专题03 含参直线问题（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题03 含参直线问题 常考题型·精准突破 考点一 定点与直线系 题型1 含参直线过定点 题型2 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 考点二 位置关系求参 题型3 平行、重合求参（排除重合） 题型4 垂直求参 题型5 由夹角、距离求参 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 定点与直线系 ◆题型1 含参直线过定点 题型归纳 含参直线过定点 把方程整理成 ，解 、，交点就是定点． 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点_____． 【答案】 【详解】由可得， 所以直线过直线的交点， 故，解得， 故定点为. 故答案为： 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段检测）直线：恒过定点______. 【答案】 【详解】由， 可得： 令，解得：， 故答案为： 4．（25-26高二上·浙江·期中）直线的方程为（a为常数）恒过定点______. 【答案】 【详解】由，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 5．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得， 因为方程对恒成立， 所以可得：， 解得，， 所以直线系方程：经过的定点是， 故选：C ◆题型2 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 题型归纳 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 直线经过哪些象限，看斜率与纵截距的符号；垂直于 轴的直线要单独讨论． 6．（安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【详解】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 7．（黑龙江省双鸭山市部分学校2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距． 因为直线，所以，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 考点二 位置关系求参 ◆题型3 平行、重合求参（排除重合） 题型归纳 平行、重合求参（排除重合） ：，：．，且两直线不重合． 求出参数后要代回，重合的根舍去． 8．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）过，两点的直线与斜率为的直线平行，则（   ） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【详解】由题意可得. 9．（24-25高二上·浙江·期中）若直线：与：平行，则实数m等于(    ). A．1 B．0 C． D．1或 【答案】C 【详解】直线：的斜率，：， 当时，两直线不平行；当时，两条直线不平行； 当且时，的斜率，由于，则， 解得：或，当时两直线重合，不符合题意， 时，两直线平行，故. 故选：C. 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. 【答案】 或 【详解】∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立，解得，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程为， 所以直线间的距离为. 故答案为：. ◆题型4 垂直求参 题型归纳 垂直求参 ．斜率都存在时，也可用 ． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线（为常数）恒过定点，直线与直线垂直，且过点，其中直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可以化为， 解方程组，得. 故直线恒过定点. 直线斜率为， 直线与直线垂直，则直线斜率为， 则直线的方程：，即， 故选：A. 12．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 13．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段检测）设，两直线与垂直，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 14．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线：与直线：垂直，且垂足为． (1)求的值并求与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（用一般式表示）． 【详解】（1）对于两条一般式直线、， 两直线垂直的充要条件为； 由题知 ，即，解得， 将代入的方程得，整理得， 令，得在轴上的截距为；令，得在轴上的截距为， 所以，与两坐标轴围成的三角形的面积为. （2）结合（1），将代入的方程，得， 联立与的方程 ，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当直线在两坐标轴上的截距均为时，即直线过原点时，设直线方程为， 将代入得，解得，整理为一般式得； ② 当直线在两坐标轴上的截距均不为0且相等时， 设直线方程为，即， 将代入得，整理为一般式得. 综上，所求直线方程为和. 15．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线，与直线相互垂直． (1)求； (2)，相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 【详解】（1）因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即．    解得．    （2）由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离，    所以，    ．    四边形的面积为． ◆题型5 由夹角、距离求参 题型归纳 由夹角、距离求参 两条相交直线的夹角 满足 ，． 点 到直线 的距离 ．斜率不存在的直线要单独检验． 16．（上海市松江二中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）若直线与直线的夹角为，实数m的值为 _____ ． 【答案】0 【详解】设直线 与直线 的法向量分别为 ，． 两直线的夹角 满足 ，． 由 得 ．两边平方，，解得 ． 此时法向量为 与 ，，夹角为 ．故答案为：． 17．（上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【答案】或 【详解】直线 ： 的一个法向量为 ． 若直线 垂直于 轴，则方程为 ，法向量为 ．，故 ，符合题意． 若直线 的斜率存在，设为 ，则 ：，法向量为 ． 由 ，得 ． 平方得 ，即 ，． 代回检验：，，成立． 直线方程为 ．故答案为： 或 ． 18．（四川省成都市树德中学（光华校区）2026-2027学年高二上学期10月阶段性测试数学试题）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 【详解】（1）依题意得，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． （2）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 即与联立，， 解得，的坐标为， 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 【答案】D 【详解】对于A，当时，，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，， 当，可得， 所以直线过定点，故B错误； 对于C选项，当时，或， 解得，故C错误； 对于D选项，当时，，解得或，故D正确. 故选：D. 二、填空题 2．（24-25高二上·上海·阶段检测）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为________. 【答案】8 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论： 在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即点在直线的同侧；点在直线的异侧. 三、解答题 3．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点，，点为平面直角坐标系上一点． (1)若点且三点共线，求实数的值； (2)若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）由题意，斜率存在， 因为点，，三点共线，所以， 所以， 解得． 所以实数的值是． （2）设直线，，的倾斜角分别为，，，由图知． 可得，． 又， 所以，． 所以． 所以直线的倾斜角取值范围是． 4．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知，， (1)若点，，不能构成三角形，求的值； (2)若点，，构成的三角形为直角三角形，求的值． (3)过点的直线分别与轴正半轴、轴的负半轴交于、两点，当的面积取得最小值时，求此时直线的方程． 【详解】（1）由，，， 得，， 若不能构成三角形，则三点共线， 所以，解得. （2）分三种情况讨论直角顶点： ①若为直角，则，即，解得； ②若为直角，， 则，解得； ③若为直角，则，. 综上所述，的值为或或. （3）设直线的斜率为，直线的方程为. 令得，则；令得则. 的面积， 当且仅当即时等号成立. 此时直线的直线方程为即. 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线l的方程为（）. (1)求证无论a取何值，直线l恒过定点B，并求定点B的坐标. (2)已知直线m是过点B的直线，点到直线m的距离为2，求直线m的方程. 【详解】（1） 证明：由已知得，， ∴直线l经过直线和直线的交点, 解得交点坐标， 所以无论a取何值，直线l恒过定点； （2）直线m斜率不存在时，可得，点与直线的距离为2，符合题意. 当直线m斜率存在时，设直线斜率为k，故可得直线m的方程为，即， 因为点到直线m的距离为2，即，解得， 故可得直线m的方程为，即， 综上所述：直线m的方程为或. 6．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线：，：． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，的边在直线上，的平分线所在直线为，求直线的方程． 【详解】（1）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为， 则，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）将代入，的直线方程为， 已知边在直线上，的平分线所在直线为：． 由对称性可知，直线与直线关于直线对称，即直线是直线关于直线的对称直线， 联立与的方程：， 解得交点的坐标为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 由对称性质可得：， 解得，，即， 直线经过点和点， 其斜率为：， 所以直线的方程为：， 化简得直线的方程为． 7．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)直线的方程和点的坐标； (3)求的面积． 【详解】（1） 直线 整理为 ， 令 ，得 ，此时 ，故直线 l 恒过定点 ， 即 . （2）因为点 B 在角平分线 上，设 .由中点坐标公式， AB 中点 .又 M 在中线 上，代入得 ，解得 ，故 . 直线 BA 过 、，斜率 ，方程为 . 因为 是 的平分线，所以直线 BC 与直线 BA 关于直线 对称. 取 A 关于 的对称点 ，则直线 BC 过 与 ，斜率 ， 方程为 ，即 . 点 C 是直线 BC 与中线 CM 的交点，联立 ，解得 ，，即 . （3）， 点 C 到直线 AB： 的距离 ， 故 . 【点睛】角平分线的核心性质是“两边关于角平分线对称”，求对称直线可在一边上取点求对称点再连线；直线系过定点用“分离参数法”. 8．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线与直线，． (1)不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【详解】（1）直线可化为， 要使上式对任意恒成立，则，解得， 因此定点的坐标为． （2）因为，所以，解得或， 当时，，，即，此时，满足题意； 当时，，即，，此时重合，不满足题意. 综上所述，． （3）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即， 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 9．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）直线：，其中为实数． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点的坐标； (2)设，若直线过点，且点到直线的距离等于3，求直线的方程； (3)若直线过点，且与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，试求面积的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）直线：的方程可化为： ，因为该等式对任意实数成立， 所以，解得， 即无论取何值，直线恒过定点. （2）由题可知，直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于，满足题意； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 此时点到直线的距离为， 即，即，即， 解得：，此时直线的方程为，即. 所以直线的方程为或. （3）由题可知，直线过点， 易知直线的斜率存在，且大于0，则设直线的方程为， 因为直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点， 令得，即，故， 令得，即，故， 所以的面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即. 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为. 10．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． (3)过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【详解】（1）由可得，， 令，所以直线过定点． （2）由（1）可知，直线恒过定点．点到直线的距离， 可以看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 根据几何性质，当直线与线段垂直时， 点到直线的距离达到最大，此时最大距离即为线段的长度． 则线段的斜率：， 因为直线与垂直，所以直线的斜率， 将直线的方程化为斜截式，其斜率为： 令， 即： 此时，点到直线的最大距离为，故. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为（）， 直线与轴、轴正半轴的交点分别为，， 令，得，令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 11．（26-27高二上·安徽滁州·阶段检测）已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 【详解】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2）直线化为一般式， 故 得，所以的方程为 （3）（i）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积最小； （ii）设直线的截距式方程为（，），由（1）知点在上，所以， 此时，，由于这三点共线，且在、之间，所以 有 而，当且仅当时取等号 所以的最小值为 12．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 13．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知动直线恒过定点. (1)求点的坐标. (2)设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. (3)已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 【详解】（1）由， 得. 由，得. 所以动直线恒过定点，即. （2）由，得， 解得，所以. 所以. 所以. 对， 令，得， 得. 所以. 所以直线的方程为， 化简得，， 即， 由，得. 所以直线恒过定点. （3）因为，，， 所以边的方程为， 即. 直线的方程为，即； 直线的方程为，即. 设，则， 所以， ， 若是定值，则为定值， 所以，解得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 含参直线问题 常考题型·精准突破 考点一 定点与直线系 题型1 含参直线过定点 题型2 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 考点二 位置关系求参 题型3 平行、重合求参（排除重合） 题型4 垂直求参 题型5 由夹角、距离求参 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 定点与直线系 ◆题型1 含参直线过定点 题型归纳 含参直线过定点 把方程整理成 ，解 、，交点就是定点． 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点_____． 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段检测）直线：恒过定点______. 4．（25-26高二上·浙江·期中）直线的方程为（a为常数）恒过定点______. 5．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 题型归纳 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 直线经过哪些象限，看斜率与纵截距的符号；垂直于 轴的直线要单独讨论． 6．（安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 7．（黑龙江省双鸭山市部分学校2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______． 考点二 位置关系求参 ◆题型3 平行、重合求参（排除重合） 题型归纳 平行、重合求参（排除重合） ：，：．，且两直线不重合． 求出参数后要代回，重合的根舍去． 8．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）过，两点的直线与斜率为的直线平行，则（   ） A． B．1 C．5 D．3 9．（24-25高二上·浙江·期中）若直线：与：平行，则实数m等于(    ). A．1 B．0 C． D．1或 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. ◆题型4 垂直求参 题型归纳 垂直求参 ．斜率都存在时，也可用 ． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线（为常数）恒过定点，直线与直线垂直，且过点，其中直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段检测）设，两直线与垂直，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 14．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线：与直线：垂直，且垂足为． (1)求的值并求与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（用一般式表示）． 15．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线，与直线相互垂直． (1)求； (2)，相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． ◆题型5 由夹角、距离求参 题型归纳 由夹角、距离求参 两条相交直线的夹角 满足 ，． 点 到直线 的距离 ．斜率不存在的直线要单独检验． 16．（上海市松江二中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）若直线与直线的夹角为，实数m的值为 _____ ． 17．