精品解析：甘肃省兰州市第五十八中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

2026-2027 学年第一学期期中试卷 高一数学试卷 全卷共 150 分，考试时间 120 分钟． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 函数 的定义域是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数 若 ，则 （　　） A. B. C. 或 D. 8. 若对任意，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9. 设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 下列说法正确的是（　　） A. 函数与是同一个函数 B. 函数与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题 ：，：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ______． 13. 已知正实数x，y满足，则的最大值为__________． 14. 已知函数在闭区间上的值域为，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2）． 16. 已知集合 ，． （1）当 时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知，，且，求的最小值； （2）用一段长为36m的铁丝网围成一个矩形场地，并在场地中间用一段铁丝网将它隔成两个全等的矩形（隔网与该矩形的一边平行）．求该矩形场地面积的最大值． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）若在区间上的最小值为，求的值． 19. 定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． （1）分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； （2）已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； （3）已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年第一学期期中试卷 高一数学试卷 全卷共 150 分，考试时间 120 分钟． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，所以． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结果. 【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得是方程的两根， 所以，，即 ，. 所以 ． 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由均值不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以由均值不等式， ，当且仅当时，即时，不等式取等号， 故的最小值为3． 故选：B 6. 函数 的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数非负，求解一元二次不等式即可． 【详解】由 得，即，解得 ， 所以函数 的定义域为 ，故 A正确． 7. 已知函数 若 ，则 （　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当 时，，得 ，不符合，舍去； 当 时，，即 ，解得 或 （舍去）， 所以 ． 8. 若对任意，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分离参数得对 恒成立，转化为求右侧函数的最小值． 【解答】由 得 对任意 恒成立． 因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ， 所以 ，即 ． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9. 设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的包含关系以及集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，， 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，，不是，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10. 已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】逐项用基本不等式判断，注意等号成立的条件； 【解答】A选项：.当且仅当时等号成立，A正确. B选项：由 得 .当且仅当时等号成立，与选项结论相反，B错误. C选项：.当且仅当时等号成立，C正确. D选项：结合B选项可知，.当且仅当时等号成立，D正确. 11. 下列说法正确的是（　　） A. 函数与是同一个函数 B. 函数与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数定义判断AB；用基本不等式求值域判断C；直接代入化简判断D. 【详解】对于A，，两个函数的定义域都是，对应关系相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，当时，；同理当时，， 所以值域为 ，故C正确； 对于D，，故D错误． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题 ：，：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】先解出对应的集合，再由“是的充分不必要条件”得两集合的真包含关系． 【详解】由 得，记，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 故只需（当时仍是的真子集）， 所以的取值范围是． 13. 已知正实数x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为x，y为正实数，由基本不等式得：，即，解得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：2 14. 已知函数在闭区间上的值域为，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法，结合二次函数的定义域和值域，求得的取值范围. 【详解】，其定义域为，值域为， 故对称轴，故.又，由对称性知，∴. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据二次函数在闭区间上的值域求参数的取值范围，属于中档题. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解后按“大于取两边，小于取中间”写出解集； （2）移项通分，转化为一元二次不等式，注意分母不为零． 【小问1详解】 ，解得，解集为 ． 【小问2详解】 移项，，即，， 等价于且，解得，解集为 ． 16. 已知集合 ，． （1）当 时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可； （2）根据交集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由，得，所以． 当 时，，所以． 【小问2详解】 由，得， 所以，且，解得，即的取值范围是． 17. （1）已知，，且，求的最小值； （2）用一段长为36m的铁丝网围成一个矩形场地，并在场地中间用一段铁丝网将它隔成两个全等的矩形（隔网与该矩形的一边平行）．求该矩形场地面积的最大值． 【答案】（1）；（2）m² 【解析】 【详解】（1）用“ ”的代换：，展开后用基本不等式；（2）设边长，写出周长（含隔网）与面积的关系，由基本不等式求最值． 【解答】（1）因为，所以． 于是， 因为，，所以， 得， 当且仅当，即时取等号，又，所以， 故的最小值为． （2）设矩形的一边长为m，与隔网垂直的另一边长为m， 则铁丝网总长为（，）， 则， 即，故 当，时，取最大值． 故该矩形场地面积的最大值为． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式； （2）利用判别式小于等于零求解；（ （3）按对称轴与区间的位置关系分类讨论最小值． 【小问1详解】 当时，，解得，解集为． 【小问2详解】 ，解得，取值范围是． 【小问3详解】 ，图象开口向上，对称轴为． ① 当时，在上单调递增，最小值为， 解得，不满足，舍去； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，解得，取； ③ 当时，在上单调递减，最小值为， 解得，不满足，舍去． 综上所述，． 19. 定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． （1）分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； （2）已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； （3）已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 【答案】（1） 因为 ，，，，所以 是“差封闭集”； 因为 中 ，所以 不是“差封闭集”． （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）枚举集合中任意两个不同元素差的绝对值，检验结果是否全部属于原集合，以此判断是否满足差封闭集定义； （2）根据差封闭要求，得到，结合对的取值分类讨论，舍去矛盾情形求出； （3）先由锁定，再对分类得到c的候选值，代入检验排除不满足封闭性的c. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 中，，，还需 ． 若 ，则 ，与 矛盾；若 ，则 ；若 ，无解． 所以 ． 【小问3详解】 （）中， 必须在 中： 得 （舍）； 无解； 得 （舍）；故 ，即 ． 此时 ， 必须在 中： 若 ，则 （舍）；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，无解． 当 时，，两两之差为 ，，，都属于 ，符合； 当 时，，，不符合． 所以 ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $