5.3导数的应用 （一）利用导数研究函数的单调性（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

5.3导数的应用 （一）利用导数研究函数的单调性 题型01函数与导函数图象之间的关系 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 【答案】和； 【解析】设函数为，由图象可得，当，， 所以函数的单调区间是和. 2．已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增， 因为，，当时，， 即不等式的解集为； 3．设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由图象知，，的图象为增函数，则，故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误，故选：A 4.已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以；故选：D． 题型02利用导数求函数的单调区间（不含参） 5．函数，的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】由题设时，，则在上单调递增， 所以的单调递增区间为. 6．函数的单调减区间为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 7．函数的增区间是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 8．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得，故的单调递增区间是. 题型03由函数的单调区间求参数 9．已知函数的单调递减区间为，则的值为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，且， 由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得. 10．已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 【答案】1 【解析】函数，则， 若的单调减区间为，则的解集为， 所以，则，检验符合， 11．如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：且，解得 此时，令解得符合题意，故. 12．设，若的单调减区间为，则 ， . 【答案】 / 【解析】由可得，依题意，的解集为， 即的解集为，也即，有两根为， 故得：解得. 题型04由函数在区间上的单调性求参数 13．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需解得， 14．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 15．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 16．已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 【答案】5 【解析】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以，即实数a的最小整数是5. 17．已知函数在上单调递减，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由求导得：， 因为函数在上单调递减， 所以 在上恒成立，即在上恒成立． 设，因在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 18．若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以. 要使函数在上单调递增，则.即. 因为，要使不等式恒成立，则. 题型05用导数判断或证明已知函数单调性 19．已知函数．判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 【解】函数在区间上单调递增．理由如下： 因为，所以，因此，又，故恒成立，故在区间上单调递增． 20．证明：函数在区间上是严格增函数． 【解】证明：， 由，得， 所以，所以， 所以函数在上是严格增函数． 21．已知函数，判断函数在区间上的单调性. 【解】当时，区间关于原点对称，且， 所以为偶函数，又，且当时，， 所以函数在上单调递增，又函数为偶函数， 所以在上单调递减． 综上，函数在上单调递增，在上单调递减. 22．已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解】（1）易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. （2）令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 题型06 应用导数比大小 23．已知函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以在上单调递增， 所以，故选：D 24．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则， 即，综上可得，故选：B. 25．，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，中最大， 又，，而， ，，故，故选：B． 26．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 令函数， 可得即在上单调递减， 因此可得，即，所以.故选：B 27．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由求导，， 因对于，都有成立，故， 即函数在上单调递增，又，故.故选：B. 题型07 应用导数解不等式 28.（2025·山西大同二模）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设则，故在R上单调递减， 且，即， 即，故. 故不等式的解集为. 29．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 不等式中，，因此，解得， 所以所求解集为.故选：A 30．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为， 所以，所以单调递增， 又，所以的解集为， 即的解集为，故选：D. 31．已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为.故选：B. 题型08 含参问题分类讨论函数的单调性 32.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【解】因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 33．已知函数，讨论的单调性． 【解】． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 34.已知函数，讨论函数的单调性． 【解】函数定义域为，由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增； 当时，的解为，的解为， 所以在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 35.已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 【解】当时，，则， 令 ，得到 解得： ， 所以函数 的单调递增区间是 36.已知，其中为实数，讨论的单调性． 【解】， ①当时，由得 ；由得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，恒成立， 所以在上单调递增； ④当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 1．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 2．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 3．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 【答案】 【解析】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 4．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】设，则，所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 5．若是方程的解，是方程的解，则 . 【答案】1 【解析】依题意，，且，则， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，因此，所以. 6．已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点，即， 7．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为．故选：A． 8．已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】函数在上单调递增的充要条件为在上恒成立. ，因此需要在上恒成立，即在上恒成立. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以.所以“”是“在上单调递增”的充要条件，故选：C. 9．设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 又，由，得，解得， 即的单调递减区间为． 设， 则. 由得，即， 又，则，解得， 即的单调递增区间为． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”．故选：B 10．已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 【解】由，求导得. ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递增； 当，，则在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 11．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3导数的应用 （一）利用导数研究函数的单调性 题型01函数与导函数图象之间的关系 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 2．已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为 ． 3．设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A．B．C．D． 4.已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 题型02利用导数求函数的单调区间（不含参） 5．函数，的单调递增区间为 ． 6．函数的单调减区间为 ． 7．函数的增区间是 . 8．函数的单调递增区间是 . 题型03由函数的单调区间求参数 9．已知函数的单调递减区间为，则的值为 ． 10．已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 11．如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 12．设，若的单调减区间为，则 ， . 题型04由函数在区间上的单调性求参数 13．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 14．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 16．已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 17．已知函数在上单调递减，则m的取值范围是 ． 18．若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 题型05用导数判断或证明已知函数单调性 19．已知函数．判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 20．证明：函数在区间上是严格增函数． 21．已知函数，判断函数在区间上的单调性. 22．已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 题型06 应用导数比大小 23．已知函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．设，，，则（   ） A． B． C． D． 25．，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 27．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 题型07 应用导数解不等式 28.（2025·山西大同二模）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 29．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 30．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 31．已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 题型08 含参问题分类讨论函数的单调性 32.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 33．已知函数，讨论的单调性． 34.已知函数，讨论函数的单调性． 35.已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 36.已知，其中为实数，讨论的单调性． 1．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 2．已知函数，则不等式的解集为 . 3．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 4．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 5．若是方程的解，是方程的解，则 . 6．已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 7．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 11．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $