7.4相似三角形的应用 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.4 相似三角形的应用 用相似三角形解决实际问题 一、从一个古老实验说起 我国古代的墨子对光的直线传播、光的反射和物影成像进行了研究. 据《墨经》记载，墨子在一间黑暗的小屋朝阳的地方开一个小孔， 人对着小孔站在屋外，在阳光的照射下，屋内相对的墙面上出现了倒立人像. 如果人的位置由远及近变化，人像会如何变化呢？ 课程思政·中国数学史　两千多年前的《墨经》已记载小孔成像——这是世界上最早的 光学实验记录之一，比西方同类记载早了千余年. 它背后藏着的，正是我们今天要用的工具：相似三角形. 二、问题：小孔成像中的像长 如图 7-32，已知物体与其像平行. 若小孔到的距离是⁠，到的距离是⁠， 物体长为⁠，则像长为多少？ 如果将物体向右移动⁠，其他条件不变， 那么像长为多少？ 墙上的像、屋外的人、小孔，三者一线相连—— 这恰好构成了一对相似三角形. 先想清楚对应关系　把小孔看作公共顶点，物、像分别作高， 就得到⁠，相似比等于两段距离的比. 三、把小孔成像算出来 作⁠，⁠，垂足分别是⁠，⁠，则⁠，⁠. 由⁠，可得⁠，⁠， 所以⁠. 所以⁠. 此时，像长为⁠. 将物体向右移动⁠，则⁠，像长为⁠. 结论　在墨子的实验中，随着人的位置由远及近变化，人像的高度会随之变大. 物距变近像变长，正是相似比在起作用. 四、例：测一测铁塔的高度 例　小明把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端⁠，⁠， 不断调整站立的位置，使在点处时恰好能看到铁塔的顶部和底部（图 7-33）. 已知小明的手臂长⁠，小尺长⁠， 点到铁塔底部的距离⁠.求铁塔的高度. 视线、小尺、铁塔，三者方向一致： 只要能找到一组相似三角形，量不到的高度就能算出来. 这类题的通用思路　找平行得相似列比例求未知. 把“看得见、量得着”的线段，和“量不到”的线段，用相似比连起来. 五、例 解答 由题意可知，⁠. ⁠，⁠. ⁠. ⁠. ⁠，⁠，⁠， ⁠. 答：铁塔的高度为⁠. 注意单位　小尺、手臂用 cm，距离用 m——比例式里单位一致即可，结果带单位. 六、即时辨析　测高先找谁相似 换个情景，相似关系还成立吗—— 1. 例中的是“看出相似”的关键.若小明手臂不是水平，结论还成立吗？ 2. 若把小尺换成更短的，其他不变，的计算结果会变吗？为什么？ 3. 测河宽时，常在两岸各插一根标杆，利用视线对齐构造相似.这和小孔成像是同一套想法吗？ 方法点拨　第 1 题：不成立.平行是相似的源头，手臂一歪，平行线消失，相似关系就断了. 第 2 题：不变.比例式中⁠、同变，比值不变，故不变. 第 3 题：是.都是“用一组看得见的线段，通过相似比换出量不到的线段”. 七、课本练习（第 1 题） 1. 如图，零件的外径为⁠，用卡钳（⁠， 且⁠）测得⁠. 求零件的壁厚⁠. 卡钳两臂交叉于⁠，由且⁠， 可得两对相似三角形，内、外宽度之比等于⁠. 于是外径 内径⁠，内径外径⁠，据此列方程求⁠. 关键是那个比例　给出相似比，是内径的一段， 把“卡钳读数”翻译成“零件尺寸”，问题就通了. 八、课本练习（第 2 题） 2. 如图，竖立在点处的标杆高⁠， 站立在点处的观察者从点处看到标杆顶⁠、树顶在一条直线上. 已知⁠，⁠，⁠.求树高（结果精确到⁠）. 观测者的眼睛⁠、标杆顶⁠、树顶三点共线， 于是（共用⁠，且底边平行）. 用即可解出⁠. 对应要找准　标杆高对树高⁠，观测者到标杆的距离对到树的距离⁠， 别把⁠、搞混了. 九、习题 7.4（第 1 题） 1. 如图，⁠，两地分别在湖的两侧，点⁠，分别在⁠，上. 已知⁠，⁠，⁠，⁠，⁠. 求的长. 思路提示（不出答案）　把大切成小与大三角形两部分. 先由与的比值，判断是否成立； 若成立，则⁠，把已知线段代进去就能求出⁠. （动手算一算，再和同桌对一对答案.） 十、习题 7.4（第 2 题） 2. 小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点处平放一面镜子， 并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的 顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）.已知小军的眼睛距地面⁠， ⁠，的长分别为⁠，⁠.求这座建筑物的高度. 思路提示（不出答案）　入射角等于反射角，于是视线与镜面夹角被标记点平分， 得到（眼睛，标记，脚底）与（建筑顶，标记，建筑底）相似. 用列式即可. （先写出比例式，再代入 ⁠、⁠、 求解.） 十一、习题 7.4（第 3 题） 3. 如图，点与树⁠，的根部点⁠，在一条直线上， 小强从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶⁠. 已知小强的眼睛离地面⁠，⁠，⁠，⁠. 求树的高. 思路提示（不出答案）　“恰好看不到树顶”说明视线被矮树的顶端挡住， 于是⁠、⁠、三点共线，得到⁠. 用列式（⁠），代入 ⁠、⁠、 求解. 十二、课堂小结 应用套路：找平行得相似列比例求未知. 把“看得见、量得着”的线段，和“量不到”的线段用相似比连起来. 1. 小孔成像、测塔高、卡钳、标杆、镜子、视线遮挡——本质都是同一件事. 2. 对应关系永远是第一位的：先确定哪两个三角形相似、谁对谁. 3. 注意单位统一；结果要带单位，该近似就按要求取近似. 一句话记住　遇到“量不到”，就去找“量得到”的相似——这是相似三角形最实在的用处. 十三、下一站：重心与全章复习 判定、性质、应用都学完了， 相似三角形这一章已经成形. 下一节先认识一个有趣的几何量——重心， 再把全章串起来做一次复习与测量实践. 下一节：数学探究·重心，第 7 章复习与综合与实践·测量. 下一节：数学探究·重心，第 7 章复习与综合与实践·测量. 把相似的知识，真正用起来. $