山东省实验中学鹊华校区2026-2027学年高三上学期二诊前测试（10月）数学试题

山东省实验中学鹊华校区高三二诊前测试数学试题 2026.10 学校 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.若复数z满足(1+21)z=2-i,则z的虚部为（) A.1 B.i C.-i D.-1 2.设a,b分别为△ABC的两个内角A,B所对的边，则“a>b”是“sinM>sinB”成立的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分由低到高依次为80,82,84,85,87,88， 88,89,91,93,则这组数据的第80百分位数为() A.88 B.89 C.90 D.91 4.在等比数列{an}中，2a,=a,a6,3a5=a24,则a,=（) A.￥ D.6 7 5.若10=2,10=5，则不正确的是（) A.x+y=1 B.y>2x c.y D.9对 6.有含甲在内的5名记者分别去2026美加墨世界杯A,B,C三个场馆进行现场报道.若每个场馆至少安 排一名记者，且甲必去A馆，则不同的安排方法共有（) A.24种 B.30种 C.32种 D.50种 7.已知函数f(x)=sinx与g(x)=sin(x+4p)的图象关于y轴对称，则p的一个取值为（) A名 B. c D 8.若函数f(x)=e-am没有零点，则正实数a的取值范围是（) A.(0,1) B.(1,e) c.(0,e) D.(0,2e) 二、多选题 9.已知2x*/ 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（) A.二项展开式中各项系数之和为3； B.二项展开式中系数最大的项为90x3; C.二项展开式中无常数项； D.二项式展开式中二项式系数最大的项为第4项. 10.已知盒子中有N件产品，且次品和正品数相等，现从中逐个抽取n个样品.方案一：有放回地抽样， 记取得次品个数为X;方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y,则() A若N=2,”=5,则PY-刻=C) k=0,1,2,3,4,5 B.若n为偶数，则当k=父时，P(X=利最大 C.E(X)=E(Y) D。若N=12,”=5,则两种方案中第三次抽到次品的概率均为} 11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=(2x+1)n2x,则() A.当x<0时，f(x)=(2x-l)ln2(-x) B.f(x)在区间(-1，)上单调递减 C.xe(-o,0]U时f(x)s0 D.x轴是曲线y=∫(x)的一条切线 三、填空题 12.已知函数f(x)=f()x2+x,则f(1)= 13.已知数列a,}满足：a,-3an2,n≥4(aeN,a>0,数列a,}是递增数列，则实数a的取值范 4a"-4,n<4 围为■ 14.已知平面单位向量a,五满足a+=1.若对任意单位向量x,不等式：-ds1与-s1中至少有- 个成立，则实数1的最小值为 四、解答题 15.为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生 开展调查，统计数据如下表（单位：人） 心理抗压能力 课后体育锻炼 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育 90 30 120 锻炼 未坚持参加课后体 20 60 80 育锻炼 合计 110 90 200 (1)用频率估计概率，从200名学生中任意抽取一名学生，设事件A为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事 件B为“该学生心理抗压能力显著提升”，求P(BA); (2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升 有关？ n(ad-be)2 附：t=a+bc+a(a+ob+d 其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知a4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足-b_sim4+sinB a sin C+sin B' (1)求角C; (2)当c=23时. (i)若角C的平分线交AB于D,CD=1,求△ABC的面积； (i)求AB.AC的取值范围 17.已知函数f(x)=mx+xx(m∈R). (1)当m=1时，求函数f(x)的极值； (2)若f(x)>(2m-1)x-m对任意x>1恒成立，求整数m的最大值. 18.《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、 小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小 华能背诵每首古诗的影率均为子，小明、小华两位同学背通古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数x的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 19.已知数列{a},{},其中数列{a}是等差数列，且满足b,-a,=(-1)°n2,a+6=1,a+b=8,neN. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn= ，求数列{c,}的前n项和S。 a2n-1a2ntl (3)设数列{色，}的前n项和为T,记集合A={n≤100且T,≤100，求集合A中所有元素的和S. 参考答案 题号 2 3 6 6 7 8 9 10 答案 D C C A C D B C AD BCD 题号 11 答案 ACD 1.D 【分析】把已知等式变形，再由复数的除法运算进行化简，即可求得 【详解)由已知(1+2i)z=2-i, 2-1_（2-i001-21_2-4i-i+2--5 可得z=1+20+21-2列） 1-42 =-i, 所以z的虚部为-1. 2.C 【分析】利用正弦定理将边化为角，即a=2 RsinA,b=2 RsinB.因为外接圆半径R>0,可知a>b与 sinA>sinB互为等价关系，从而判断充分必要性 【详解】在aABC中，由正弦定理得：a=b =2R,(R>0) sinA sinB 所以a=2 RsinA,b=2 RsinB 因为2R>0,所以a>b→2 RsinA>2 RsinB→sinM>sinB. 即“a>b”可以推出“sinA>sinB”,且“sinA>sinB”也可以推出“a>b”. 所以“a>b”是“sinA>sinB”成立的充要条件. 3.C 【详解】一共10个数据，10×80%=8， 所以这组数据的第80百分位数为由低到高排列的第8,9个数据的平均数，即89+91=90. 2 4.A 【详解】设等比数列{an}的公比为9. 由2a,=aa6,得2a,g°=a92.ag3, 因为a≠0,9≠0，化简得ag=2,即a2=2. 由3a5=a24,得3a5=a5,因为45≠0，所以a=3. 则g2==3 422 所以a1=492=4,(9y=2x=22 4 5.C 【详解】对于A,10*+y=10.10'=2×5=10=10'→x+y=1,A正确； 对于B,由题：x=g2,y=lg5, 所以y-2x=g5-2g2=g5-g2=87, 寻>1→g730→y>2,B正确 对于C,由选项A可知x+y=1,所以x2+y2≥2y→2(x2+y2）≥(x+y)}=1, 所以2+少之，当且仅当x=y时取等号，因为y,所以2+y产>号，C错误： 对于D,由选项A可知x+y=1,由选项B可知x>0,y>0, 由基本不等式得1=x+y22网，则≤号，当且仅当x=y时取等号， 1 因为x≠y,所以y<4,D正确 6.D 【分析】根据分类加法计数原理，根据特殊元素甲和A馆，根据A馆人数进行分类，利用分组分配方法计 算。 【详解】分两类：①A馆只安排甲，另外4个人分配在B,C两馆，第一种情况每馆2人，有CC?=6种方 法， 第二种情况B,C两馆分别为3人和1人，有CCA?=8种方法； A馆安排2人以上，将4人分成2,11三组，再分配到3个馆，有CCCA;=36种。 2 ∴.不同的安排方法有6+8+36=50种。 7.B 【分析】先求出函数f(x)=six的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，由条件结合正弦函数性质列方 程求p即可 【详解】函数f(x)=sinx的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为h(x)=sin(-x), 由已知sin(-x)=sin(x+4p), 所以x+4p-（-x)=2km或x+40+(-x)=2km+π，k∈Z, 由x+40-（-x)=2k红化简可得2x+4p=2kπ，该式无法对任意x恒成立，舍去； 由x+4p=2kc+-(←9化简可得40=2+，即p=经+keZ列， 当k=0时，=牙，选项B符合要求 8.c 【详解】因为∫(x)没有零点，所以方程∫(x)=0没有实数根 因为x=0不是方程/()=0的根，令c-m=0,则有a=(x≠0)。 所以原问题等价于直线y=a与曲线y=g没有交点。 令8(-=，则g国)--型 x 由g'(x)>0,得x>1;由g(x)<0,得0<x<1或x<0, 则g(x)在(-o,0),(0,)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 当x<0时，g(x)<0;当x>0时，g(x)>0 当x>0时，g(x)2g(0)=e,又当x→+o时，g(x)→+o V=a 由函数图象，可得正实数a的取值范围是(0，e) 9.AD 【分析1由二项式系数之和为64，可得2”=64，得1=6，所以二项式为2x+ 1 ,然后写出二项式展 开式的通式公式不=C0广（宁，然后蓬个分折判断 【详解】解：因为2x+ 1 的二项展开式中二项式系数之和为64， 所以2”=64，得m=6,所以二项武为2x+ 则项武展开式的通武公式=G2g宁=G2,片， 对于A,令x=1,可得二项展开式中各项系数之和为3，所以A正确； Co22Cg2--) 5 7 对于B,令第项的系数最大，则 C2≥Cg12r,解得≤r≤ 3 因为r∈N°，所以r=2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为T=C2x3=240x, 所以B错误， 对于C,令6-=0，则r=4,所以二项展开式中的常数项为Cg2一x2”=60,所以C错误； 3 2 对于D,由n=6,展开式中第r+1项的二项式系数对应为C6, 由组合数的性质可得当r=3时，C。是最大的，二项式展开式中二项式系数最大的项为第4项，所以D正 确； 故选：AD 10.BCD 【分析】根据有放回与不放回抽样的特点，分别确定二项分布与超几何分布，利用相邻概率之比判断最大 概率，并比较两种分布的期望及各次抽样的次品概率 【详解】A.不放回抽样时，Y服从超几何分布，故P(Y=k)= C,其中k=0,12.3,45, C 例如P(Y=0)=」 -I 132， 而所给公式在k=0时的值 32,因此A错误； B.有放回抽样时，各次抽取相互独立， 且每次取得次品的概率为2， 所以X-r2,PX=划=c P(X=k+1)n-k 当k=0,1,,n-1时， P(X=)k+1’ 当n为偶数时，概率随k的增大先增后减，并在k=”时达到最大值，因此B正确； I n N C.由二项分布与超几何分布的期望公式，E(幻=”22，E)=m及=)， N2 所以E(X)=E(Y),因此C正确； D.有放回抽样时，第三次抽到次品的概率为2， 不放回抽样时，每件产品出现在第三次抽取位置的可能性相同， 故第三次抽到次品的概率为 61 22,因此D正确 11.ACD 【详解】A:由函数f(x)为R上的奇函数，且x>0时，f(x)=(2x+)n2x, 所以x<0时，-x>0,则f(-x)=(-2x+1)n2(-x), 所以f()=-(-x)=(2x-)1n2(-x),正确 [(2x-l)n2(-x),x<0 B:由上及题设知f(x)=0,x=0 (2x+1)n2x,x>0 当xo0时，国-2x+hx,则r国=2hax++2 设8=nx2,则g因-学， 当x∈(0，)时，g(x)<0,g(x)在(0，)上单调递减。 当x∈（山+）时，g'(:)小>0，g()在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0=3, 当xe(0,)时，(x)<0,f(x)在(0，)上单调递减， 当x∈(，+)时，"(x)>0,f(x)在山，+∞)上单调递增，结合奇函数的对称性， 所以函数f(x)在(-1,0)和(0，)上单调递减，在(-。，-H)和(1，+∞)上单调递增，错误： C:当x>0时f(x)≥f)=0,当x<0时f(x)sf(-)=0,所以xe(-o,0小U时，f(x)s0,正确 D:由函数单调性与奇偶性可知函数图象，如图所示， A y=f(x) 当x=±1时函数取得极值，此时切线方程为y=0,即为x轴，正确 12.0 【详解】由f(x)=∫()x+x,得f(x)=2∫0)x+1. 所以f(=2f(0+1,则f(①)=-1」 所以f(x)=-x2+x,则f(0)=-P+1=0 13.（02) 3-a>0 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得a>1,解可得答案. 43<a4 (3-a)n-2,n≥4 【详解】an= 4a-4,n<4 (neN',a>0), [3-a>0 3-a>0 a<3 若{a,}为递增数列，则有{a>1,即a>1 ,所以{a>1 a<a 43-a)-2>4 1 a a<2 解得1<a<2,即a的取值范围为(1,2) 14.5 【分析】条件"对任意单位向量x，:-≤1与：-b≤1中至少有一个成立"的几何意义是：单位圆上 的任意一点，至少落在以ā的终点为圆心、半径为（的圆与以6的终点为圆心、半径为！的圆的并 集之内. 【详解】 B 由1ā+b=1,两边平方得 a+b=a2+|b2+2a.b=1+1+2cos0=2+2cos0=1, 其中0为à与6的夹角，解得 m0=3,0=5 3 如图生立坐玩系令4=，则日夹角9-晋得5一罗) 单位圆上一点元=(cosa,sina)，到两圆心的距离平方分别为 l-a2=(cosa-1)2+sin2 a =2-2cosa, --a2om-sha. 要使单位圆上每一点至少被一个圆覆盖，只需保证单位圆上离两圆心均最远的临界点到两圆心的距离 过1. 令两距离相等，即2-2cosa=2+cosa-V3sina, ，此时 化简得3cosa=V3sina,即tana=5结合几何位置取a=4红 cos 4=-1 3 32 代入得1-a=2-2×-3, I-6-2+》-5)- 故该临界点到两圆心的距离均为√5若1<√5，则此点不满足任何一个不等式，与题设矛盾. 综上，【的最小值为√： 【点睛】"至少一个成立"的向量不等式问题，本质是圆覆盖问题，找两圆覆盖边界的交点（临界点）是求 最小半径的关键。 5.房 (2)能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关 【详解】(1)由列联表可知，事件A=“坚持参加课后体育锻炼”，n(A)=120, 事件AB=“坚持参加课后体育锻炼且心理抗压能力显著提升”，n(AB)=90, 用频率估计概率，根据条件概率公式P(B|)= n(AB) n(A)’ 得PB10=204 903 (2)零假设H。：高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关， 取a=90,b=30,c=20,d=60,n=200,代入卡方检验公式x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 200×4800 先计算分子核心项ad-bc=90×60-30×20=4800,代入得x2= ≈48.49， 120×80×110×90 已知a=0.001对应的临界值为10.828， 由于x2≈48.49>10.828， 即依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与 心理抗压能力显著提升有关. 2π 16.(1 (2)()△ABC的面积为V5;(i)AB.AC的取值范围为(0,12) 【分析()根据题意，由正弦定理化简得到。+6-b,再由余弦定理得c0sC=,即可求解； (2)()根据题意，由S,=S4D+SD,求得ab=b+a,结合余弦定理即可求得ab=4,再利用面积 (2)3 【分析】(1)利用导数求出函数f(x)的单调性即可求解； (@)将已知条件整理为m<中产对任意x>1恒成立，令8-产(>，利用导数求出g的 x-1 最小值即可求解 【详解】(1)当m=1时，函数f(x)=x+xx,定义域为(0，+o),f'(x)=lnx+2, 令f'(x)=0,即1nx+2=0,解得x=e2, 当x∈(0，e2)时，f(x)<0,所以函数f(x)在(0，e2）上单调递减； 当x∈(e2,+∞)时，f(x)>0,所以函数f(x)在(e2,+∞）上单调递增； 因此函数f(x)的极小值为f(e2)=e2+e21ne2=-e2,无极大值. (2)将不等式f(x)>(2m-1)x-m整理为m(x-l)<xlnx+x, 由于f(>(2m-)x-m对任意x>1恒成立，等价于m<血x+x对任意x>1恒成立， x-1 令8网-产e>,则g-@+2》h+.-h2 (x-1)2 (x-2, 令h(y)=x-1nx-2x>),则h()=1-=->0恒成立，所以h(x)在(，+o)上单调递增， 而h(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,h(4)=4-n4-2=2-2ln2>0, 所以存在唯-的x。∈(3,4)，使得h(x)=0,即。-lnx。-2=0→nx=x-2, 所以当x∈(1，x)时，g(x)<0,函数g(x)在(1，x)上单调递减 当x∈(x,+o)时，g'(x)>0,函数g(x)在(x,+o)上单调递增； 所以8闪在x=名处取得最小值，最小值为6)气+场=名-25=七， 0-1 x。-1 由于x∈(3,4)，所以g(x)m=x。∈(3,4)， 要使m<g(x)恒成立，则m<x。,由于m是整数，所以m的最大值是3. 18.(1) 3-5 (2) 分布列为： X 2 3 1 P 3 5 5 1-5 期望E()=2,方差D(x)-号 (3) 选小明同学代表班级参加总决赛更合适 【详解)(1)由题意，从6首古诗中抽取3首，小明可背诵其中4首，设小明可背诵的古诗数量为x,则x 服从超几何分布，其中N=6,M=4,n=3. ~要求小明可以背诵2首古诗，即x=2, ÷所求概率P= CC2-6x2_3 C8205 (2)由题意，随机变量x的所有可能取值为1,2,3 P(x=1) CC=4x1-1 C8-205, rx=2=} Px=3)=CC_4x1！ C-205’ x的分布列为： 2 3 3-5 1 期望B0=1x+2×2+3×=2, 5 5 方差00=0-2×+2-2×+6-2×号-号 2 (3)设小华能背诵的古诗数量为Y，由题意，小华每首古诗能背诵的概率均为了，且各首青诵情况相互 立故~4) =3x号-2,0=3x号0--号 2 E)=E山，D)=。<=D(Y),说明两人平均背诵数量相同，但小明发挥更稳定 “选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 19.(1)an=n,bn=n+(-1)°m2. (2)S.=2n+1 (3)2520 【分析】(1)通过赋值联立方程组求出4a,a2,b,b2,利用等差数列通项公式求出an,再根据条件变形得到b,; (2)先求出c的表达式，对分式裂项，再利用裂项相消法求和； (3)对n分奇偶讨论求出前n项和T,依据条件筛选集合A中的元素，再计算集合A中所有元素的和. 【详解】(1)由bn-an=(-1)”n2,令n=1,得-a=-1;令n=2,得b,-a2=4. 联立{ b-a=-1 4+6=1，解得 a=1 6=0 联立 b2-42=4 马+6=8， 解得 a2=2 b2=6 因为{a}是等差数列，所以公差d=a2-a,=1,故数列{a}的通项公式为a,=1+(n-)x1=n. 因为b,-an=(-1)”n2，所以{b,}的通项公式为bn=an+(-1)”n2=n+(-1m2. 综上，an=n,bn=n+(-1)n2. (2）由(1)得：a2m-1=2n-1,a2n+1=2n+1, 因此cn= h2nW2na1h） 故用裂项相消法求数列{cn}的前n项和： 80》rG动】)2 (3)由(1)知bn=n+(-1)”n,当n为偶数时，令n=2k(keN),则 b4+bk=(2k-1)-(2k-1'+2k+(2k)2=8k-2, 故7k=(6+b2)+(6+b)++(bk-+bx)=(8×1-2)+(8×2-2)+…+(8k-2) =8(1+2++k)-2k=4k2+2k=2k(2k+I)=n(n+1), 由Tn=n(n+1)≤100，neN且n为偶数，解得符合条件的n为2,4,6,8，即2,4,6,8∈A. 当n为奇数时，n+1为偶数，T。=Tl-b=(n+l(n+2)-(n+)+(n+]=0, T,=0s100,又n≤100，所以所有不大于100的奇数1,3,5，，99∈A 综上，集合4中所有元秦的和5=+3++9)+2+4+6+8-50x0+9+20=2520 2