专题03 直线的对称和最值问题（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03直线的对称和最值问题 题型归纳 题型一关于坐标轴与原点对称的直线 题型二关于定点对称的直线方程 题型三关于定直线对称的直线方程 题型四点关于直线的对称点 题型五光线反射与角平分线 题型六将军饮马型最值问题 题型专练 题型一：关于坐标轴与原点对称的直线 1.与直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0B.4x-3y+5=0 c.3x-4y-5=0D.3x-4y+5=0 【答案】C 【分析】利用所求直线上的点关于y轴的对称点在己知直线上，求解即可. 【解析】在所求直线上任取一点x,y, 此点关于y轴的对称点|-x,y在直线3x+4y+5=0上， 代入得-3x+4y+5=0,即3x-4y-5=0 2.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0 B.4x-3y+5=0 c.3x-4y-5=0 D.3x-4y+5=0 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点x,y,可求得X,y关于X轴的对称点的坐标，将其代入 3x+4y+5=0即可求解。 【解析】设与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线为1， 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取1上任意一点x,y,则x,y关于x轴的对称点为x,-y, 所以x,-y在直线3x+4y+5=0上，即3x+4-y川+5=0，亦即3x-4y+5=0 故选：D 3.与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为() A.4x+3y-5=0B.3x+4y+5=0 C.4x-3y+5=0D.3x-4y-5=0 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解析】设直线3x-4y+5=0上一点Qx1,y1关于坐标原点0,0对称的点为Px,y, X牛X1=0yy0,解得x=-x,y 2 代入3x-4y+5=0,得3x-4y-5=0, 即所求直线的方程为3x-4y-5=0. 故选：D. 4.直线2x-3y-4=0关于x轴对称的直线方程为（结果用一般式表示） 【答案】2x+3y-4=0 【分析】根据愿意，求得直线与坐标轴的交点为A2,0)和B0,-。得出B关于X轴的对称点B,结 合直线的点斜式方程，即可求解 【解析】由直线2x-3y-4=0,令y=0,可得x=2,即直线与X轴的交点为A(2,0), 再令x=0,可得y=二4，即直线过点B0,4, 易知点B(0,号关于X的对称点为B0,, 4 2 又由kAB= 3t 「3，所以直线关于X轴的对称直线为y=- 3 即2x+3y-4=0 故答案为：2x+3y-4=0. 5.与直线3x-5y+2=0关于x轴对称的直线的方程为 【答案】3x+5y+2=0 【分析】设Px,y为位于所求直线上的任意一点，利用关于x轴对称的点的坐标变换规律，即 X=X,y=-y,求出其对称点坐标，再根据对称点坐标位于已知直线上，即可求出对称直线的方程， 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】设点Px,y位于所求直线上，点Px,y与其关于x轴对称，则Px,y位于已知直线 3x-5y+2=0上， 因为Px,y与Px,y关于x轴对称，则 X=X 即3x-5·-y+2=0, 所以所求对称直线的方程为3x+5y+2=0. 故答案为：3x+5y+2=0 题型二：关于定点对称的直线方程 1.直线l1:2x-y+3=0关于点(1,2)对称的直线方程为() A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.2x+y+3=0 D.x-2y-3=0 【答案】A 【分析】设直线l1关于点(1,2)对称的直线任一点为(m,n),根据点对称代入即可求解。 【解析】设直线l1上任一点(x1,y1)关于点(1,2)对称的直线任一点为m,n), X+m =1 2 可得 yi+n ,解得x1=2-m,y1=4-n, =2 2 因为(2-m,4-n)在直线l1上，代入即可得2(2-m)-(4-n)+3=0, 化简得的2m-n-3=0,即对称直线方程为2x-y-3=0. 2.直线1：y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为() A.y=2x B.y=-2x C.y=2x-8 D.y=2x+4 【答案】A 【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解。 【解析】因为A(1,0)不在直线：y=2x-4上， 所以可设直线1：y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为y=2x+b, 2-0-4|2-0+b 则2+-17 2+-1可，解得b=0或b=-4(会去)， 故所求直线方程为：y=2x 故选：A 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为() A.2 B.6 C.-2 D.-6 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【解析】由于直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称， 所以两直线平行，故2a=4,则a=2, 由于点(3,0)在直线x+2y-3=0上，(3,0)关于点A(1,0)的对称点为(-1,0)， 故(-1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得-a+b=0,故b=a=2, 故选：A 4.不论实数a取何值时，直线2a-1x+-a+3y-5=0都过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的 对称直线方程为( ) A.x-2y-6=0 B.X-2y=0 C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为2x-y+b=0,则 2-2+3_2-2+b 9V5 V5 ，解方程即可得出答案 【解析】2a-1x+-a+3y-5=0可得：a2x-y-x+3y-5=0, 2x-y=0 令-x43y5=0解得：x=1,y=2, 所以M1,2,设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2X-y+b=0, 则M1,2到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等， 2-2+3_2-2+b 所以 5 9V5 ,解得：b=3,即b=3(舍去)或b=-3. 故直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x-y-3=0. 故选：D. 题型三：关于定直线对称的直线方程 1.与直线1：2x+y+1=0关于直线m:x-y+2=0对称的直线方程为() A.2X-y+3=0 B.2x+y-1=0 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.X-2y+3=0 D.x+2y-1=0 【答案】D 【分析】先联立两直线方程，求出原直线与对称轴的交点（该点在对称直线上）；再在原直线上任取一 点，求它关于对称轴的对称点；最后求出对称直线方程即可 【解析】联立直线l与m方程可得 2x+y+1=0 X=-1 x-y+2=0解得 y=1 所以两直线交点为-1,1， 在直线l上任取一点A0,-1,设该点关于直线m的对称点为Bx,yo,则根据对称点的性质可得， yo+1 .1=-1 x+0y0-1 kABk=-1,且点A与点B的中点2,2 Xo 在直线m上，即 x+0y0-1 「22 +2=0 解得。-3，少，=2，即对称点B-3,2。所以对称直线的斜幸k=21=号 三一 -3--12 则对称直线的方程为y-1=一x-1儿，即x+2y-1=0. 2.已知l1:x+y-1=0,l2:2x-y+1=0,则直线l1关于直线l2的对称直线的方程为（) A.7x+y-1=0 B.7X-y-1=0 C.x+7y-7=0D.x-7y-7=0 【答案】C 【分析】先求出1与对称轴2的交点，再取1上一点求其关于2的对称点，两点式求出对称直线方程. 【解析】联立d,解得x=0,y=1,设l1与l2的交点为P(0,1), 在l1:x+y-1=0上取一点A(1,0),设A(1,0)关于对称轴l2:2x-y+1=0的对称点为A(m,n), m+1n+0 则AA的中点")，”)，上，2：m.2+1=0→2m+1-n+2=0→2m-n+4=0 22 且AA1.第率k,2,所以k4=即9=2n=-m=1=m+2m-1=0, "m-12 7 6 76 联立方程组心，解得m=- 5n=5得到对称点A“55 则对称直线1-定经过P(0,1).A5 ,76 11 6 所以直线的斜幸为k= 1 二- 50之ブ直线过(0,1)，得斜截式为少=-与x+1 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得x+7y-7=0. 3.已知直线l:2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程为() A.3x-16y+102=0 B.9x-46y+102=0 C.3x-2y+8=0 D.9x-46y+51=0 【答案】B 【分析】先求直线l与直线m的交点，再在直线m上取点(2,0)关于直线l对称的点为a,b),即 2xa+2-3xb+0+1=0 2 2 b-0、2 ,解出a,b,利用点斜式即可求解 ,×二=-1 a-23 【解新1由子3y6解 y=3”所以直线与直线m的交点为(4,3， 在直线m上取点(2,0)关于直线l对称的点为a,b), 2xa+2-3xb+0 6 2 +1=0 q= 2 13 所以{ b-0×2=-1 ，解得 30 b= a-23 13 630, 所以点2,0)关于直线对称的点为313， 3、30 所以直线m的斜率为k=13=9 646 4- 13 故对称直线m的方程为y-3=9（X-4),即9x-46y+102=0, 46 故选：B 4.