精品解析：天津市静海区瀛海学校2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

瀛海学校2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高二 数学 试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟． 第Ⅰ卷 一、单选题（共15题，每题4分，共60分） 1. 过两点，的直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点到点的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 13. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 14. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 15. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 16. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述正确的是__________． ①点关于轴的对称点坐标是 ②点关于原点的对称点坐标是 ③点关于平面的对称点坐标是 ④点到平面的距离是 17. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 18. 已知，，则______. 19. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 20. 经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 21. 如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 三、解答题（共3题，共36分） 22. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 23. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 24. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瀛海学校2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高二 数学 试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟． 第Ⅰ卷 一、单选题（共15题，每题4分，共60分） 1. 过两点，的直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点求出斜率，再由斜率求出倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，所以， 故直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 4. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 5. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 7. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 8. 在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式可得答案. 【详解】因为点、，则线段的中点坐标为， 即. 故选：B. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点到点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用空间中点坐标公式，再利用空间两点间距离公式即可. 【详解】线段的中点坐标为， 则点到点的距离为. 故答案为：A. 10. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 11. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 12. 已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由向量加法得， 所以. 13. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 14. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 15. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 16. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述正确的是__________． ①点关于轴的对称点坐标是 ②点关于原点的对称点坐标是 ③点关于平面的对称点坐标是 ④点到平面的距离是 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质及点到坐标平面的距离定义，逐一判断各叙述的正误. 【详解】判断①：点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标、竖坐标均变为原坐标的相反数，因此点关于轴的对称点为，故①错误； 判断②：点关于原点对称时，横、纵、竖坐标均变为原坐标的相反数，因此点关于原点的对称点为，故②正确； 判断③：点关于平面对称时，横、纵坐标不变，竖坐标变为原坐标的相反数，因此点关于平面的对称点为，故③错误； 判断④：点到平面的距离为该点竖坐标的绝对值，因此点到平面的距离为，故④正确. 17. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 18. 已知，，则______. 【答案】22 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为：22. 19. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 20. 经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 21. 如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接,易得是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则的长即为点到直线的距离，在等边三角形中，求解即可. 【详解】连接, 因为，，点D是中点，， 所以，, 又因为,, 所以是边长为的等边三角形， 取的中点，连接, 则, 所以的长即为点到直线的距离， 又因为是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 三、解答题（共3题，共36分） 22. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【小问1详解】 直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. 【小问2详解】 由得,由(1)可得，所以. 23. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，， ，所以. 以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，因为为的中点，所以. 所以，，，则， 即，， 所以，，又因为，且，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设点到平面的距离为，可得 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）可得平面的一个法向量为， 又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 24. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离. 【答案】（1） 连接，交于点O， 由P，O分别为和的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，根据中位线的性质及线面平行的判断定理即可判断平面. （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）求得平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得F到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直线平面，，以所在的直线为x轴， 以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系. 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以平面的一个法向量为，又 设直线与平面所成角的正弦值，则. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，又， 所以点F到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $