5.1.2 导数的概念及其几何意义(6大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 题型一 平均变化率 1．（2025高二·全国·专题练习）对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 2．（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 6．（24-25高二下·天津静海·月考）函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 题型二 导数的极限定义及其应用 1．（25-26高二上·江苏·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 4．(多选)（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高二·全国·课堂例题）（1）求函数在处的导数； （2）利用导数的定义，求在处的导数． 题型三 利用导数的几何意义比较导数值大小 1．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 题型四 求切线的斜率、倾斜角 1．（25-26高二上·江苏·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 题型五 利用切线的斜率求导数值 1．（23-24高二下·四川成都·月考）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 2．（24-25高二下·广东江门·月考）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型六 利用导数的几何意义求切线方程 1. （24-25高二下·江西吉安·月考）若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则(　　) A.a=-1,b=1 B.a=1,b=-1 C.a=-2,b=1 D.a=2,b=-1 2. （24-25高二下·广东湛江·月考）函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为(　　) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4) 3. （24-25高二下·全国·课后作业）若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是　　　　.  4．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）求曲线在点处的切线方程． （2）求函数在点处的切线方程． 5. （25-26高二上·江苏苏州·月考）试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程. 1．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南大理·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二·全国·专题练习）嫦娥五号探测器从距离月球表面15km处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.约14min后，探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 7.(2025浙江金华一中高二下期中)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(　　) A. B.[-1,0] C.[0,1] D. 8.(多选)（25-26高三上·江西·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 9．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线C：经过点，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率. (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点的曲线C的切线方程． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2.(2025浙江丽水高二下期末)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为　　　　　　　　.  3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 导数的概念及其几何意义 题型一 平均变化率 1．（2025高二·全国·专题练习）对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 【答案】C 【解析】可为正、可为负、不可为0；可为正、可为负、可为0. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平均变化率定义得， 故选：C. 4．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意有，解得. 故选：B. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【解析】由题意， ， ， 故． 故选：B 6．（24-25高二下·天津静海·月考）函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】由题意有，， 所以， 故选：B. 题型二 导数的极限定义及其应用 1．（25-26高二上·江苏·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知， . 故选：D. 3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 4．(多选)（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确； 故选：ABD. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由导数的定义得: ． 故选：D. 7.（24-25高二·全国·课堂例题）（1）求函数在处的导数； （2）利用导数的定义，求在处的导数． 【答案】（1）；（2） 【解析】(1)， 而， 又，所以． (2)， ， ． 题型三 利用导数的几何意义比较导数值大小 1．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确. 故选：B 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B. 题型四 求切线的斜率、倾斜角 1．（25-26高二上·江苏·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 4．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 【答案】 【解析】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 题型五 利用切线的斜率求导数值 1．（23-24高二下·四川成都·月考）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【解析】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以斜率， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·广东江门·月考）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由直线与曲线切于点， 知.由导数的定义知，. 故选：C 题型六 利用导数的几何意义求切线方程 1. （24-25高二下·江西吉安·月考）若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则(　　) A.a=-1,b=1 B.a=1,b=-1 C.a=-2,b=1 D.a=2,b=-1 【答案】B 【解析】由题意得,f'(1)== ==2+a. ∵曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0, ∴2+a=3,解得a=1. 又∵点(1,1)在曲线y=x2+ax+b上, ∴1+a+b=1,解得b=-1, ∴a=1,b=-1. 故选B. 2. （24-25高二下·广东湛江·月考）函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为(　　) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4) 【答案】C 【解析】f'(x)= = =3x2+1.设P(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,所以x0=±1,当x0=1时,f(x0)=0,当x0=-1时,f(x0)=-4,因此P点的坐标为(1,0)或(-1,-4). 3. （24-25高二下·全国·课后作业）若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是　　　　.  【答案】2x+y-5=0 【解析】由题意知,切线的斜率k=-2. ∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）求曲线在点处的切线方程． （2）求函数在点处的切线方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）， 故所求切线的斜率为2，切线方程为，即． （2）因为， 故所求切线的斜率为6，切线方程为，即． 5. （25-26高二上·江苏苏州·月考）试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程. 【答案】27x-4y-23=0和y=1. 【解析】解析　= = =3xΔx+3x2+(Δx)2, 则=3x2,因此y'=3x2. 设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,+1),根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k=3①,过点M和点P的切线的斜率k=②,由①-②得3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1. 1．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：D. 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中用替换，知. 所以. 故. 故选：D. 3．（24-25高二下·云南大理·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由图可知：，即表示的是两点的割线斜率； 根据导数的几何意义，由，即表示的是函数曲线在点的切线斜率； 由，即表示的是函数曲线在点的切线斜率； 利用图形中三直线的倾斜角大小结合正切函数的单调递增可知：点的切线斜率最大，点的切线斜率最小，两点的割线斜率介于两者之间， 故选：A. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以．故选：B 5．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 6．（2025高二·全国·专题练习）嫦娥五号探测器从距离月球表面15km处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.约14min后，探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以. 因为探测器的速度逐渐减小，所以. 故选：D. 7.(2025浙江金华一中高二下期中)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(　　) A. B.[-1,0] C.[0,1] D. 【答案】D 【解析】设点P的横坐标为x0,则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为tan α=f'(x0)==2x0+2. ∵α∈,∴tan α∈[1,+∞), ∴2x0+2≥1,即x0≥-, ∴点P的横坐标的取值范围为. 8.(多选)（25-26高三上·江西·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 【答案】AC 【解析】对于A，设，定义域为， 则，故为奇函数，A正确； 对于B，，则， 故，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，设，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，即，D错误. 故选：AC 9．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线C：经过点，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率. (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点的曲线C的切线方程． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【解析】（1）将代入中得，∴. 所以 ， ∴曲线在点P处切线的斜率为. （2）曲线在点P处的切线方程为，即. （3）∵点不在曲线C上， 设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点， 则切线斜率，由于，∴， ∴切点，切线斜率，切线方程为，即. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】(1).(2)或. 【解析】（1） 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】证明见解析 【解析】设，由导函数的定义，可知 ， 不妨设，则点处的切线斜率，切线方程为， 由得， 即，解得或， 所以的横坐标为，所以点处的切线斜率为， 故为定值． 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 因为函数的图象与x轴恰有一个交点，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为2. 故选：A 2.(2025浙江丽水高二下期末)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为　　　　　　　　.  【答案】x-y+2=0或x+3y-2=0 【解析】令y=f(x)=x2,设B(t,t2), 则kAB==2t, 则直线AB的方程为y=2tx-t2. 当t=0时,符合题意,此时A(-2,0), ∴直线m的方程为x-y+2=0. 当t≠0时,A,=,=(t+1,t2-1), ∵PA⊥PB,∴·=0,即(t+1)-(t2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0), ∴直线m的方程为x+3y-2=0. 综上,直线m的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 【答案】 【解析】∵， ∴，即切线斜率. ∵， ∴，即切线斜率. ∵在交点处有公共切线， ∴，又，即， 所以. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【解析】（1）易知，所以割线的斜率， 点处的切线斜率， 所以． （2）点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为，即， 其在轴和轴的截距分别为和， 所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故，解得． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $