增;在区间()内单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $