7.4 相似三角形的应用 课件 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

7.4 相似三角形的应用 ——相似三角形的应用 戴泽初中 · 范和景 情境引入 问题导入：我国古代的墨子对光的直线传播、光的反射和物影成像进行了研究．据《墨经》记载，墨子在一间黑暗的小屋朝阳的地方开一个小孔，人对着小孔站在屋外，在阳光的照射下，屋内相对的墙面上出现了倒立人像． （小孔成像） 如果人的位置由近及远变化，人像会如何变化呢？ 答：人像会变小（人像的高度随之变小）——人离小孔越远，像越小． 自主构建 探索新知：如图，已知物体AB与其像 A′B′ 平行，若小孔O到AB的距离是18 cm，到A′B′的距离是 6 cm，物体AB长为 12 cm，则像A′B′长为多少？如果将物体AB向右移动 6 cm，其他条件不变，那么像A′B′长为多少？ (2) 向右移动 6 cm 后，O 到 AB 的距离为 18−6 = 12(cm)， ∴ A′B′/AB = 6/12 = 1/2， ∴ A′B′ = 6(cm)． 可见：随着人的位置由近及远变化，人像的高度会随之变小． 解：(1) ∵ AB∥A′B′， ∴ ∠OAB=∠ OA'B′, ∠OBA=∠OB′A', ∴ △OAB∽△OA′B′，∴ A′B′/AB = 6/18 = 1/3， ∴ A′B′ = 12×(1/3) = 4(cm)． ∴ 互动体验 例1、小明把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端 E、F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部A和底部 B．已知小明的手臂长 l = 50 cm，小尺长a = 20 cm，点D到铁塔底部的距离BD =40m．求铁塔的高度． 解：∵ EF∥AB， ∴ △DEF∽△DAB， ∴ AB/EF = 40/0.5 = 80 （D 到 EF 的水平 距离 = 手臂长 l = 0.5 m）， ∴ AB = 80×a = 80×0.2 = 16(m)， 即铁塔的高度为 16 m． 互动体验 例2、某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上的点 C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点 D，古塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得EC = 1.2 米；将标杆向后平移到点 G 处，这时地面上的点 F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=1.8米，CG= 20米．请你根据以上数据，估算古塔的高度AB． 解：设 AC = x 米． ∵ CD∥AB， ∴ △ECD∽△EAB， ∴ CD/AB = EC/EA， 即 2/AB = 1.2/(x+1.2)；① 同理，△FGH∽△FAB， ∴ 2/AB = 1.8/(x+21.8)；② 由①②：1.2(x+21.8) = 1.8(x+1.2)，解得 x = 40， ∴ AB = 2×(40+1.2)/1.2 = 206/3 ≈ 68.7(米)． ∴古塔的高度 AB ≈ 68.7 米． 互动体验 1. 如图，零件的外径为16cm，用卡钳（AD=BC，且OA : OD=OB : OC = 3 : 1）测得CD= 5 cm．求零件的壁厚x． 解：∵ ∠AOB = ∠DOC（对顶角）， OA : OD = OB : OC = 3 : 1， ∴ △AOB∽△DOC，∴ AB/CD = OA/OD = 3， ∴ AB = 3×5 = 15(cm)， ∵ 外径为 16 cm，∴ 2x+15 = 16， ∴ x = 0.5(cm)．∴ 壁厚 x = 0.5 cm． 互动体验 2. 如图，竖立在点B处的标杆AB高 2.5 m，站立在点F处的观察者从点E 处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上．已知BD=10m，FB=3 m，EF =1.7m．求树高CD（结果精确到 0.1 m）． 解：过 E 作水平线，分别交 AB、CD 于点 M、N， 则 AM = 2.5−1.7 = 0.8(m)，EM = FB = 3(m)， EN = FB+BD = 13(m)，CN = CD−1.7． ∵ AM∥CN， ∴ △EAM∽△ECN， ∴ AM/CN = EM/EN， ∴ 0.8/(CD−1.7) = 3/13， ∴ CD−1.7 = 10.4/3 ≈ 3.47， ∴ CD ≈ 5.2(m)． ∴ 树高 CD ≈ 5.2 m． 能力提升 3. 一块直角三角形木板，一直角边BC 长75 cm，另一直角边AC长100 cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图 1、图 2 所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大． 解：小亮（图 2）的正方形面积较大． Rt△ABC 中，AB = √(75²+100²) = 125(cm)， 斜边上的高 h = 75×100÷125 = 60(cm)． 图 1（小明）：设边长为 x，∵ GF∥AB， ∴ △CGF∽△CAB，∴ x/125 = (60−x)/60， 解得 x = 1500/37 ≈ 40.5(cm)； 图 2（小亮）：设边长为 y，∵ FD∥BC， ∴ △AFD∽△ACB，∴ y/75 = (100−y)/100， 解得 y = 300/7 ≈ 42.9(cm)； ∵ 300/7 > 1500/37，∴ 小亮（图 2）得到的正方形面积较大． 智慧建构 利用相似三角形解决测量问题的一般步骤（四步）： ① 审题——理解实际情景，画出几何图形； ② 建模——找出（或构造）图中的相似三角形； ③ 列式——利用"对应边成比例"列出比例式； ④ 求解——代入数据计算，注意单位与精确度． 常见测量模型（都可归结为 A 字型 / X 型相似）： · 小孔成像——AB∥A′B′，物距 : 像距 = 物长 : 像长（倒立像）； · 标杆 / 影长测高——平行线构造"A 字型"相似； · 平面镜测高——入射角 = 反射角，△ABC∽△DEC； · 盲区问题——视线恰过障碍物顶端，三点共线转化相似． 关键：数形结合，把实际问题转化为相似三角形的数学模型． 通过这节课的学习,你有什么收获? 补充习题 1. 如图，A、B 两地分别位于湖的两侧，点D、E分别在AC、BC上．已知CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE= 45 m．求 AB 的长． 解：∵ CA = CD+AD = 120(m)， CB = CE+BE = 60(m)， ∴ CD/CB = 20/60 = 1/3， CE/CA = 40/120 = 1/3， ∴ CD/CB = CE/CA， 又 ∠C = ∠C， ∴ △CDE∽△CBA（两边成比例且夹角相等）， ∴ DE/BA = CD/CB = 1/3， ∴ AB = 3×45 = 135(m)． 2. 小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点 C 处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直到站在点 D 处恰好看到建筑物 AB 的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．已知小军的眼睛距地面1.65 m，BC、CD 的长分别为 60 m、3 m．求这座建筑物的高度． 补充习题 解：∵ 入射角 = 反射角， ∴ ∠ACB = ∠ECD， 又 ∠ABC = ∠EDC = 90°， ∴ △ABC∽△DEC， ∴ AB/DE = BC/DC = 60/3 = 20， ∴ AB = 20×1.65 = 33(m) ∴建筑物高度 AB = 33 m． 3. 如图，点G与树AB、CD的根部点A、C在一条直线上，小强从点G出发沿GC方向前进到点H 时，恰好看不到树顶 B．已知小强的眼睛离地面 1.6 m，AB=6 m，AH=8.8 m，AC=6 m．求树CD的高． 补充习题 解："恰好看不到树顶 B"即视线恰被树 CD 挡住： 眼 F、树顶 B、树 CD 的顶端 D 在同一直线上． 过 F 作水平线，分别交 AB、CD 于 M、N， 则 FM = AH = 8.8，FN = AH+AC = 14.8， BM = AB−1.6 = 4.4，DN = CD−1.6． ∵ △FBM∽△DFN， ∴ BM/DN = FM/FN， ∴ 4.4/(CD−1.6) = 8.8/14.8， ∴ CD−1.6 = 7.4，． ∴ CD = 9(m)． ∴树 CD 的高为 9 m A C D B M M 4.如图，小明发现一棵小树在A路灯下的影子的顶部正好在路灯C的底部D处，在C路灯下的影子的顶部正好在路灯A的底部B处，如果AB=4m,CD=6m.求小树的高度MN. 4 6 N 补充习题 补充习题 5．如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=0.8m，BP=1.2m，PD=27m，，那么逸夫楼的高度为       m． 18 补充习题 6．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD=2.8m，标杆与旗杆的水平距离BD=8m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，E,C,A三点共线，EM⊥AB于M，交CD于N．求旗杆AB的高度． $