（上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 18．（四川省成都市树德中学（光华校区）2026-2027学年高二上学期10月阶段性测试数学试题）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 二、填空题 2．（24-25高二上·上海·阶段检测）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为________. 三、解答题 3．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点，，点为平面直角坐标系上一点． (1)若点且三点共线，求实数的值； (2)若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 4．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知，， (1)若点，，不能构成三角形，求的值； (2)若点，，构成的三角形为直角三角形，求的值． (3)过点的直线分别与轴正半轴、轴的负半轴交于、两点，当的面积取得最小值时，求此时直线的方程． 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线l的方程为（）. (1)求证无论a取何值，直线l恒过定点B，并求定点B的坐标. (2)已知直线m是过点B的直线，点到直线m的距离为2，求直线m的方程. 6．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线：，：． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，的边在直线上，的平分线所在直线为，求直线的方程． 7．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)直线的方程和点的坐标； (3)求的面积． 8．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线与直线，． (1)不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 9．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）直线：，其中为实数． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点的坐标； (2)设，若直线过点，且点到直线的距离等于3，求直线的方程； (3)若直线过点，且与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，试求面积的最小值及此时直线的方程． 10．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． (3)过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 11．（26-27高二上·安徽滁州·阶段检测）已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 12．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 13．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知动直线恒过定点. (1)求点的坐标. (2)设动直线与直线交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线过定点. (3)已知点和，设是边上一动点，且点到，的距离分别为，，若是定值，求实数的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 含参直线问题 常考题型·精准突破 考点一 定点与直线系 ◆题型1 含参直线过定点 1．【答案】B 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 2．【答案】 【详解】由可得， 所以直线过直线的交点， 故，解得， 故定点为. 故答案为： 3．【答案】 【详解】由， 可得： 令，解得：， 故答案为： 4．【答案】 【详解】由，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 5．【答案】C 【详解】由， 可得， 因为方程对恒成立， 所以可得：， 解得，， 所以直线系方程：经过的定点是， 故选：C ◆题型2 含参直线的位置（不过某象限、与线段相交） 6．【详解】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 7．【答案】 【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距． 因为直线，所以，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 考点二 位置关系求参 ◆题型3 平行、重合求参（排除重合） 8．【答案】C 【详解】由题意可得. 9．【答案】C 【详解】直线：的斜率，：， 当时，两直线不平行；当时，两条直线不平行； 当且时，的斜率，由于，则， 解得：或，当时两直线重合，不符合题意， 时，两直线平行，故. 故选：C. 10．【答案】 或 【详解】∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立，解得，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程为， 所以直线间的距离为. 故答案为：. ◆题型4 垂直求参 11．【答案】A 【详解】可以化为， 解方程组，得. 故直线恒过定点. 直线斜率为， 直线与直线垂直，则直线斜率为， 则直线的方程：，即， 故选：A. 12．【答案】B 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 13．【答案】A 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 14．【详解】（1）对于两条一般式直线、， 两直线垂直的充要条件为； 由题知 ，即，解得， 将代入的方程得，整理得， 令，得在轴上的截距为；令，得在轴上的截距为， 所以，与两坐标轴围成的三角形的面积为. （2）结合（1），将代入的方程，得， 联立与的方程 ，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当直线在两坐标轴上的截距均为时，即直线过原点时，设直线方程为， 将代入得，解得，整理为一般式得； ② 当直线在两坐标轴上的截距均不为0且相等时， 设直线方程为，即， 将代入得，整理为一般式得. 综上，所求直线方程为和. 15．【详解】（1）因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即．    解得．    （2）由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离，    所以，    ．    四边形的面积为． ◆题型5 由夹角、距离求参 16．【答案】0 【详解】设直线 与直线 的法向量分别为 ，． 两直线的夹角 满足 ，． 由 得 ．两边平方，，解得 ． 此时法向量为 与 ，，夹角为 ．故答案为：． 17．【答案】或 【详解】直线 ： 的一个法向量为 ． 若直线 垂直于 轴，则方程为 ，法向量为 ．，故 ，符合题意． 若直线 的斜率存在，设为 ，则 ：，法向量为 ． 由 ，得 ． 平方得 ，即 ，． 代回检验：，，成立． 直线方程为 ．故答案为： 或 ． 18．【详解】（1）依题意得，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． （2）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 即与联立，， 解得，的坐标为， 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．D 二、填空题 2．【答案】8 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论： 在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即点在直线的同侧；点在直线的异侧. 三、解答题 3．【详解】（1）由题意，斜率存在， 因为点，，三点共线，所以， 所以， 解得． 所以实数的值是． （2）设直线，，的倾斜角分别为，，，由图知． 可得，． 又， 所以，． 所以． 所以直线的倾斜角取值范围是． 4．【详解】（1）由，，， 得，， 若不能构成三角形，则三点共线， 所以，解得. （2）分三种情况讨论直角顶点： ①若为直角，则，即，解得； ②若为直角，， 则，解得； ③若为直角，则，. 综上所述，的值为或或. （3）设直线的斜率为，直线的方程为. 令得，则；令得则. 的面积， 当且仅当即时等号成立. 此时直线的直线方程为即. 5．【详解】（1） 证明：由已知得，， ∴直线l经过直线和直线的交点, 解得交点坐标， 所以无论a取何值，直线l恒过定点； （2）直线m斜率不存在时，可得，点与直线的距离为2，符合题意. 当直线m斜率存在时，设直线斜率为k，故可得直线m的方程为，即， 因为点到直线m的距离为2，即，解得， 故可得直线m的方程为，即， 综上所述：直线m的方程为或. 6．【详解】（1）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为， 则，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）将代入，的直线方程为， 已知边在直线上，的平分线所在直线为：． 由对称性可知，直线与直线关于直线对称，即直线是直线关于直线的对称直线， 联立与的方程：， 解得交点的坐标为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 由对称性质可得：， 解得，，即， 直线经过点和点， 其斜率为：， 所以直线的方程为：， 化简得直线的方程为． 7．【详解】（1） 直线 整理为 ， 令 ，得 ，此时 ，故直线 l 恒过定点 ， 即 . （2）因为点 B 在角平分线 上，设 .由中点坐标公式， AB 中点 .又 M 在中线 上，代入得 ，解得 ，故 . 直线 BA 过 、，斜率 ，方程为 . 因为 是 的平分线，所以直线 BC 与直线 BA 关于直线 对称. 取 A 关于 的对称点 ，则直线 BC 过 与 ，斜率 ， 方程为 ，即 . 点 C 是直线 BC 与中线 CM 的交点，联立 ，解得 ，，即 . （3）， 点 C 到直线 AB： 的距离 ， 故 . 【点睛】角平分线的核心性质是“两边关于角平分线对称”，求对称直线可在一边上取点求对称点再连线；直线系过定点用“分离参数法”. 8．【详解】（1）直线可化为， 要使上式对任意恒成立，则，解得， 因此定点的坐标为． （2）因为，所以，解得或， 当时，，，即，此时，满足题意； 当时，，即，，此时重合，不满足题意. 综上所述，． （3）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即， 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 9．【详解】（1）直线：的方程可化为： ，因为该等式对任意实数成立， 所以，解得， 即无论取何值，直线恒过定点. （2）由题可知，直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于，满足题意； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 此时点到直线的距离为， 即，即，即， 解得：，此时直线的方程为，即. 所以直线的方程为或. （3）由题可知，直线过点， 易知直线的斜率存在，且大于0，则设直线的方程为， 因为直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点， 令得，即，故， 令得，即，故， 所以的面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即. 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为. 10．【详解】（1）由可得，， 令，所以直线过定点． （2）由（1）可知，直线恒过定点．点到直线的距离， 可以看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 根据几何性质，当直线与线段垂直时， 点到直线的距离达到最大，此时最大距离即为线段的长度． 则线段的斜率：， 因为直线与垂直，所以直线的斜率， 将直线的方程化为斜截式，其斜率为： 令， 即： 此时，点到直线的最大距离为，故. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为（）， 直线与轴、轴正半轴的交点分别为，， 令，得，令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 11．【详解】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2）直线化为一般式， 故 得，所以的方程为 （3）（i）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积最小； （ii）设直线的截距式方程为（，），由（1）知点在上，所以， 此时，，由于这三点共线，且在、之间，所以 有 而，当且仅当时取等号 所以的最小值为 12．【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 13．【详解】（1）由， 得. 由，得. 所以动直线恒过定点，即. （2）由，得， 解得，所以. 所以. 所以. 对， 令，得， 得. 所以. 所以直线的方程为， 化简得，， 即， 由，得. 所以直线恒过定点. （3）因为，，， 所以边的方程为， 即. 直线的方程为，即； 直线的方程为，即. 设，则， 所以， ， 若是定值，则为定值， 所以，解得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $