5.1导数的概念及其意义（分层作业，10大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 5.1导数的概念及其意义 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数的平均变化率 题型02 物体的平均速度与瞬时速度 题型03 导数的极限定义及其应用 题型04 求函数在一点处的导数（切线斜率） 题型05 求切线的斜率、倾斜角 题型06 利用导数的几何意义比较导数值大小 题型07 函数图象与导函数的关系 B组 能力进阶 题型01 利用导数的几何意义求切线方程 题型02 导数几何意义的理解及应用 C组 思维拔高 题型 新定义问题 函数的平均变化率题型01 1．（25-26高二·北京·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平均变化率定义求解即可 【详解】因为函数，所以函数在区间上的平均变化率为： . 2．（24-25高二下·浙江·期中）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B．2x C． D． 【答案】C 【分析】直接根据平均变化率的概念求解即可. 【详解】. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 4．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】解：由题得. 故选：B 5．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可； 【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、， 由图可知， 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：C 6．下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 由于，故在上的平均变化率最大， 故选：B 7．（24-25高二下·北京·月考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】本题可根据的几何意义，结合图象来逐一分析各个结论，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，则， 对于①：表示区间上函数图象割线的斜率的相反数. 在这段时间内，甲企业对应图象割线的斜率小于于乙企业对应图象割线的斜率， 所以甲企业对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确. 对于②：在时刻，甲企业图象切线的斜率小于乙企业图象切线的斜率， 所以甲企业在时刻对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确. 对于③：从图象可以看出，在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量， 即甲、乙两企业的污水排放都已达标，③正确. 对于④：在，，这三段时间中， 这段时间甲企业图象割线的斜率最小，则其斜率相反数最大， 所以甲企业在的污水治理能力最强，而不是，④错误. 综上，①②③正确. 故选：C 8．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【答案】(1)，. (2) 由，可得， 且， 表示曲线上两点和所在的直线的斜率为. 【分析】（1）当且时，求得，得到函数的增量为，再求得的值，即可得到答案. （2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当且时，可得，即函数的增量为， 则平均变化率. （2）略 物体的平均速度与瞬时速度题型02 1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率 C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度 【答案】D 【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度. 故选：D. 2．某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由位移与时间之间的关系为， 根据平均变化率的计算公式，可得在这段时间内，该物体的平均速度为： 故选：B. 3．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（　　） A． B．3 C．6 D． 【答案】D 【详解】根据题意，该质点在时的瞬时速度为. 4．（24-25高二下·重庆·期中）某物体运动时，位移（米）与时间（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（   ） A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定 【答案】A 【分析】由导数的定义及瞬时速度的概念可得. 【详解】由题意可得 ， 所以，所以该物体在2秒末的瞬时速度为1米/秒. 故选：A 5．（24-25高二下·北京·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 6．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______． 【答案】80 【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【详解】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80 7．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________. 【答案】2 【分析】根据导数的定义可推得，根据导数的意义，即可得出答案. 【详解】根据导数的定义可得，， 根据导数的意义，可知，所以. 故答案为：2. 8．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据初速度的定义求解即可， （2）根据瞬时速度的定义求解即可， （3）根据平均速度的定义求解即可. 【详解】（1）初速度 （2） ， 所以此物体在时的瞬时速度为，方向与初速度方向相反， （3）， 所以到时的平均速度为 导数的极限定义及其应用题型03 1．（25-26高二下·重庆·学业水平）设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】A 【详解】依题意，. 2．已知函数在处的导数为2，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】直接由导数的概念求解即可. 【详解】. 故选：C. 3．若，则的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用导数的定义即可得到答案. 【详解】由导数的定义可知，. 故选：C 【点睛】本题考查导数的定义，考查学生对定义的理解与辨析，是一道容易题. 4．（24-25高二下·广东东莞·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】， 所以. 故选：. 5．已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得. 【详解】， ，解得. 故选：C. 6．（25-26高三上·上海·期中）若，则__________． 【答案】3 【详解】因为，所以根据导数的定义. 7．（24-25高二下·江苏高邮·期中）设定义在R上的函数的导函数为_________． 【答案】4050 【分析】根据导数的定义得到. 【详解】. 故答案为：4050 8．（24-25高三下·上海·质检）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据极限的运算法则，以及导数的定义，即可求解. 【详解】由 ， 因为，所以. 故答案为：. 求函数在一点处的导数（切线斜率）题型04 1．若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，直接代入求值. 【详解】根据导数的定义可知， . 故选：B 2．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【详解】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北·期末）计算（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】令，根据导数的概念，可求解. 【详解】设，，， 故选：A. 4．已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得； 【详解】解：因为， 所以 故选：D 5．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.如果使用杀菌剂小时后的细菌数量为，则细菌数量在时的瞬时变化率为（    ） A．-2 B．0 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用导数求瞬时变化率. 【详解】，当时，， 所以细菌数量在时的瞬时变化率为. 故选：B 6．已知函数，则___________． 【答案】 【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得； 【详解】解：因为， 所以 故答案为： 7．