7.3.2相似三角形的性质（周长比与面积比）课件2026-2027学年苏科版数学九年级下册
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内容正文：
7.3 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形周长的比、面积的比
一、还能再推出什么
7.3 相似三角形的性质
上一课时：对应线段的比等于相似比.
这一课时：周长与面积又该怎么比？
周长是把几条边加起来，每条边都乘了，加起来还是乘.
面积要用两条线段乘，底乘、高乘，结果就要乘.
猜想归猜想，还是得一步步推出来才算数.
本课时的问题清单 ① 周长比是不是？｜② 面积比是不是？
两个都证出来，就是相似三角形的性质定理 2.
二、问题：周长比、面积比
相似三角形周长的比、面积的比和相似比有什么关系？
周长与面积都不是“一条线段”，性质定理 1 管不着它们.
但周长由边长组成、面积由底和高组成——都能拆回线段上.
所以这一课不用新判定，只要把一路代进去.
两个结论，两种算法 周长：把这类式子逐项代入分子，再提出公因数.
面积：先用性质定理 1 把高换成，再代进底高.
一个靠加，一个靠乘——差别就在这一步上.
三、周长比等于相似比
如图 7-30，，相似比为.可得
，
，，.
所以.
相似三角形周长的比等于相似比.
这一步的关键动作 分子里三项都带，把提到括号外，剩下的正好是分母——约掉就只剩.
“等比相加仍等于原比”，这句话以后也能直接用.
四、面积比等于相似比的平方
在图 7-30 中，分别作，的高，，
可得，所以，.
所以
.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
底乘，高也乘，两个相乘就是——这就是“平方”的来历.
五、性质定理 2
于是，我们得到相似三角形的性质定理 2：
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
类似地，还可以得到：
相似多边形周长的比等于相似比.
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
记法 长度类的量比等于，面积类的量比等于.三角形如此，多边形也一样.
六、即时辨析 ① k 与 k² 别混
先判一判：该用，还是用——
1. 两个相似三角形的相似比是 ，它们的周长比是多少？面积比呢？
2. 两个相似三角形面积的比是 ，它们的周长比是多少？
3. 两个相似多边形的周长比是 ，较小多边形面积为 ，求较大的面积.
方法点拨 第 1 题：周长比 ，面积比 .第 2 题：先开方，周长比 .
第 3 题：面积比，较大面积.
七、例 2：中点三角形
例 2 如图 7-31，在中，，，分别为边，，的中点.
求与周长的比和面积的比.
先证相似：，为中点 → 是的中位线 → .
同理，，三边成比例.
所以，相似比是.
对应顺序别写反 对的是，对的是，对的是——写作.
对应写对了，相似比才是，后面两个比才不会反.
八、例 2 解答
，分别为边，的中点，.
同理，，.
在和中，
，.
与周长的比为 ，
面积的比为 （相似三角形的性质定理 2）.
解完回头看 周长比 就是相似比，面积比——定理 2 一次给出两个数.
九、即时辨析 ② 换成一般分点
中点换成别的分点，结论还成立吗——
1. 例 2 中，若，且，求与的周长比.
2. 接第 1 题，它们的面积比是多少？
3. 若两个相似三角形周长比为 ，且小三角形面积为 ，求大三角形面积.
方法点拨 第 1 题：相似比，周长比也是 .第 2 题：面积比.
第 3 题：面积比，大三角形面积.周长给比例，面积要平方.
十、探究：一条直线平分面积
用一条直线把三角形分成面积相等的两部分，
你有几种方法？
最省事的一种：中线.它把底边分成相等的两段，
两个小三角形等高、等底，面积自然相等.
三条中线，就给出三种画法.
等底同高 → 面积相等，这是最常用的一招.
再往前想一步 除了过顶点，直线也可以只交两边——课下自己试一试，看能找出几种.
十一、课本练习（第 1—2 题）
1. 如图，在中，点，分别在边，上，
，.
求与周长的比.
2. 两个相似多边形面积的比为 ，其中较小的多边形
的周长为 .求另一个多边形的周长.
第 1 题： → ，
由得，相似比.
周长比就是，即 .
第 2 题的关键一步 面积比 → 相似比，周长比也是 .
较小周长 ，则较大的为.已知面积要先开方.
十二、课本练习（第 3 题）
3. 如图，在中，，矩形的顶点，分别
在边，上，点，在边上.已知，.
求与面积的比.
中，；由、可推出
与的三个角分别相等，两三角形相似.
相似比就是对应边（或），面积比等于它的平方.
先把对应关系找准 ， → 是型，，.
于是相似比，面积比.
十三、习题 7.3（第 1—2 题）
1. 已知，，分别是的高
和中线，，分别是的高和中线，
，，.求的长.
2. 已知的三边长分别是 ，，，与相似的
的最长边长为 .求的周长.
第 1 题：由性质定理 1，，
即，解出.
高与中线都是对应线段，比都等于相似比.
第 2 题：最长边 对 ，相似比.
原周长，
所求周长.
两题各一句 第 1 题跨的是“高与中线”，第 2 题跨的是“周长”，用的都是“比等于相似比”.
凡是长度类的量，先把相似比定下来，再乘（或除）过去就行.
十四、习题 7.3（第 3—4 题）
3. 如图，在中，点，分别在边，上，
，与四边形面积的比为 .
求的值.
4. 如图，在中，是上的三等分点，
交于点.求：（1）的值；
（2）与周长的比、面积的比.
两题的关键一步 第 3 题：面积比 是“小三角形比四边形”，先化成，再开方.
第 4 题：，相似比就是，而.
十五、习题 7.3（第 5—6 题）
5. 如图，在中，是高，矩形的顶点，分别
在边，上，点，在边上，交于点.
已知，，.求矩形的面积.
6. 如图，在四边形中，点在边上，，
.（1）与相似吗？为什么？
（2）设的边上的高为，的边上的高为，
的面积为 ，的面积为 .求的值以及的面积.
两题的路子 第 5 题：由得，相似比.
第 6 题：两组平行线送两对角 → 相似；面积比 → 高的比与相似比都要先开方.
十六、课堂小结
性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比，
面积的比等于相似比的平方；相似多边形同样成立.
1. 周长比靠“代入 + 提公因数”，面积比靠“底、高各乘”.
2. 已知面积比反求相似比或周长比，一定先开方.
3. 见到“与四边形面积的比”，先化成两个三角形的比.
4. 三角形、平行四边形、矩形混在一起时，先找平行线造相似.
方法上的一句话 把要问的量分成两类：长度类的比等于，面积类的比等于.
分好类，题目就只剩“求相似比”这一件事.
十七、下一站：相似三角形的应用
判定学会了，性质也学完了，
接下来该拿它们去解决实际问题了.
测河宽、测楼高、测旗杆的高度——
这些量没法直接用尺子量，却可以靠相似三角形算出来.
下一节：7.4 相似三角形的应用.
下一节：7.4 相似三角形的应用.
把判定与性质合在一起，去量那些量不到的长度.
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