已知直线1：x-y-1=0,直线l2:X-2y+2=0,则直线l2关于直线1的对称直线方程是 【答案】2x-y-5=0 【分析】在直线2：x-2y+2=0上取两点，分别求出这两点关于直线l1的对称点，然后计算过对称点 的直线即为所求直线。 【解析】在直线l2上取两点A(-2,0),B(0,1), 设A(-2,0)关于直线x-y-1=0的对称点为A(a,b), 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-2_b-1=0 22 则 → a=1 b 所以A(1,-3),. a+2 =-1 b=-3: 同理设B(0,1)关于直线x-y-1=0的对称点B(c,d), d+1-1=0 22 c=2 则 d-1 d=-1 所以B(2,-1),, 直线l2关于直线l1的对称直线过A(1,-3),B(2,-1), 由点斜式可得方程为y--3)=1)二3到(x-1,得y+3=2(x-1. 2-1 化为一般式可得所求直线方程为2x-y-5=0. 5.直线x+2y+3=0关于直线y=-x对称的直线方程是() A.X+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y-3=0 D.2X+3y+3=0 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线x+2y+3=0与直线y=一x的交点，即可求出对称直线的方 程 【解析】由题意， 在直线X+2y+3=0中，作出图象如下图所示， B 3 2 y--x y=-2x+3 A -32-10 八1 23 x+2y+3= 2 3 由图可知，点A-3,0关于直线y=-x对称的点为B0,3, 直线x+2y+3=0与直线y=-x的交点为C3,-3, 关于宜线y=对称的直线方程8C为：y=-3与0x+3,y=-2x+3, 3--3 .关于直线y=-X对称的直线方程是：2x+y-3=0 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 6.在平面直角坐标系中，若直线1与直线x+y-1=0关于直线y=2对称，则直线1的方程为 【答案】x-y+3=0 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程， 【解析】设直线1上任意一点坐标为(x,y),它关于直线y=2的对称点坐标为x,4-y), 该对称点在原直线x+y-1=0上，代入得：x+(4-y)-1=0, 整理得直线的方程：X-y+3=0. 7.直线l1:2x-y+3=0关于直线：x-y+2=0对称的直线l2的方程是 【答案】x-2y+3=0 【分析】法1，求出直线l1与的交点坐标A(-1,1),利用直线上的点(1,3)到直线l1与l2的距离相等， 列式计算得解：法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解， 2x-y+3=0 【解析折】（方法1）联立×-y+2=0》 得两直线的交点为A(-1,1), 设直线l2的方程为y-1=k(x+1), 2_2k-2 直线1上的点(1,3)到直线1与，的距离相等，即亏2+i, 解得k=方或k=2(舍去)，故，的方程是x-2y+3=0 故答案为：x-2y+3=0, (方法2：直线关于特殊直线对称)利用直线l:y=kX+b关于直线y=X+m的对称直线为 I x+m=k(y-m)+b. 所以l1:2x-y+3=0关于直线：y=x+2对称的直线l2为：2(y-2)-(x+2)+3=0,即 x-2y+3=0. 故答案为：x-2y+3=0 8.求直线2x+11y+16=0关于直线3x+4y-1=0对称的直线方程为 【答案】2x+y-4=0 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线3x+4y-1=0的对称点坐标，然后 可得对称直线方程。 2x+11y+16=0x=3 【解析】解方程组 3x+4y-1=0 得y=-2即直线2x+1y+16=0和直线3x+4y-1=0的交 点坐标为3，-2)， 8/21 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 又(-8,0）是直线2x+11y+16=0上一点，设它关于直线3x+4y-1=0的对称点坐标为a,b), b-4 a+83 a=-2 则 a8x3+bx4-1=0 解得b=8P 所以所求直线方程为y-8 -2-8 3--2x+2,即2x+y-4=0 故答案为：2x+y-4=0 题型四：点关于直线的对称点 1.点A3,1关于直线x-y+1=0的对称点的坐标为() A.3,0 B.0,4 c.0,3 D.2,4 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称 点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为1得另一方程，联立方程组求解，最终得 对称点为0,4】 【解析】设点A3,1关于直线x-y+1=0的对称点为Ax,y, 直线x-y+1=0,即y=x+1,因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以AA的斜率为1，即Y二=-1，化简得y=-X+4, X-3 3+x1+y 又AA的中点2,2 在直线x-y+1=0上，代入得 3+X-1+y+1=0,化简得x-y=-4,联立y=-x+4和X-y=-4, 2 解得x=0,y=4,故对称点为0,4. 故答案选：B 2.若直线：2x+ay+1=0关于直线x+y-3=0对称的直线经过点A-2,1,则a=() A.-1 B.1 c 3 D.2 【答案】A 【分析】先求得A关于直线x+y-3=0的对称点B,代入点B的坐标于的方程，由此可求a的值. 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】设A-2,1关于直线x+y-3=0的对称点为Bm,n, n-1 ×-1=-1 m--2 m=2 所以 m-2+n+1 解得 -3=0 n=5所以B2,5, 2 2 又因为B在直线l:2x+ay+1=0上，所以4+5a+1=0,解得a=-1, 故选：A 3.点P6,3关于直线l:2x-y-4=0的对称点为Q,则Q的坐标为 【答案】2,5 【分析】利用点关于直线对称的两个核心性质：两点连线与对称轴垂直、两点中点在对称轴上，列方程 组求解对称点坐标， 【解析】设对称点Q的坐标为a,b, 易得直线l:2x-y-4=0的斜率为2， 由题意知PQ与直线垂直， b-3×2=-1,整理得a+2b=12, a-6 已知P6,3,Qa,bl, a+6b+3 则PQ的中点为 2’2 代入直线1的方程得2×06.b3-4=0,整理得2a-b=-1, 2 2 a+2b=12 联立2ab=-1可得6=5 故Q的坐标为2,5. 4.(专题02直线和方程（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期)点A1,2关于直线： y=-x+1的对称点B的坐标为 【答案】(-1,0 n-2=1 m-1 【分析】设点B的坐标为m,n,由题意得到 n+2=-m+1 求解可得 +1 【解析】因为点A1,2关于直线l:y=-x+1的对称点为B m+1n+2 设点B的坐标为m,n,则kAB=1,AB的中点为2,2 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n-2=1 m-1 n=m+1 由题意得 n+2-m+1+1 即n=-m-1 解得 m=-1 n=0 2 即对称点B的坐标为-1,0. y=-x+1 B O 5.点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)是轴对称的两点，则对称轴方程为 【答案】x-y+1=0 【分析】根据已知求出kPQ,根据对称轴与PQ垂直求出对称轴所在直线的斜率，再由PQ的中点在对 称轴上即可求出对称轴的方程 【解折经：由题意知，对称轴方为线段PQ的垂直平分线因为k。分1名1，所以称轴所 在直线斜率为1，又线段PQ的中点(O+b-1,Q+b+ 2 2 在对称轴上，所以对称轴方程为： y-atb+1 =x-a+b-1 2 2一，即x-y+1=0, 故答案为：x-y+1=0 题型五：光线反射与角平分线 1.已知△ABC的顶点A1,2,AB边上的中线CM所在直线方程为X+2y-1=0,∠ABC的平分线 所在直线方程为y=x,则△ABC面积为 【答案】 【分析】设Ba,a,由4B的中点坐标Ma1,a+2 2’2 在直线CM:x+2y-1=0上，进而求出a的值， 根据角平分线的性质知点A关于角平分线对称的点Em,n在直线BC上，进而求得E2,1,求出直线 BC方程，进而求出点C坐标，结合两点距离公式和点线距公式计算即可求解 【解析】由题意知，设Ba,a, 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB的中点M a+1a+2 2’2 在直线CM:x+2y-1=0上， .a+1+2×a+2-1=0,解得a=-1,∴B到-1，-1 .2 2 由角平分线的性质，点A关于∠ABC平分线的对称点Em,n在直线BC上， n-2=-1 m-1 得 m+1_n+2 解得m=2,n=1,所以E2,1, 2 2 2 1 由E和B得BE的方程y 3 2.1 y=x- 7 3 解得 x+2y-1=0 y= +1++1-4 2 得BC=( > 点4到直线BB的距离为d=2-6-1-5 9V4+g V13 所以S△ABC= ×5×4V13_10 29V137 7 10 故答案为： 7 2.一条光线从点A-2,3射出，到点B-1,0经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为() A.y=-X-1 B.y=3X+3 C.y=-3x-3 D.y=2x+2 【答案】B 【分析】由光线反射的性质可知，点A-2,3关于X轴对称的点A-2,一3在反射光线上，又经过点B, 求出斜率，代入点斜式方程即可求出反射光线所在直线的方程 【解析】由题可知，点A-2,3关于x轴对称的点A(-2,一-3，由光线反射的性质可知，点 A-2,-3在反射光线上， 又点B-1,0也在反射光线上，则斜率k三23 =3,所以由点斜式方程可得y-0=3x+1,即 y=3x+3. 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.光线沿着直线ax-y+2=0射到直线y=-x+1上，经反射后沿着直线3x+y-b=0射出，则有( A0=方b=2 B.a=3,b=2 C.a=3,b=-2 0=-2 【答案】D 【分析】由光的反射性质可知，入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线y=-x+1对称，再求 出入射直线过的定点关于直线y=-x+I对称的点，则反射直线必过该点，可求出b,同理可求出a 【解析】根据光的反射性质可知，直线ax-y+2=0与直线3x+y-b=0关于直线y=-x+1对称. 入射光线ax-y+2=0必经过点A(0,2,则过该点且垂直于y=-x+1的直线方程为y=x+2, 13 联立方程可求得交点为M 2’2 由中点的坐标公式可知，点M是线段AB的中点，其中点B-1,1, 则反射光线所在的直线3x+y-b=0必经过点B,求得b=-2: 同理反射光线3x+y-b=0必经过C0,-2,则过该点垂直于y=-x+1的直线方程为y=x-2, 31 联立方程可求得交点为N 2’2 由中点的坐标公式可知，点N是线段CD的中点，其中点D3,1, 则入射光线所在的直线aX~y+2=0必经过点D,求得Q=.号 3 4.一条光线沿直线2x-4y-1=0入射到直线x+y=0后反射，则反射光线所在的直线方程为() A.4x-2y-1=0B.4X-2y+1=0 C.4x+2y+1=0D.4x+2y-1=0 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线2x-4y-1=0关于直线x+y=0对称，利用对称性求出在反射光 线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得 【解析】由题意，反射光线所在直线与直线2x-4y-1=0关于直线x+y=0对称， x=1 2x-4y-1=0 6 联立x+y=0可得 11-1) 则它们的交点为6，一6， y= 6 又点(2,0在直线2x-4y-1=0上，令点(2,0)关于x+y=0的对称点为(a,b), 13/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 =1 1 a- a=0 所以 0*1 ,可得b=- 则点(0，)在反射光线所在直线上， 2+b」 2 0 综上，点合吉、0，方均在反光线所在直发上 -1+1 所以，所求直线为y +1=62.(x-0),即4x-2y-1=0 21 -0 6 故选：A 5.一条光线从点A-1,0射出，与直线：x+y-3=0相交于点P,经1反射后，经过点B(1,0),则 PA+PB=() A.23 B.4 c.2V5 D.2V6 【答案】C 【分析】先求点A关于直线：X+y-3=0的对称点为A1,利用对称得到 IPA+PB=A,P+BP=A,B,利用两点间距离公式计算求解 a-1 b 【解析】设点A关于直线l:x+y-3=0的对称点A1(Q,b),则AA1中点2,2 在直线x+y-3=0 上， 且AA1与直线x+y-3=0垂直，x+y-3=0的斜率为-1，则AA1的斜率为1. 根据垂直斜率关 b-0=1,即b=a+1 a+1 将中点 a-1 b ,2代入直线x+y-3=0得2+2 将b=a+1代入可得：0分+号-3=0，解得a=3 把a=3代入b=a+1得b=4,所以A13,4, 所以PA+PB=A1P+BP=A1B=V2+42=25 故选：C 6.已知一束光线通过点A-3,2,经直线x+y-1=0反射，如果反射光线通过点B1,-6,则反射光线 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所在直线的一般式方程为 【答案】5x+y+1=0 【分析】用对称性求A关于直线的对称点A1,再应用点斜式写出直线方程. 【解析】设A-3,2关于直线x+y-1=0的对称点为A1a,b, b-2-1=-1 a+3 Q=-1 所以 a-3,b+2 解得b=4 即A1-1,4, 22 1=0 依题意A1在反射光线上，又B1,-6也在反射光线上， 4-6=-5,故所求方程为y-4=-5x+1.整理得5x+y+1=0 所以kABF1-1 7.在△ABC中，已知顶点A3,-1,B-6,1,过点B的角平分线方程是x-4y+10=0,则直线BC 的方程为 【答案】7y-6x-43=0 【分析】直线：x-4y+10=0平分角B,即直线AB与直线BC关于直线1对称，求出点A3,-1关于 直线I的对称点A坐标，点A一定在直线BC上，结合点B坐标求解即可 【解析】设点A3,-1关于直线1的对称点A坐标x,y,则AA中点坐标为 3+xy-1 2,2 直线AA 解率k岩 kAA Xk=-1 点A3,-1与点Ax,y关于直线l对称， 即3+X-4×y2+10=0P 2 y+1x1-1 整理得x-34 化简得引 x-4y+27=0 x4+28解得7御点A材1,7孔 4x+y-11=0。m 因为直线：X-4y+10=0平分角B,所以点A在直线BC上，可得kc=7=9。 -6-17 结合B1-6,1有直线BC的方程为：y-1=9x+6. 化简得7y-6x-43=0. 8.在平面直角坐标系中，已如点A1,4.B1,引 C4,0:点D在线段BC上并且AD平分∠BAC, 则点D的坐标为 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(2,1 【分析】由点的坐标可得AB,AC的长度，再由角平分线定理以及定比分点公式代入计算，即可得 到结果 3 【解析】因为A1,4,B1, C4,0,点A和点B的横坐标相同，则AB=4-3-5 2-2 AC=4-12+0-42=V/9+16=5, 因为AD平分∠BAC,由角平分线定理可得BD=AB=2_1, DC AC 5 2 BD 1 即D是线段BC上满足DC=2的点， 由定比分点规则代入比例计算可得横坐标X= 2×1+1×4=2, 1+2 3x3 1×0 纵坐标y= 1+2 =1所以点D的坐标为2,11 题型六：将军饮马型最值问题 1.若点Px,y在直线l:3x+2y+5=0上，则√x2+y+x-22+y-1的最小值为() A.2 B.910 C.4 D.5 【答案】D 【分析】转化为直线3x+2y+5=0上的点到定点O(0,0)和B(2,1)的距离和，求出点O(0,0)关于直 线的对称点为A(x,y),可得PO+|PB=|PA|+|PB≥|AB|,当A,P,B三点共线时， PO+|PB最小，从而得出结论 【解析】X+y2+x-2+y-1表示直线3x+2y+5=0上的点到定点0(0,0)和B(2,1)的距离 和，即求PO+PB的最小值 16121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 假设点O(0,0)关于直线3x+2y+5=0的对称点为A(x,y), 3.x+2.义+5=0 2 2 解得X二 13y-20 30 则有 3 13 0-x 3020 因此得到A 13’13 30- 2 12 所以|PO+|PB=PA+|PB≥AB= 2+ 13 20-1=5, 13 当A,P,B三点共线时，|PO+|PB的最小值为5. 2.已知点A-2,-1,B1,-4,直线l:x+2y+2=0,在直线l上找一点P使得PA+PB最小，则这 个最小值是() A.3V2 B.4 C.5 D.26 【答案】D 【分析】利用对称求A关于直线对称点为A1(a,b),结合将军饮马模型求PA+|PB最小值. 2-1 q=- a+2 5 【解析】令A关于直线对称点为A1(a,b),则 0-2+2.b1+2=0 解得 b= 、2 2 A1-9 由PA=PA,则PAI+IPB=PA,+IPBI≥A,B= 5-14 3+4)=只26， 当且仅当A1,P,B三点共线时取等号，故PA+|PB|最小值为26 17/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.在平面直角坐标系xOy中，己知点A0,-2,点B1,0,P为直线x-y+3=0上一动点，则 PA+PB的最小值是( A.4V5 B.3V5 c.2V5 D.5 【答案】B 【分析】求点A0,-2关于直线x-y+3=0的对称点A的坐标，由此可得PA+PB=PA+PB, 结合结论两点之间线段最短可求PA+PB的最小值 【解析】设点A0,~2关于直线x-y+3=0的对称点为Ax,y, 则心，解得，所以A(-5,3), 所以PA+PB=PA+PB≥AB=V36+9=3V5, 当且仅当点P为线段AB与直线x-y+3=0的交点时等号成立， 所以PA+PB的最小值是3V5 4.已知点P在直线x-y+1=0上运动，点A2,4,B2,1,则|PA|-|PB的最大值为() A.1 B.3 C.2 D.5 【答案】D 【分析】作出点A关于直线x-y+1=0的对称点为A1,数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【解析】设点A关于直线x-y+1=0的对称点为A1m,n, 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-n=-1 2-m m=3 则 2+m_4+n+1=0 解得n=3 故A13,3, 2 所以A1B=V2-3+1-3=5, 所以‖PA-PB=PA-PBsA1B=V5,即当P,A,B=点共线时取得最大值 故选：D 5.1 知两点A1,2,B3,6,动点M在直线y=x上运动，则MA+MB的最小值为 【答案】V26 【分析】找到A点关于直线y=x的对称点A，即可得到AB即为MA+MB的最小值. 【解析】 Y 6 2-. 3 如图所示，设点A关于直线y=x的对称点为A,则A2,1,MA=MA, 连接AB, MA+MB=MA+MB≥AB, 则AB即为MA+MB的最小值， |AB=3-2+6-17=V26, 所以为MA+MB的最小值为V26】 6.已知点M1,-2、N3,4,P是直线l:2x-y+1=0上的动点，则PM+PN的最小值为 19/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2/13 【分析】求出点M关于直线的对称点M的坐标，可得出PM=PM,于是得出 PM+PN=PM+PN≥MN,利用当点P为线段MN与直线的交点时，PM+PN取最 小值即可得解 【解析】如图所示，设点M1,-2关于直线的对称点为Mx,yo, 2×+1-y,-2 2 +1=0 2 X=-3 则 2x0-y0+6=0 y0+2 即 x,+2y+3=09 解得 yo=0/ 即M-3,0, ×2=-1 Xo-1 所以|PM+|PN=PM+PN≥MN=V3+32+4-0P=213, 当且仅当点P为线段MN与直线l的交点时，等号成立， 故PM+PN的最小值为2V13 故答案为：2V13. 7.己知实数x,y满足x-y=0,则x2+y-8x-2y+17+√x+y2-10x-4y+29的最小值为 【答案】25 【分析】X+y2-8x-2y+17+x2+y2-10x-4y+29表示：直线x-y=0上的点Px,y到点 A4,1和B(5,2)的距离之和的最小值，即可求解。 【解析】VX+y2-8x-2y+17=x-4+y-1, Vx+y2-10x-4y+29=x-5+y-2, 则X+y2-8x-2y+17+x2+y2-10x-4y+29表示：直线x-y=0上的点Px,y到点A4,1 和B(5,2)的距离之和的最小值， 如图所示： 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 设点A4,1关于直线x-y=0的对称点为Am,n, 4+m_1+n=0 得 2 /m=1} n-1×1=-1 解得n=4' m-4 得A1,4, 则√x+y2-8x-2y+17+x2+y2-10x-4y+29 =PA)+PB)=PA+PB)AB=1-52+(4-2P=25, 等号成立时，A,P,B三点共线， 故答案为：2/5 8.已知两点A-2,3,B1,1,点C在x轴上，则CA+CB的最小值为() A./13 B.5V2 c.2V5 D.5 【答案】D 【解析】点C在x轴上，A、B两点均在x轴上方，属于同侧两点。 点A关于x轴的对称点A(-2,-3),由对称性知|CA=|CA, 故ICA+|CB|=|CA|+|CBL 根据两点之间线段最短，CA+|CB≥AB, 当且仅当C为直线AB与x轴的交点时取等号 |AB=1-(-2)+1-(-3)P=V32+42=25=5 21/21可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03直线的对称和最值问题 题型归纳 题型一关于坐标轴与原点对称的直线 题型二关于定点对称的直线方程 题型三关于定直线对称的直线方程 题型四点关于直线的对称点 题型五光线反射与角平分线 题型六将军饮马型最值问题 题型专练 题型一：关于坐标轴与原点对称的直线 1.与直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0B.4x-3y+5=0 C.3x-4y-5=0D.3x-4y+5=0 2.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0 B.4x-3y+5=0 c.3x-4y-5=0 D.3x-4y+5=0 3.与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为() A.4x+3y-5=0B.3x+4y+5=0 c.4x-3y+5=0D.3x-4y-5=0 4.直线2x-3y-4=0关于x轴对称的直线方程为· (结果用一般式表示) 5.与直线3x-5y+2=0关于x轴对称的直线的方程为 题型二：关于定点对称的直线方程 1.直线l1:2x-y+3=0关于点(1,2)对称的直线方程为() A.2X-y-3=0B.2x+y-3=0 C.2x+y+3=0D.x-2y-3=0 114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.直线1：y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为() A.y=2x B.y=-2x C.y=2x-8 D.y=2x+4 3.已知直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为() A.2 B.6 C.-2 D.-6 4.不论实数a取何值时，直线2a-1x+-a+3y-5=0都过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的 对称直线方程为( A.X-2y-6=0 B.X-2y=0 C.2x-y-9=0 D.2X-y-3=0 题型三：关于定直线对称的直线方程 1.与直线1：2x+y+1=0关于直线m:X-y+2=0对称的直线方程为() A.2x-y+3=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y+3=0 D.x+2y-1=0 2.已知l1:x+y-1=0,12:2x-y+1=0,则直线1关于直线l2的对称直线l的方程为() A.7x+y-1=0B.7X-y-1=0 C.x+7y-7=0 D.X-7y-7=0 3.已知直线l:2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程为() A.3x-16y+102=0 B.9x-46y+102=0 c.3x-2y+8=0 D.9x-46y+51=0 4.已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0,则直线12关于直线l1的对称直线方程是 5.直线x+2y+3=0关于直线y=-x对称的直线方程是() A.X+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y-3=0 D.2x+3y+3=0 6.在平面直角坐标系中，若直线1与直线x+y-1=0关于直线y=2对称，则直线1的方程为 7.直线1：2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程是 8.求直线2x+11y+16=0关于直线3x+4y-1=0对称的直线方程为 题型四：点关于直线的对称点 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.点A3,1关于直线x-y+1=0的对称点的坐标为() A.3,0 B.0,4 c.0,3 D.2,4 2.若直线l:2x+ay+1=0关于直线x+y-3=0对称的直线经过点A-2,1,则a=() A.-1 B.1 c. D.2 3.点P6,3关于直线！：2x-y-4=0的对称点为Q,则Q的坐标为 4.(专题02直线和方程（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期)点A1,2关于直线l: y=-x+1的对称点B的坐标为一 5.点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)是轴对称的两点，则对称轴方程为 题型五：光线反射与角平分线 1.已知△ABC的顶点A1,2,AB边上的中线CM所在直线方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线 所在直线方程为y=X,则△ABC面积为 2.一条光线从点A-2,3射出，到点B-1,0经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为() A.y=-X-1 B.y=3x+3 C.y=-3x-3 D.y=2X+2 3.光线沿着直线ax-y+2=0射到直线y=-x+1上，经反射后沿着直线3x+y-b=0射出，则有( ) 3b2 A.- B.a=3,b=2 C.a=3,b=-2 D.a=专b=-2 4.一条光线沿直线2x-4y-1=0入射到直线x+y=0后反射，则反射光线所在的直线方程为() A.4x-2y-1=0B.4x-2y+1=0 C.4x+2y+1=0D.4x+2y-1=0 5.一条光线从点A-1,0射出，与直线：x+y-3=0相交于点P,经l反射后，经过点B(1,0),则 PA+PB=() A.2V3 B.4 c.2V5 D.2V6 314 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知一束光线通过点A-3,2,经直线x+y-1=0反射，如果反射光线通过点B1,-6,则反射光线 所在直线的一般式方程为 7.在△ABC中，已知顶点A3,-1,B-6,1,过点B的角平分线方程是x-4y+10=0,则直线BC 的方程为 8。在平面直角坐标系中，已知点A1,4。B1,引 C4,0:点D在线段BC上并且AD平分∠BAC, 则点D的坐标为 题型六：将军饮马型最值问题 1.若点Px,y在直线l:3x+2y+5=0上，则x2+y+x-22+y-1的最小值为() A.2 B.V10 C.4 D.5 2.已知点A-2,-1,B1,-4,直线：x+2y+2=0,在直线l上找一点P使得PA+PB最小，则这 个最小值是() A.3V2 B.4 C.5 D.V26 3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,-2,点B1,0,P为直线x-y+3=0上一动点，则 PA+PB的最小值是() A.4V5 B.3V5 c.2V5 D.5 4.已知点P在直线x-y+1=0上运动，点A2,4,B2,1,则lPA|-|PB|的最大值为() A.1 B.3 C.2 D.5 5.已知两点A1,2,B3,6,动点M在直线y=x上运动，则MA+MB的最小值为 6.已知点M1,-2、N3,4,P是直线l:2x-y+1=0上的动点，则PM+PN的最小值为 7.已知实数x,y满足x-y=0,则x2+y-8x-2y+17+x2+y2-10x-4y+29的最小值为 8.已知两点A-2,3,B1,1,点C在x轴上，则CA+CB的最小值为() A.V13 B.52 c.2V5 D.5 414面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03直线的对称和最值问题 题型归纳 题型一关于坐标轴与原点对称的直线 题型二关于定点对称的直线方程 题型三关于定直线对称的直线方程 题型四点关于直线的对称点 题型五光线反射与角平分线 题型六将军饮马型最值问题 题型专练 题型一：关于坐标轴与原点对称的直线 1.C 2.D 3.D 4.2x+3y-4=0 5.3x+5y+2=0 题型二：关于定点对称的直线方程 1.A 2.A 3.A 4.D 题型三：关于定直线对称的直线方程 1.D 2.C 3.B 4.2x-y-5=0 5.B 1/2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.X-y+3=0 7.x-2y+3=0 8.2x+y-4=0 题型四：点关于直线的对称点 1.B 2.A 3.2,5 4.-1,0 5.x-y+1=0 题型五：光线反射与角平分线 1.”吗 2.B 3.D 4.A 5.c 6.5x+y+1=0 7.7y-6x-43=0 8.2,1 题型六：将军饮马型最值问题 1.D 2.D 3.B 4.D 5.9V26 6.2V13 7.2V5 8.D 212