平均储蓄倾向（APS）是指任一收入水平上储蓄在收入中所占的比率，满足，其中为储蓄，为收入.若，则当时，APS关于的瞬时变化率为______. 【答案】 【详解】由题意知， 当时，APS关于的瞬时变化率为 . 8．（1）求函数在处的导数； （2）求函数（a、b为常数）的导数． 【答案】（1） ；（2）． 【分析】根据导数的定义即可求函数的导数. 【详解】（1）由题意可知，, 所以， 所以，　　 所以． （2）由题意可知，， 所以． 所以 所以. 求切线的斜率、倾斜角题型05 1．（24-25高二下·福建福清·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由得，则，即直线的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：D 2．设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（    ） A．30° B．135° C．45° D．120° 【答案】B 【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解． 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 由，可得， 则曲线在处的斜率为， 则，，解得， 故选：B． 3．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求得，即可得到答案. 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 4．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，且， 根据图象得． 5．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可. 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 6．如图，直线l是曲线在处的切线，则________． 【答案】 【分析】从图中求出切线过的点，求出直线的斜率，根据导数的几何意义即可求出的值. 【详解】由图知，切线过，所以直线l的斜率为， 由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的斜率，属于基础题. 7．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 【答案】 【分析】根据导数的定义和几何意义即可求解. 【详解】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为： 8．曲线与在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答） 【答案】 【分析】联立曲线方程求出交点坐标，利用导数分别求出两切线斜率，再由夹角公式求解即可. 【详解】由消元可得，，解得， 所以两曲线只有一个交点, 由可得，所以， 由可得，所以， 由直线的夹角公式可得， 由知，. 故答案为： 利用导数的几何意义比较导数值大小题型06 1．已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系. 【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而， 故选：B. 2．已知函数，的大致图象如图所示，的导函数为，的导函数为，则（    ） A． B． C． D．无法判断与的大小 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义分析判断. 【详解】由图可知：函数在处的切线斜率大于函数在处的切线斜率， 所以. 故选：B. 3．函数图像如图所示，下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图易知，单调递减，所以，当x逐渐变大时， 在x处的切线倾斜角逐渐变大，即切线斜率逐渐变大，即逐渐变大， 所以当时，， 综上，． 4．（25-26高二上·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．<< B．<< C．<< D．<< 【答案】B 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 5．（25-26高二下·福建福州·适应性考试）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，根据导数的几何意义判断即可； 【详解】由图可知，， 从图象可以看出函数在处切线的斜率大于在处切线的斜率， 所以最大. 6．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 7．（25-26高二·河南洛阳·期中）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到在该区间内是单调递减函数，结合导数的几何意义和割线的斜率，即可求解. 【详解】由函数的图象，函数在上是单调递减函数，且图象是向上凸起， 此时切线的斜率随增大而减小，即在该区间内是单调递减函数， 如图所示，表示在点处的切线的斜率， 表示在点处的切线的斜率， 表示过点的割线的斜率， 根据导数的几何意义，可得，且. 8．（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 函数图象与导函数的关系题型07 1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（    ） A． B． C． D．   【答案】A 【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可. 【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A. 故选：A. 2．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的增长速度求得正确答案. 【详解】当时，的增长速度越来越快； 当时，的增长速度越来越慢； 所以B选项符合. 故选：B 3．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C； 总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B； 考察A. D的差异在于两肩位置的改变是否平滑， 考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A. 故选A. 4．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①② 【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项. 【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示）， 设导数在取最大值，结合的图象可知， 且当时，为增函数，在上为减函数， 对于①，任意，取，则有，故①成立. 对于②，设，由图象的性质可平移直线至处， 此时平移后的直线与图象相切，且，取， 故，故②正确. 对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线， 交的图象于，由函数的图象特征可得， 取，则，故③不成立. 对于④，取（为①中最大值点）， 则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线， 否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误. 故答案为：①②. 【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断. 利用导数的几何意义求切线方程题型01 1．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【详解】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数与函数的图象有公共切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出两个切点，分别表示出切线，利用两切线方程对应系数相等，解出，将看作关于变量的函数，求得函数的值域即可. 【详解】由题意，设公切线与函数相切于点，与函数相切于点； 又，， 则公切线的斜率，且； 故切线方程为，化简得， 也可以表示为，化简得， 所以，则， 又，则，则. 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__. 【答案】（-2，15） 【详解】试题分析：设点p（a,b）(a<0),∵，∴，∴点P处的切线的斜率为,解得a=-2,∴，故点P的坐标为 考点：本题考查了导数的几何意义 点评：导数的几何意义：导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，即 4．若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为______，切线方程为______. 【答案】 【分析】用导数和切线的斜率，求得切点的横坐标，进而求得的坐标，代入点斜式即可求出切线方程. 【详解】因为，所以，又切线与直线平行， 所以切线的斜率为，设切线与曲线相切于点，则，解得， 则切点的坐标为. 由于切线的斜率为，过点，所以该切线方程为：，即. 故答案为：， 5．（高三上·湖南多校（永州·联考）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 6．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值是_______． 【答案】4 【详解】由，则切线斜率， 则过的切线方程为:， 与坐标轴交点分别为， 又所成三角形面积为2，可得，所以,故答案为4. 7．已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可； （2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可. 【详解】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. 8．已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1)4049 (2)或 【分析】（1）利用平均变化率公式即可求解； （2）利用导数求切线斜率，再设切线方程，通过定点求参数，即可求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以在区间上的平均变化率为 . （2）易知直线与曲线不相切，故设切点为，， 由于，所以在点外的切线方程为：， 由切线经过点得：， 即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或. 导数几何意义的理解及应用题型02 1．曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由切线方程可知，切点坐标为，切线斜率为1， 所以，得. 2．在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断. 【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意， 对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确. 故选：A. 3．（25-26高二·山东济宁·质检）已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，求得的值，根据点在切线上，求得的值，进而求得的值． 【详解】点在切线上，所以， 根据导数的几何意义，所以，所以. 4．（24-25高三上·河北承德·联考）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 5．已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为奇函数得，由关于直线对称得 为偶函数，对于选项A，由为偶函数满足即可判断；对于选项B，由得即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由得到的对称性，从而得到导数的关系即可判断. 【详解】解法一：由为奇函数得， 令，则，所以， 即，所以； 因为关于直线对称，所以关于轴对称， 即为偶函数，所以. 对于选项A，因为为偶函数，所以， 所以，故选项A错误. 对于选项B，由得， 所以，故选项B错误. 对于选项C，因为的图像关于轴对称，所以轴左右两边对称点的切线关于轴对称，所以切线的斜率互为相反数， 即，所以， 所以，故选项C错误. 对于选项D，因为，所以关于点中心对称， 因为，所以和关于点对称， 所以在和处切线的斜率相等，即， 所以，故选项D正确. 故选：D. 6．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________ ； _________．（用数字作答） 【答案】 2 -2 【详解】f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2. 7．人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论： ①在这段时间内，甲的心率变化比乙快； ②在时刻，甲的心率变化比乙快； ③在时刻，甲、乙的心率变化相同； ④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可. 【详解】对于①，在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确： 对于②，图象切线斜率的绝对值比图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，故②正确； 对于③，在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲、乙的心率变化相同，故③正确； 对于④，乙（虚线）在这段时间的割线斜率小于甲（实线）在这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误． 故选：①②③ 8．已知直线与抛物线相切，则_______． 【答案】 【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值. 【详解】解：直线与抛物线相切，切点为 由已知， 则有，解得. 故答案为： 新定义问题题型 1．（24-25高三下·浙江·联考）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则__________. 【答案】##0.375 【分析】由题意得出两抛物线在第一象限相切，设两抛物线的公共切点为，借助导数，求出两条曲线在该点处的切线斜率，利用斜率相等建立方程求出切点坐标，代入函数即可得解. 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 2．定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值集合为________ 【答案】 【分析】根据 “偏导函数”的定义求得，，进而利用换元法结合判别式法求得答案． 【详解】依题意， ， 同理可求得，所以,，设， 则，由， 得， ，此方程有解， 所以， 即，． 故的取值范围为， 故答案为： 3．如果函数的定义域为R，且满足以下两条性质：（i）对任意，只要，都有；（ii）任意，都有，则称函数为函数.给出下列结论： ①存在为函数满足 ②函数是奇函数 ③函数在上是增函数 ④如果为函数，那么对任意在上的平均变化率小于在上的平均变化率 其中，所有正确结论的序号是___________ 【答案】②③④ 【分析】根据新定义求得，判断①，由新定义结合奇函数、增函数和平均变化率的定义判断②③④． 【详解】①若为函数，则令，有，，①错； ②若为函数，则，令，则， ，，是奇函数，②正确； ③为函数，则是奇函数，设，则， 由是奇函数得， 由，设，，， 则，所以， 所以，．在上是增函数，由是奇函数可得在上是增函数，③正确； ④对任意，， 又，所以，所以， 所以，所以，④正确． 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的奇偶性、单调性、平均变化率的定义．解题关键是利用新定义运算对函数式进行变化，结合函数的性质证明．在证明单调性时，利用两角和与差的正切公式进行变形是难点．本题属于难题． 4．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①，； ②，； ③,； ④, 其中，曲线和存在“分渐近线”的是________． 【答案】②④ 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】和存在分渐近线的充要条件是时，． 对于①，，当时，令 由于，所以为增函数，不符合时，，所以①不存在； 对于②， ， 因为当且时，，所以存在分渐近线； 对于③，， 当且时，与均单调递减，但的递减速度比快， 所以当时会越来越小，不会趋近于0， 所以不存在分渐近线； 对于④，，当时， ，且 因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是②④． 故答案为②④． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于中档题. 5．设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 【答案】(1)不是,令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”. (2)命题为真命题. 因为, 不妨令, 因为是“平缓函数”, 则, 所以, 故命题为真命题. (3)因为是以为周期的周期函数,不妨设, 当时,因为函数是“平缓函数”, 则; 当时,不妨设,则, 因为是以为周期的周期函数, 则, 因为函数是“平缓函数”, 所以 , 所以对任意的,均有, 因为是以为周期的周期函数, 所以对任意的,均有. 【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可; （2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明; （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明; 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1导数的概念及其意义 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数的平均变化率 题型02 物体的平均速度与瞬时速度 题型03 导数的极限定义及其应用 题型04 求函数在一点处的导数（切线斜率） 题型05 求切线的斜率、倾斜角 题型06 利用导数的几何意义比较导数值大小 题型07 函数图象与导函数的关系 B组 能力进阶 题型01 利用导数的几何意义求切线方程 题型02 导数几何意义的理解及应用 C组 思维拔高 题型 新定义问题 函数的平均变化率题型01 1．（25-26高二·北京·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B．2x C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 4．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．1 5．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 6．下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·北京·月考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 8．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 物体的平均速度与瞬时速度题型02 1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率 C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度 2．某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（　　） A． B．3 C．6 D． 4．（24-25高二下·重庆·期中）某物体运动时，位移（米）与时间（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（   ） A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定 5．（24-25高二下·北京·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______． 7．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________. 8．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 导数的极限定义及其应用题型03 1．（25-26高二下·重庆·学业水平）设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．已知函数在处的导数为2，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．若，则的导函数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东东莞·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 5．已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）若，则__________． 7．（24-25高二下·江苏高邮·期中）设定义在R上的函数的导函数为_________． 8．（24-25高三下·上海·质检）已知，则_______. 求函数在一点处的导数（切线斜率）题型04 1．若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期末）计算（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.如果使用杀菌剂小时后的细菌数量为，则细菌数量在时的瞬时变化率为（    ） A．-2 B．0 C．5 D．10 6．已知函数，则___________． 7．平均储蓄倾向（APS）是指任一收入水平上储蓄在收入中所占的比率，满足，其中为储蓄，为收入.若，则当时，APS关于的瞬时变化率为______. 8．（1）求函数在处的导数； （2）求函数（a、b为常数）的导数． 求切线的斜率、倾斜角题型05 1．（24-25高二下·福建福清·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（    ） A．30° B．135° C．45° D．120° 3．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，直线l是曲线在处的切线，则________． 7．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________. 8．曲线与在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答） 利用导数的几何意义比较导数值大小题型06 1．已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，的大致图象如图所示，的导函数为，的导函数为，则（    ） A． B． C． D．无法判断与的大小 3．函数图像如图所示，下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．<< B．<< C．<< D．<< 5．（25-26高二下·福建福州·适应性考试）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二·河南洛阳·期中）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 函数图象与导函数的关系题型07 1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（    ） A． B． C． D．   2．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （　 ） A． B． C． D． 4．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是___________. 利用导数的几何意义求切线方程题型01 1．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数与函数的图象有公共切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__. 4．若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为______，切线方程为______. 5．（高三上·湖南多校（永州·联考）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 6．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值是_______． 7．已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 8．已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线过点的切线方程. 导数几何意义的理解及应用题型02 1．曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高二·山东济宁·质检）已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（    ） A．2 B．1 C． D．0 4．（24-25高三上·河北承德·联考）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 5．已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________ ； _________．（用数字作答） 7．人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论： ①在这段时间内，甲的心率变化比乙快； ②在时刻，甲的心率变化比乙快； ③在时刻，甲、乙的心率变化相同； ④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快． 其中，所有正确结论的序号是________． 8．已知直线与抛物线相切，则_______． 新定义问题题型 1．（24-25高三下·浙江·联考）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则__________. 2．定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值集合为________ 3．如果函数的定义域为R，且满足以下两条性质：（i）对任意，只要，都有；（ii）任意，都有，则称函数为函数.给出下列结论： ①存在为函数满足 ②函数是奇函数 ③函数在上是增函数 ④如果为函数，那么对任意在上的平均变化率小于在上的平均变化率 其中，所有正确结论的序号是___________ 4．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①，； ②，； ③,； ④, 其中，曲线和存在“分渐近线”的是________． 5．设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $